Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F 1 ed F 2 (detti fuochi), ossia: Iperbole = { punti P del piano: |d(P,F 1 ) - d(P,F 2 )| = costante} Un’equazione del tipo:

rappresenta l’ equazione canonica o normale dell’iperbole , avente

fuochi :

asintoti : ,

Gli asintoti sono rette che limitano l’iperbole, alle quali la curva si avvicina, ma che non tocca mai. Infatti ASINTOTO è una parola che deriva dal greco: a (α) privativo che significa no e sympìptein (συμπιπτειν) che significa congiungere, quindi significa che non tocca, in pratica si tratta di una retta che si avvicina alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto e' la tangente all'infinito della funzione)

eccentricità : (è sempre maggiore di 1 e dà la misura di quanto l’iperbole è aperta)

Dall’equazione canonica dell’iperbole, si deducono le seguenti proprietà :

i semiassi a, b, individuano un rettangolo di lati 2 a e 2b, che ha le seguenti caratteristiche: mentre l'ellisse è tutta contenuta dentro a questo rettangolo, l'iperbole ne è tutta all'esterno. In particolare l’iperbole è tutta esterna alla striscia di piano limitata dalle rette x = - a , x = + a , ed è limitata dalle rette che contengono le diagonali di questo rettangolo, tali diagonali sono anche dette asintoti dell’iperbole.
L’iperbole è simmetrica rispetto agli assi coordinati.
L’iperbole è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
L’iperbole è una curva aperta.
L’iperbole interseca l’asse delle ascisse nei punti A 1 (- a , 0) e A 2 (+ a , 0), detti vertici , mentre non incontra mai l’asse delle ordinate; perciò l’asse x si dice asse traverso , mentre l’asse y si dice asse non traverso.
Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, l’iperbole è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo all'asse del cono.

IPERBOLE EQUILATERA

Se nell’equazione canonica dell’iperbole si ha a = b allora si trova l’equazione dell’ iperbole equilatera , la cui equazione, riferita agli assi , è: x^2 - y^2 = a^2

e avrà come asintoti le bisettrici degli assi, di equazioni : y^ = ±^ x , rispettivamente y = +x la bisettrice del 1° e 3° quadrante, y = -x la bisettrice del 2° e 4° quadrante.

Assumendo gli asintoti come assi di un nuovo sistema di riferimento, ossia effettuando una rotazione di 45°, si ottiene l’ IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI , la cui equazione è:

xy = k con k costante, k ∈ ℜ, della quale si preferisce la scrittura nella forma equivalente:

y = k/x con k costante, k ∈ ℜ L’Iperbole equilatera riferita agli asintoti è una funzione y = f(x), che ha un asintoto verticale coincidente con l’asse delle y ed un asintoto orizzontale coincidente con l’asse delle x. Per disegnarla intuitivamente basta ricordarsi che passa sempre per i punti A(1,k) e B(k,1) ed analogamente per i punti C(-1, -k) e D(-k,- 1); inoltre se k > 0, è composta di due rami che si trovano nel 1° e 3° quadrante e sono simmetrici rispetto alla bisettrice del 2° e 4°; mentre se k < 0, è composta di due rami che si trovano nel 2° e 4° quadrante e sono simmetrici rispetto alla bisettrice del 1° e 3°. Si parte da un asintoto, si raggiungono i punti A e B, poi si tende verso l’altro asintoto; ovviamente, se dall’equazione si ricava qualche altro punto si è facilitati nel disegno; analogamente per l’altro ramo.

k > o