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MATEMATICA GENERALE
Simulazione 2 della prova intera Tempo disponibile: 1 ora e 30 minuti (32 punti totali)
Esercizio 1
Data la funzione f (x) = e x x + 1+ 2
determinarne: i) (6 punti) dominio, eventuali simmetrie ed intersezioni con gli assi, segno; ii) (4 punti) limiti signiÖcativi ed eventuali asintoti; iii) (3 punti) derivata prima, monotonia ed eventuali estremi; iv) (2 punti) derivata seconda e concavit‡/convessit‡; v) (2 punti) il graÖco sommario.
Esercizio 2 (9 punti)
Determinare i valori, se esistono, del parametro reale t tali per cui le soluzioni del sistema 8
< :
x 1 + 2x 2 x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 x 1 x 2 + x 3
t 0 0
sono vettori di norma unitaria, vale a dire q x^21 + x^22 + x^23 = 1.
Esercizio 3
(3 punti)
Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata:
max x;y
(x 4)^2 (y 4)^2
sotto il vincolo 2 x + 3y = 6:
La soluzione (x; y; ) Ë tale che ( denota il moltiplicatore di Lagrange):
- y^ = 137 ;
- ^ = 0;
- x^ = 4;
- ^ = ^2813 ;
- nessuna delle precedenti risposte vale.
Esercizio 4
(3 punti)
Líintegrale deÖnito (^) Z (^) e
1
ln
x
dx
vale:
- 1 ln 2;
- ln 2 1 ;
- e ln 2 + ln 2 + 1;
- e ln 2 ln 2 1 ;
- nessuna delle precedenti risposte vale.
iii)
f 0 (x) = e x x+1+2^ 1 (x + 2) (x + 1) 1 (x + 2)^2
= e
x x+1+ (x + 2)^2
0 per ogni x 2 D:
Non vi sono punti stazionari. La f Ë strettamente crescente sullíintervallo ( 1; 2). La f Ë stretta- mente crescente sullíintervallo ( 2 ; + 1 ). Ovviamente la f non Ë crescente su tutto il suo dominio D (il test di monotonia vale solo sugli intervalli):
f ( 3) = e^2 f (0) =
p e.
iv)
f 00 (x) = (^) dxd^ e
x x+1+ (x + 2)^2
e x^ x+1+ (x+2)^2 ^ (x^ + 2)
(^2) ex x+1+2 (^) 2 (x + 2) (x + 2)^4
= e x x+1+2 2 x + 3 (x + 2)^4
Studiamo il segno di f 00 (x). La disequazione
e x x+1+2 2 x + 3 (x + 2)^4
2 x + 3 0 x 6 = 2
x ^32 x 6 = 2
implica che il graÖco di f (x) Ë strettamente convesso sullíintervallo ( 1; 2) e separatamente sullíintervallo 2 ; ^32
. Il graÖco di f (x) Ë invece strettamente concavo sullíintervallo
^32 ; + 1
. Nel punto x = ^32 si ha un áesso a tangente obliqua di ordinata f
^32
= e ^1 :
v) Possiamo ora costruire il graÖco.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
f (x) = e x x+1+
dove 2 (^64)
1
La norma euclidea della soluzione Ë p x 12 + x 22 + x 32 =
r 14 49 t^2 ,
cosicchË (^) r 2 7 t
(^2) = 1 () jtj =
r 7
Esercizio 3
Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata:
max x;y
(x 4)^2 (y 4)^2
sotto il vincolo 2 x + 3y = 6:
La soluzione (x; y; ) Ë tale che ( denota il moltiplicatore di Lagrange):
- y^ = 137 ;
- ^ = 0;
- x^ = 4;
- ^ = ^2813 ;
- nessuna delle precedenti risposte vale.
SOLUZIONE. La risposta esatta Ë la 5). La funzione lagrangiana corrispondente al problema Ë L (x; y; ) = (x 4)^2 (y 4)^2 (2x + 3y 6)
e le condizione necessarie di ottimalit‡ sono:
8
<
:
@ @x L^ (x; y; ) = 8^ ^2 ^ ^2 x^ = 0
@y^ @ L^ (x; y; ) = 8^ ^3 ^ ^2 y^ = 0
@ @ L^ (x; y; ) = 6^ ^3 y^ ^2 x^ = 0
Sostituendo x = 4 e y = 4 32 nellíequazione (^) @@ L = 0 si ha
6 3
2 (4 ) = 0 () ^ =^28
e dunque
x^ = 2413 ;
y^ = 1013 :
Esercizio 4
Líintegrale deÖnito (^) Z (^) e
1
ln
x
dx
vale:
- 1 ln 2;
- ln 2 1 ;
- e ln 2 + ln 2 + 1;
- e ln 2 ln 2 1 ;
- nessuna delle precedenti risposte vale.
SOLUZIONE. La risposta esatta Ë la 4). Infatti, poichË x tra 1 ed e Ë positivo,
Z (^) e 1
ln
x
dx =
Z (^) e 1
(ln 2 ln x) dx =
Z (^) e 1
ln 2dx
Z (^) e 1
ln xdx
= ln 2 (e 1) x (ln x 1)
e 1
= ln 2 (e 1)
@ (^) e(ln e 1) | {z } = 0
@(ln 1) | {z } = 0
A
A
= e ln 2 ln 2 1.
