Schede esercizi algebra, Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Geometria e algebra T.

Schede di esercizi con richiami di teoria

(laurea triennale ingegneria)

Durata corso: semestrale (60 ore)

Versione aggiornata al 24 settembre 2015

SCHEDA 1

Numeri

1.1. Richiami di teoria I numeri naturali, denotati col simbolo N, sono i numeri interi positivi: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...

I numeri interi, denotati col simbolo Z, sono:

... , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...

I numeri razionali, denotati col simbolo Q, sono quelli esprimibili come rapporto di due numeri interi: 3 2

I numeri razionali si sommano e si moltiplicano cos´ı:

a b

c d

ad + cb bd

a b

c d

ac bd Se si moltiplica numeratore e denominatore per lo stesso numero, il numero razionale in questione non cambia: 3 2

I numeri reali, denotati col simbolo R, sono “gli altri” numeri della retta reale:

0 , 136545... ,

2 = 1, 4142... , π = 3, 1415... , e = 2, 7182... , −

π e

I numeri in Z/ 2 Z sono le classi di equivalenza di numeri interi pari o dispari. Si rap- presentano coi simboli { 0 , 1 } ove 0 e la classe dei pari e 1 la classe dei dispari. L’aritmetica di Z/ 2 Ze:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1 I numeri complessi, denotati col simbolo C, sono la chiusura algebrica di R. Si pos- sono rappresentare in vari modi. La rappresentazione cartesiana consiste nello scrivere un numero complesso z come x + iy con x, y ∈ R. Se z = x + iy, x si chiama parte reale y parte immaginaria di z. Con la rappresentazione cartesiana i numeri complessi si sommano e moltiplicano come se fossero polinomi nella variabile i, con la regola che i^2 = −1.

(1 + i2) + (3 − i5) = 4 − i 3 (1 + i2)(3 − i5) = 3 + i 6 − i 5 − i^2 10 = 3 + i − (−1)10 = 13 + i

Il modulo di un numero complesso z = x + iy si indica con |z| ed `e |z| =

x^2 + y^2. 7

1.2. ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI 8

Il coniugato di un numero complesso z e il numero ¯z che si ottiene cambiando segno alla parte immaginaria: se z = x + iy allora ¯z = z − iy. I numeri reali, essendo quelli con parte immaginaria nulla, sono caratterizzati dalla proprieta ¯z = z. Lo zero `e l’unico numero complesso di modulo nullo: |z| = 0 ⇒ z = 0. L’inverso di un numero complesso non nullo si calcola tramite il modulo e il coniugio:

z¯z = |z|^2

z

z¯ |z|^2

La rappresentazione polare di un numero complesso e data specificando il modulo e l’angolo. La relazione tra notazione cartesiana e polaree data da:

z = ρeiθ^ = ρ(cos θ + i sin θ)

z = x + iy =

x^2 + y^2 ei^ arctan^

y x

Si deve ricordare che l’angolo e dato modulo 2π, in altre parole, per ogni intero k, θ e θ + 2kπ rappresentano lo stesso angolo nel piano. Quindi ρeiθ^ = ρei(θ+2kπ). In oltre si noti che arctan y x none definito per x = 0 e che (x, y) e (−x, −y) danno lo stesso risultato. Quindi la formula, cos´ı come e scritta, vale solo sul semipiano superiore. La moltiplicazione in notazione polaree molto semplice

ρeiθ^ reiϕ^ = ρrei(θ+ϕ)^

ρeiθ^

ρ

e−iθ.

1.2. Esempi ed esercizi svolti

Esempio 1.2.1. La funzione f : C → C definita da f (z) = iz, geometricamente `e la rotazione di π/ 2. Questo perch´e in coordinate polari i = eiπ/^2.

Esempio 1.2.2. In coordinate polari ρeiθ^ = ρe−iθ^.

Esercizio 1.2.3. Dimostrare che |z| = |z¯|.

Soluzione. In coordinate polari `e immediato, in coordinate cartesiane segue dal teo- rema di pitagora.

Esempio 1.2.4. Si verifica facilmente (verificatelo!!!) che

zw = ¯z w¯ z + w = ¯z + ¯w z−^1 =

z ¯

Esercizio 1.2.5. Dimostrare che per ogni numero complesso z si ha z^2 ∈ R se e solo se o la parte reale o la parte immaginaria di z sono nulle.

Soluzione. Sia z = x + iy allora z^2 = x^2 + y^2 + 2ixy, quindi la parte immaginaria di z^2 `e il prodotto della parte reale di z per la parte immaginaria di z. 

Esercizio 1.2.6. Trovare l’inverso di 1 + i.

1.3. ESERCIZI 10



Esercizio 1.2.10. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^2 + x = 0.

Soluzione. in Z/ 2 Z ci sono solo due elementi: basta provarli entrambi. 02 + 0 = 0 + 0 = 0 quindi 0 e soluzione. 1^2 + 1 = 1 + 1 = 0 quindi anche 1e soluzione. Le soluzioni sono dunque 0 , 1. 

Esercizio 1.2.11. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^2 + x + 1 = 0.

Soluzione. in Z/ 2 Z ci sono solo due elementi: basta provarli entrambi. 0^2 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 quindi 0 non e soluzione. 12 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 1 quindi neanche 1e soluzione. L’equazione non ha soluzioni in Z/ 2 Z. 

Esercizio 1.2.12. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^2 = 1.

Soluzione. 02 = 0 quindi 0 non e soluzione, mentre 1^2 = 1 e quindi 1e soluzione. L’unica soluzione `e quindi 1 (si noti che in Z/ 2 Z si ha −1 = 1). 

1.3. Esercizi

Esercizio 1.3.1. Si determinino le radici quarte di 1 in C.

Esercizio 1.3.2. Si trovino tutte le soluzioni di z^6 = 1

Esercizio 1.3.3. Si trovino tutte le soluzioni di z^6 = − 1

Esercizio 1.3.4. Si trovino tutte le soluzioni di z^5 = − 1

Esercizio 1.3.5. Si trovino tutte le soluzioni di z^2 = i

Esercizio 1.3.6. Si trovino tutte le soluzioni di z^3 = −i

Esercizio 1.3.7. Si trovino tutte le soluzioni di z^3 = 1 + i

Esercizio 1.3.8. Si trovino le soluzioni complesse di 9¯z + z^3 = 0.

Esercizio 1.3.9. Si trovino le soluzioni complesse di 4 z^2 + ¯z^4 = 0.

Esercizio 1.3.10. Si trovino le soluzioni complesse di 4 z^2 − ¯z^4 = 0.

Esercizio 1.3.11. Si trovino tutte le soluzioni complesse del sistema   

z^3 + w^3 = 2 i w^2 = − 1

Esercizio 1.3.12. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^2 + x + x + 1 = 0.

Esercizio 1.3.13. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^3 + x^2 + x + 1 = 0.

Esercizio 1.3.14. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0.

Esercizio 1.3.15. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^3 + x^2 + x = 0.

Esercizio 1.3.16. Si trovino tutte le soluzioni in Z/ 2 Z di x^4 + x^3 + x^2 + x = 0.

SCHEDA 2

Gruppi anelli campi e polinomi

2.1. Richiami di teoria

Definizione 2.1.1. Dato un insieme X, un’operazione associativa (o semplicemente ope- razione) su X `e una funzione · : X × X → X tale che ∀x, y, z ∈ X si abbia

x · (y · z) = (x · y) · z

Definizione 2.1.2. Un insieme G dotato di un’operazione associativa · si dice Gruppo se:

(1) Esiste un elemento neutro dell’operazione ·. Cio`e ∃e ∈ G tale che ∀x ∈ G si ha e · x = x · e = x. (2) Ogni elemento ha un inverso: ∀x ∈ G ∃y ∈ G tale che x · y = y · x = e.

Se inoltre l’operazione e commutativa, e cioe

(3) ∀x, y ∈ G, x · y = y · x,

allora G si dice gruppo abeliano o commutativo, l’elemento neutro si indica normalmente con 0 e l’operazione con il +.

Definizione 2.1.3. Un insieme A dotato di due operazioni +, · si dice Anello commutativo con unit`a (o semplicemente anello) se:

(1) (A, +) e un gruppo abeliano; (2) (Distributivita a destra e sinistra) ∀x, y, z ∈ A si ha (x + y) · z = x · z + y · z e z · (x + y) = z · x + z · y; (3) (elemento neutro del ·) Esiste 1 ∈ A tale che ∀x ∈ A si ha 1 x = x. (4) (abelianit`a del ·) ∀x, y ∈ A si ha x · y = y · x.

Definizione 2.1.4. Un insieme K dotato di due operazioni +, · si dice Campo se:

(1) (K, +, ·) e un anello commutativo con unita; (2) (Inverso degli elementi non nulli) ∀x ∈ K, con x 6 = 0, ∃y ∈ K tale che x · y = 1.

Solitamente il prodotto si indica in notazione contratta omettendo il simbolo ·. Si scrive dunque xy al posto di x · y, x(y + z) al posto di x · (y + z) e cos´ı via. L’inverso di x rispetto alla somma si indica con −x, l’inverso di x rispetto al prodotto si indica con x−^1. Normalmente, si suole indicare un generico campo con il grassetto matematico, cio`e K.

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2.2. ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI 13

Esempio 2.1.9. Il polinomio p(x) = x^4 − x^3 − x + 1 si fattorizza come

p(x) = (x − 1)^2 (x^2 + x + 1) = (x + 1)^2 (x −

−1 + i

)(x −

− 1 − i

Le radici di un polinomio di secondo grado della forma ax^2 + bx + c si trovano mediante la formula −b ±

b^2 − 4 ac 2 a

2.2. Esempi ed esercizi svolti

Esempio 2.2.1. La somma + tra numeri naturali `e un’operazione.

Esempio 2.2.2. L’usuale prodotto · tra numeri naturali `e un’operazione.

Esempio 2.2.3. La sottrazione tra numeri interi non `e un’operazione associativa; infatti

2 − (3 − 1) = 0 6 = −2 = (2 − 3) − 1

Esempio 2.2.4. L’esponenziale tra numeri reali non `e un’operazione associativa; infatti

3 (

(^2) ) = 3^1 = 3 6 = 9 = 3^2 = (3^1 )^2

Esempio 2.2.5. L’insieme Z dei numeri interi con la somma usuale `e un gruppo abeliano.

Esempio 2.2.6. L’insieme N dei numeri naturali con la somma usuale non `e un gruppo in quanto non esiste l’inverso (sarebbe un numero negativo).

Esempio 2.2.7. L’insieme delle trasformazioni rigide del piano — con la composizione come operazione — e un gruppo, ma none abeliano (una traslazione e una rotazione non commutano).

Esempio 2.2.8. L’insieme Z dei numeri interi con le usuali operazioni di somma e prodotto `e un anello.

Esempio 2.2.9. L’insieme Z[x] dei polinomi a coefficienti interi con le usuali operazioni di somma e prodotto `e un anello.

Esempio 2.2.10. Gli insiemi R[x], Q[x], C[x], Z/ 2 Z[x] dei polinomi a coefficienti rispetti- vamente reali, razionali, complessi, in Z/ 2 Z, con le usuali operazioni di somma e prodotto sono anelli.

Esempio 2.2.11. Gli insiemi R, Q, C, Z/ 2 Z con le usuali operazioni sono campi. Gli insiemi N, Z no. Gli anelli di polinomi R[x], C[x],... con le usuali operazioni non sono campi.

Esercizio 2.2.12. Sia A un anello. Si dimostri che per ogni x ∈ A si ha 0 x = 0.

Soluzione. Sia x ∈ A e sia y = 0x. Si deve dimostrare che y = 0. 0 = y − y = 0x − y = (0 + 0)x − y = 0x + 0x − y = y + y − y = y 

2.3. ESERCIZI 14

Esercizio 2.2.13. Sia A un anello commutativo con unit`a e con almeno due elementi. Si dimostri che 1 6 = 0.

Soluzione. Per l’esercizio precedente, se avessimo 1 = 0 avremmo, per ogni x ∈ A, 0 = 0x = 1x = x. Se ne dedurrebbe quindi che ogni x e uguale a zero. Ma siccome in A ci sono almeno due elementi, almeno uno dei duee diverso da zero. 

Esercizio 2.2.14. Sia A un anello. Si dimostri che per ogni x ∈ A si ha (−1)x = −x.

Soluzione. Per ogni x ∈ A si ha x + (−1)x = 1x + (−1)x = (1 − 1)x = 0x = 0. 

2.3. Esercizi

Esercizio 2.3.1. Dimostrare tutte le affermazioni contenute negli esempi precedenti.

Esercizio 2.3.2. Dimostrare che un Anello con almeno due elementi non `e mai un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

Esercizio 2.3.3. Sia K un campo e siano x, y ∈ K entrambi diversi da zero. Dimostrare che xy 6 = 0.

Esercizio 2.3.4. Sia K un campo e sia X ⊂ K un sottoinsieme chiuso rispetto alle operazioni di somma prodotto opposto e inverso. Dimostrare che X `e un campo.

Esercizio 2.3.5. Si dia un esempio di Gruppo che non sia uno di quelli dati in precedenza.

Esercizio 2.3.6. Si dia un esempio di Anello che non sia uno di quelli dati in precedenza.

Esercizio 2.3.7. Si dia un esempio di Campo che non sia uno di quelli dati in precedenza.

Esercizio 2.3.8. Si dia un esempio di un insieme con operazione che non sia un Gruppo e che non sia uno di quelli dati in precedenza.

Esercizio 2.3.9. Si dia un esempio di un insieme dotato di due operazioni che non sia un Anello e che non sia uno di quelli dati in precedenza.

Esercizio 2.3.10. Si dia un esempio di un insieme dotato di due operazioni che non sia un Campo e che non sia uno di quelli dati in precedenza.

Esercizio 2.3.11. Si dia un esempio di operazione non commutativa che non sia una di quelle date in precedenza.

Esercizio 2.3.12. Fattorizzare in C[x] il polinomio x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1.

Esercizio 2.3.13. Fattorizzare in R[x] il polinomio x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1.

Esercizio 2.3.14. Fattorizzare in C[x] il polinomio x^3 + (i − 2)x^2 + (1 − 2 i)x + i.

Esercizio 2.3.15. Fattorizzare in R[x] e C[x] i polinomi

x^6 − 1 x^6 + 1 x^5 + 1 x^4 − 1 x^3 + 1

Esercizio 2.3.16. Fattorizzare in C[z] i polinomi

z^2 − i z^2 + i z^3 − 1 − i

SCHEDA 3

Spazi vettoriali

3.1. Richiami di teoria

Definizione 3.1.1. Sia K un campo. Un insieme V dotato di una somma interna + : V × V → V e di un prodotto misto · : K × V → V si dice spazio vettoriale su K se sono soddisfatte le seguenti condizioni (useremo la notazione contratta del prodotto: av per a · v)

(1) (V, +) `e un gruppo abeliano; (2) ∀v, w ∈ V e ∀λ ∈ K si ha: λ(v + w) = λv + λw; (3) ∀a, b ∈ K e ∀v ∈ V si ha: (a + b)v = av + bv; (4) ∀x, y ∈ K e ∀v ∈ V si ha: x(yv) = (xy)v; (5) ∀v ∈ V si ha 1 v = v.

Gli elementi di V si chiamano di solito vettori. Gli elementi di K si chiamano usual- mente scalari e il prodotto misto si chiama talvolta “prodotto scalare per vettore” o “prodotto per scalare”.

Definizione 3.1.2. Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V si dice sottospazio vettoriale di V , e si scrive W < V se W e chiuso per somma e prodotto. Cioe se

(1) ∀v, w ∈ W si ha v + w ∈ W ; (2) ∀w ∈ W e ∀λ ∈ K si ha λw ∈ W.

ATTENZIONE: ci sono in giro quattro operazioni! La somma di K, la somma di V , il prodotto di K ed il prodotto misto. Entrambe le somme sono denotate con + e per entrambi i prodotti si usa la notazione contratta: λμ e λv ove λ, μ ∈ K e v ∈ V. In oltre ci sono due zeri: lo zero di K e lo zero di V. Sono due cose diverse, ma si denotano entrambi con il simbolo 0.

Definizione 3.1.3. Sia K un campo. Definiamo

Kn^ = {(x 1 ,... , xn) : xi ∈ K ∀i}

come l’insieme delle n-uple ordinate di elementi di K. Su di esso definiamo le operazioni

(x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn) λ(x 1 ,... , xn) = (λx 1 ,... , λxn).

Con tali operazioni Kn^ e uno spazio vettoriale su K. Le operazioni di somma su R^2 ed R^3 si visualizzano graficamente usando la regola del parallelogramma. Analogamente la moltiplicazione di un vettore di R^2 o R^3 per un numero reale λe l’usuale moltiplicazione che non cambia direzione n´e verso, ma riscala il modulo di un fattore λ.

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3.2. ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI 17

Definizione 3.1.4. Sia K un campo e X un insieme. Definiamo

KX^ = {f : X → K}

come l’insieme di tutte le funzioni da X a K. Su di esso definiamo le operazioni f + g e λf (con f, g ∈ KX^ e λ ∈ K)

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λf (x). Con tali operazioni KX^ risulta uno spazio vettoriale su K. L’insieme dei polinomi K[x] potrebbe anche essere visto come sottospazio vettoriale di KK, ma in tal caso sarebbe pi`u opportuno parlare di funzioni polinomiali. L’anello dei polinomi ha invece una sua struttura vettoriale propria, ottenuta definendo le operazioni come segue.

Definizione 3.1.5. Su K[x] si definiscono le operazioni ∑

i

aixi^ +

i

bixi^ =

i

(ai + bi)xi^ λ(

aixi) =

i

λaixi.

Con tali operazioni K[x] risulta uno spazio vettoriale su K.

3.2. Esempi ed esercizi svolti

Esempio 3.2.1. Lo spazio delle funzioni da R in s´e `e uno spazio vettoriale su R.

Esempio 3.2.2. Lo spazio delle funzioni da R in C `e uno spazio vettoriale su C.

Esempio 3.2.3. C `e uno spazio vettoriale su C.

Esempio 3.2.4. C `e uno spazio vettoriale su R.

Esempio 3.2.5. C `e uno spazio vettoriale su Q.

Esempio 3.2.6. R `e uno spazio vettoriale su Q.

Esercizio 3.2.7. Sia V uno spazio vettoriale su K e sia v ∈ V un elemento fissato. Siano w 1 , w 2 ∈ V tali che w 1 + v = w 2 + v. Si dimostri che w 1 = w 2.

Soluzione. w 1 = w 1 + v − v = w 2 + v − v = w 2 

Esercizio 3.2.8. Sia V uno spazio vettoriale su K e sia v ∈ V un elemento fissato. Sia w ∈ V tale che w + v = v. Si dimostri che w = 0 (lo zero di V ).

Soluzione. w = w + v − v = v − v = 0 

Esercizio 3.2.9. Sia V uno spazio vettoriale su K. Si dimostri che per ogni v ∈ V si ha

0 v = 0

(ove il primo zero e lo zero di K mentre il secondo zeroe lo zero di V .)

3.3. ESERCIZI 19

Esempio 3.2.16. Rn^ ha infiniti elementi se n ≥ 1 ed un solo elemento se n = 0. Lo stesso vale per Qn^ e Cn.

Esempio 3.2.17. (Z/ 2 Z)N^ ha infiniti elementi.

3.3. Esercizi

Esercizio 3.3.1. Sia V uno spazio vettoriale su K. Si dimostri che per ogni x ∈ K si ha

x0 = 0

(ove entrambi gli zeri sono lo zero di V .)

Esercizio 3.3.2. Sia V uno spazio vettoriale su K. Si dimostri che per ogni v ∈ V si ha

(−1)v = −v.

Esercizio 3.3.3. Si dimostri che l’insieme delle funzioni polinomiali a coefficienti in Z/ 2 Z, come sottoinsieme di Z/ 2 ZZ/^2 Z^ e un sottospazio vettoriale. Si dimostri che tale spazio vettorialee diverso da Z/ 2 Z[x] come spazio di polinomi. (Suggerimento: lo spazio delle funzioni da Z/ 2 Z in Z/ 2 Z `e finito.)

Esercizio 3.3.4. Sia R^2 con la somma usuale, ma col seguente prodotto misto:

λ ◦ (x, y) = (λx, 0).

Si dimostri che (R^2 , +, ◦) non e uno spazio vettoriale su R indicando quale condizione none rispettata.

Esercizio 3.3.5. Si dimostri che per ogni n ∈ N si ha K≤n[x] < K[x].

Esercizio 3.3.6. Si dimostri che se W `e un sottospazio di uno spazio vettoriale V allora 0 ∈ W.

Esercizio 3.3.7. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e sia X < K un campo. Si dimostri che V `e uno spazio vettoriale su X (con le operazioni originali).

Esercizio 3.3.8. Sia C come spazio vettoriale su C. Si dimostri che R ⊂ C non `e un sottospazio di C.

Esercizio 3.3.9. Sia C come spazio vettoriale su R. Si dimostri che R ⊂ C `e un sottospazio di C.

Esercizio 3.3.10. Sia V ⊂ Kn^ l’insieme definito da

V = {(x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Kn^ : x 1 = 0}.

Ai dimostri che V `e un sottospazio vettoriale di Kn.

Esercizio 3.3.11. Sia V ⊂ Kn^ l’insieme definito da

V = {(x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Kn^ : x 1 = 1}.

Ai dimostri che V non `e un sottospazio vettoriale di Kn.

3.3. ESERCIZI 20

Esercizio 3.3.12. Si dica se l’insieme {(x, y) ∈ R^2 : x^2 − y^2 = 1} sia un sottospazio vettoriale di R^2.

Esercizio 3.3.13. Si dica se l’insieme {(x, y) ∈ R^2 : x^2 − y^2 = 0} sia un sottospazio vettoriale di R^2.

Esercizio 3.3.14. Si dica se l’insieme {(x, y) ∈ R^2 : y = x^2 } sia un sottospazio vettoriale di R^2.

Esercizio 3.3.15. Si dica se l’insieme {(x, y) ∈ R^2 : y = x^2 + 1} sia un sottospazio vettoriale di R^2.

Esercizio 3.3.16. Si dica se l’insieme {(x, y) ∈ R^2 : y = x + 1} sia un sottospazio vettoriale di R^2.

Esercizio 3.3.17. Si dica se l’insieme {(z, w) ∈ C^2 : z = ¯w} sia un sottospazio di C^2.

Esercizio 3.3.18. Si dica se l’insieme {(z, w) ∈ C^2 : z = ¯w} sia un sottospazio di C^2 , questa volta considerato come spazio vettoriale su R.

Esercizio 3.3.19. Si dica se

V = {f : R → R : f (1) = 0}

sia un sottospazio vettoriale di RR.

Esercizio 3.3.20. Si dica se

V = {f : R → R : f (0) = 1}

sia un sottospazio vettoriale di RR.

Esercizio 3.3.21. Si dica se

V = {f : R → R : f `e dispari }

sia un sottospazio vettoriale di RR.

Esercizio 3.3.22. Si dica se

V = {f : R → R : f `e dispari }

sia un sottospazio vettoriale di RR.

Esercizio 3.3.23. Si dica se

V = {f : R → R : f ′^ = 1}

sia un sottospazio vettoriale di RR.

Esercizio 3.3.24. Si dica se

V = {f : R → R : f ′^ = 0}

sia un sottospazio vettoriale di RR.