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Serie numeriche
Consideriamo la successione numerica e supponiamo di volerne fare la somma dei suoi elementi, allora
scriveremo:
Che ovviamente possiamo scrivere nella forma compatta come:
Ma una scrittura di questo tipo non ha significato in quanto l’addizione è un operazione che può essere svolta su
un numero di elementi finiti ma è possibile ovviare al problema costruendo un’altra successione che prende il
nome di successione delle somme parziali che viene indicata con la simbologia , gli elementi di questa successione
sono somme parziali e si scrivono come:
La successione delle somme parziali sarà definita come:
In questo modo abbiamo una somma finita di elementi ed ora posso passare ai limiti:
Quindi possiamo scrivere che
Avendo a che fare con dei limiti possiamo avere diversi casi:
la serie diverge positivamente
la serie diverge negativamente
la serie è indeterminata
Ci sono serie a termini positivi e a termini non negativi
In una serie i termini generali possono essere sia positivi sia negativi, infatti avremo:
SERIE A TERMINI POSITIVI
se tutti gli
In questo caso possiamo dire che la successione delle somme parziali è
strettamente monotona crescente e quindi sicuramente la serie è
determinata, quindi il limite o esiste o diverge positivamente.
SERIE A TERMINI NON NEGATIVI
Non c’è una stretta monotonia, in ogni caso la monotonia mi da il carattere
determinato della serie perché il limite lo riesco a calcolare
Tra le serie a termini non negativi ritroviamo:
SERIE GEOMETRICA
È una serie che si presenta nella forma:
∑
𝑘 = 0
∞
𝑘 quantità fissa detta
ragione della serie
k =
Esempio:
Questa è una serie geometrica
Ragione è compresa tra 1 e -1 quindi converge
Se la serie diverge o converge dipende dalla ragione :
⋄𝑟 ≥ 1 → 𝐒𝐄𝐑𝐈𝐄 𝐃𝐈𝐕𝐄𝐑𝐆𝐄𝐍𝐓𝐄
⋄− 1 < 𝑟 < 1 → 𝐒𝐄𝐑𝐈𝐄 𝐂𝐎𝐍𝐕𝐄𝐑𝐆𝐄𝐍𝐓𝐄
𝑘 = 0
∞
𝑘
∑
𝑛 = 0
∞
(
1
2
)
𝑛
In questo caso possiamo calcolarne la somma e sapere quanto vale:
1
1 −
(
1
2
)
= 2
𝑛 = 0
∞
(
√
)
𝑛
Questa è una serie geometrica perché è l’esponente a variare r > 1 quindi DIVERGE
Quindi alla fine è come fare una somma di aree che sarà maggiore dell’area sotto la curva nell’intervallo che va
da 1 a n, ma l’area compresa sotto la curva da 1 a n non è altro che l’integrale definito , quindi posso scrivere:
𝑠
𝑛
>
1
𝑛
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑠
𝑛
> ln 𝑛 Facendo il limite comprendiamo che :
lim
𝑛→ ∞
ln 𝑛 =+ ∞
Quindi se io faccio il limite di con n che tende ad infinito è normale che non esca un valore finito quindi il suo
limite non può che essere uguale a +∞
Ma se
lim
𝑛→ ∞
𝑛
La serie diverge, quindi la serie armonica è una serie divergente
Condizione necessaria per la convergenza di una serie:
Il termine generale tende a zero per n tendente a + infinito.
Se il termine generale tende a zero allora la serie può convergere. Ciò non significa che sicuramente
converge! Se invece il termine generale non tende a zero, allora sicuramente la serie non converge
Alla base c’è un criterio detto CRITERIO DELLA CONVERGENZA DELL’INTEGRALE
È un criterio che vale per serie a termini positivi:
Ipotesi
Supponiamo di avere una funzione f(x):
Continua nell’intervallo [a ; ∞[
f(x) non crescente nell’intervallo
Con questo criterio si vuole confrontare la serie con una funzione sotto integrale,
avendo la serie
∑
𝑛 = 1
∞
𝑎
𝑛
Considero gli come la mia funzione definita in n
Il criterio mi dice che la serie ha lo stesso comportamento dell’integrale:
Se uno diverge diverge anche l’altro, se uno converge converge anche l’altro.
𝑎
∞
𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
La serie armonica è l’esempio per eccellenza di serie sempre divergente
E rappresenta il controesempio che il criterio di convergenza delle serie è solo necessario e non sufficiente perché
se la serie è convergente allora il termine generale è nullo ma se il termine generale è nullo non posso concludere
niente, la serie armonica ha termine generale convergente ma è una serie divergente perché attraverso il criterio
dell’integrale si vede che la somma delle aree non è finita
Penso alla funzione
𝑓
( 𝑥
)
1
𝑥
𝑝
e consideriamo il suo integrale
1
∞
1
𝑥
𝑝
𝑑𝑥
Se P > 1 l’integrale è convergente
Se P ≤ 1 l’integrale è divergente
Queste sono le stesse
informazioni che posso
dare sulla serie
armonica generalizzata
Quindi la serie
∑
𝑛 = 1
∞
(
1
𝑛
)
𝑃
Converge
P > 1
Diverge
P ≤ 1
Criterio del confronto
Partiamo da due successioni in cui , questa relazione comporta che:
∑
𝑛 = 1
∞
𝑎
𝑛
∑
𝑛 = 1
∞
𝑏
𝑛
Converge allora anche converge, ma se
∑
𝑛 = 1
∞
𝑏
𝑛
diverge non posso dire nulla
Piuttosto, se è
∑
𝑛 = 1
∞
𝑎
𝑛
a divergere allora anche
∑
𝑛 = 1
∞
𝑏
𝑛
diverge
Esempio
Consideriamo questa serie:
∑
𝑛 = 1
∞
1
2
𝑛
possiamo dire che
2
𝑛
𝑛
quindi
1
2
𝑛
<
1
2
𝑛
Adesso mi vado a studiare la serie
∑
𝑛 = 1
∞
1
2
𝑛
è una serie geometrica con ragione
Per il criterio del confronto anche la serie compresa tra -1 e 1, quindi CONV. ∑
𝑛 = 1
∞
1
2
𝑛
Converge
Ma se la serie che prendo diverge allora significa che ho fatto la scelta sbagliata perché non mi permette di
dire nulla sulla serie di partenza
Criterio della radice
Io ho la serie
𝑛 = 1
∞
𝑎
𝑛
Faccio e poi
lim
𝑛→ ∞
𝑛
𝑎
𝑛
< 1 CONVERGE
> 1 DIVERGE
Si usa per le potenze n-esime
Esempio:
𝑛 = 1
∞
𝑛 + 1
3 𝑛 − 1
𝑛
𝑛
𝑛 + 1
3 𝑛 − 1
𝑛
lim
𝑛→ ∞
𝑛 + 1
3 𝑛 − 1
=
1
3
È minore di 1 quindi è divergente
Criterio del confronto a limite
Ho due serie:
𝑎
𝑛
𝑛∈ 𝑁
𝑏
𝑛
𝑛∈ 𝑁
Faccio il limite del loro rapporto
lim
𝑛→ ∞
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
= 𝐿
L > 0 e diverge positivamente allora anche diverge
L è un valore finito e converge allora anche converge
Serie alternate
È una serie in cui compaiono segni positivi e segni negativi che si alternano
∑
𝑛 = 1
∞
( − 1 )
𝑛 + 1
∙ 𝑎
𝑛
Non posso utilizzare i criteri sopra enunciati, esse valgono solo per le serie a
termini positivi, per quelle alternate c’è il criterio di Leibnitz
Se si verifica che :
Se è a segni alterni, ovvero
La serie è non crescente
Allora la serie è convergente
