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FUNZIONI
Il concetto di funzione è molto importante per la matematica: infatti la matematica è cercare le cause, le implicazioni e le conseguenze di un fatto o di un fenomeno. L'utilità di una funzione è appunto di mostrare il legame esistente fra cose diverse. CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI NUMERICHE L'insieme delle funzioni numeriche si può ripartire in:
- funzioni empiriche per le quali non esiste alcuna legge o formula matematica che faccia passare dai valori di x ai corrispondenti valori di y, cioè l'immagine di un elemento non è ottenibile mediante una legge, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di rilevazioni (come in economia o statistica). Esempi: il peso di una persona in funzione della sua età, la crescita di una pianta al passare del tempo, la temperatura di un luogo in funzione delle ore della giornata.
- funzioni analitiche o matematiche per le quali esiste una legge o formula matematica che a partire da un elemento x del dominio permette di calcolare la sua immagine y mediante un numero finito di operazioni, con y = f(x). Esempi: la lunghezza del perimetro di un triangolo equilatero (y) in funzione del suo lato (x): y=3x; la spesa per una stoffa (y) in funzione della lunghezza (x): y = (costo al metro)x.
Tra le funzioni analitiche particolare rilevanza hanno le funzioni reali di variabile reale , cioè quelle funzioni matematiche il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali. Le funzioni analitiche reali di variabile reale, a loro volta, si suddividono nei due seguenti sottoinsiemi:
- Le funzioni algebriche , per le quali il valore y della variabile dipendente si ottiene, a partire dal valore x della variabile indipendente, eseguendo un numero finito di operazioni algebriche; ricordando che, nell'ambito dei numeri reali, sono chiamate algebriche le seguenti operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza n-esima, estrazione di radice n-esima (con n∈N 0 ). Esempi:
- Le funzioni trascendenti , per le quali si passa dai valori di x a quelli di y mediante operazioni matematiche non algebriche. Appartengono a questa categoria le funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche. Esempi: y = logx y = senx+cosx
Le funzioni algebriche si dividono in: funzioni razionali , in cui non è applicata l'operazione di radice n- esima alla variabile x e funzioni irrazionali , che presentano operazioni di radice n-esima applicate alla variabile x. A loro volta le funzioni razionali ed irrazionali possono essere intere se non è presente l'operazione di divisione applicata alla variabile x o in caso contrario fratte o frazionarie. Esempi:
Nel seguente diagramma ad albero riassuntivo è schematizzata la classificazione delle funzioni analitiche:
DEFINIZIONE di FUNZIONE Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice applicazione o funzione f di A in B una legge che ad ogni elemento dell'insieme A fa corrispondere uno ed un solo elemento dell'insieme B, (analogamente: una legge che ad ogni elemento di A associa al massimo un solo elemento di B).
L'insieme A si dice DOMINIO della funzione, l'insieme B si dice CODOMINIO. Ad ogni elemento x dell'insieme A, la funzione f fa corrispondere un elemento f(x) detto immagine di x mediante f. L'elemento x , tale che y = f(x) , si dice controimmagine di f(x) in A. La variabile x è detta variabile indipendente , mentre y è la variabile ad essa dipendente. Non è detto che a tutti gli elementi del dominio sia associato un elemento del codominio, ma può darsi che alcuni di essi non siano coinvolti nella corrispondenza. Il sottoinsieme di A formato dagli elementi che hanno un corrispondente in B, si dice l’ insieme di definizione della funzione I (o Campo d’esistenza C.E.) , tuttavia, spesso, di una funzione si considera come dominio il suo campo di definizione o campo di esistenza, ossia il termine dominio viene usato come sinonimo di campo di definizione o di campo di esistenza Si definisce campo di esistenza di una funzione l'insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile indipendente x per ottenere il valore della y.
Funzione pari : una funzione f di dominio D si dice pari se In pratica significa che una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y.
Funzione dispari : una funzione f di dominio D si dice dispari se In pratica significa che una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine. Funzione iniettiva : se ogni elemento del codominio B è immagine di al più un elemento del dominio A. Funzione suriettiva (o surgettiva) : se ogni elemento del codominio B è immagine di almeno un elemento del dominio A. Funzione biiettiva (o bigettiva o biunivoca) : se la funzione è sia iniettiva che surgettiva. Funzione biunivoca : una funzione f di dominio D e codominio C è biunivoca quando ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio. Una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva e surgettiva, cioè bigettiva (o biunivoca). Funzione inversa : si chiama inversa di una funzione biunivoca f, e si indica f-1, la corrispondenza che ad ogni elemento del codominio di f fa corrispondere la sua unica controimmagine.
Retta bisettrice del 2° grado e 4° quadrante Funzione lineare Funzione di 1° grado y = - x A = B = V =
Retta diagonale del II e IV quadrante
y
x
Funzione Valore Assoluto o Funzione Modulo x se x ≥ 0 y = x = {
A = B = [0, + ∞) V = [0, + ∞)
Parabola
Funzione quadratica Funzione di 2° grado
y = x^2 A = B = [0 , + ∞) V = [0 , + ∞)
Funzione cubica Funzione di 3° grado
y = x^3 A = B = V =
Cubica
Funzione radice quadrata
y = √ x è la funzione inversa di y = x^2 A = [0 , + ∞) B = [0 , + ∞) V = [0 , + ∞)
Funzione radice cubica
y = ³ √ x A = B = V =
Iperbole equilatera
y = 1/x A = - {0} B = - {0} V = - {0}
FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMO
Funzione esponenziale
y = ax^ , a > 1, a ∈ + A = B = (0 , + ∞) V =
Funzione esponenziale
y = ax^ , 0 < a < 1, a ∈ + A = B = (0 , + ∞) V =
Funzione logaritmo
y = loga x , a > 1 A = (0 , + ∞) B = V = (0 , + ∞)
Funzione cotangente o cotangentoide
y = ctg x ctg x = 1/ tg x=cos x/senx A = - { k π} , k ∈ Z B = V = (0, π) È una funzione dispari, perché cotg(-x) = - cotgx È una funzione periodica di periodo π, perché cotgx = cotg (x + k π) , k ∈ Z
Funzione arcoseno
y = arcsen x A = [ -1 , 1] B = [ -π/2, π/2] V = [ -1 , 1] È la funzione inversa della funzione seno.
Funzione arcocoseno
y = arccos x A = [ -1 , 1] B = [0, π] V = [ -1 , 1] È la funzione inversa della funzione coseno.
Funzione arcotangente
y = arctg x A = B = (-π/2, π/2) V = È la funzione inversa della funzione tangente.
Funzione arcocotangente
y = arcctg x A = B = (0, π) V = È la funzione inversa della funzione cotangente.
Il Numero di Nepero "approssimato" fino alla 100a^ cifra vale: e =2. 2497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427… Il numero π "approssimato" fino alla 100a^ cifra vale: π =3. 69399375105820974944592307816406286208998628034825342117068 …
