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Funzioni di più variabili. Ottimizzazione

libera e vincolata

Cenni di geometria analitica dello spazio

Gli spazi R n.

Funzioni di 2 o più variabili reali. Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o più variabili reali.

Derivate parziali. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

Ottimizzazione Ottimizzazione libera Ottimizzazione vincolata

Funzioni di più Ottimizzazionevariabili.

Indice Cenni di geometria analitica dello spazio Gli spazi R n^. Funzioni di 2 o più variabili reali. Derivate parziali. Ottimizzazione

Lo spazio ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R^3 , quindi ad ogni punto dello spazio si associano 3 coordinate ( x , y , z ) dette “ascissa”, “ordinata” e “quota”. Dati due punti A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) e B = ( b 1 , b 2 , b 3 ) la loro distanza è data da

d ( A, B ) =

√︁ ( a 1 − b 1 )^2 + ( a 2 − b 2 )^2 + ( a 3 − b 3 )^2

(︂ )︂

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Ottimizzazionevariabili.

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Lo spazio ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R^3 , quindi ad ogni punto dello spazio si associano 3 coordinate ( x , y , z ) dette “ascissa”, “ordinata” e “quota”. Dati due punti A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) e B = ( b 1 , b 2 , b 3 ) la loro distanza è data da

d ( A, B ) =

√︁ ( a 1 − b 1 )^2 + ( a 2 − b 2 )^2 + ( a 3 − b 3 )^2

Il punto medio di AB ha coordinate:

M =

(︂ a 1 + b 1 2

a 2 + b 2 2

a 3 + b 3 2

)︂

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Ottimizzazionevariabili.

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L’equazione di un piano nello spazio è della forma:

ax + by + cz + d = 0

I (^) Se a = b = d = 0 si ha il piano xy ( z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy

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Ottimizzazionevariabili.

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L’equazione di un piano nello spazio è della forma:

ax + by + cz + d = 0

I (^) Se a = b = d = 0 si ha il piano xy ( z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy I (^) Se b = c = d = 0 si ha il piano yz ( x = 0); se b = c = 0 si ha un piano parallelo al piano yz

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Ottimizzazionevariabili.

Indice Cenni di geometria analitica dello spazio Gli spazi R n^. Funzioni di 2 o più variabili reali. Derivate parziali. Ottimizzazione

Una retta nello spazio può essere rappresentata come intersezione di due piani non paralleli, quindi algebricamente, da un sistema di 2 equazioni lineari.

r :

{︃ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

(o con equazioni equivalenti)

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Ottimizzazionevariabili.

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Una retta nello spazio può essere rappresentata come intersezione di due piani non paralleli, quindi algebricamente, da un sistema di 2 equazioni lineari.

r :

{︃ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

(o con equazioni equivalenti)

x y

z

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Ottimizzazionevariabili.

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Dato il piano 𝜋 di equazione 𝜋 : ax + by + cz + d = 0 il vettore: #» n = ( a, b, c ) è ortogonale a 𝜋 (vettore normale al piano).

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Ottimizzazionevariabili.

Indice Cenni di geometria analitica dello spazio Gli spazi R n^. Funzioni di 2 o più variabili reali. Derivate parziali. Ottimizzazione

Dato il piano 𝜋 di equazione 𝜋 : ax + by + cz + d = 0 il vettore: #» n = ( a, b, c ) è ortogonale a 𝜋 (vettore normale al piano).

x y

z

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Ottimizzazionevariabili.

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Definizione

Si chiama spazio R^2 l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R × R.

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Definizione

Si chiama spazio R^2 l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R × R.

R^2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell’ordinario piano euclideo.

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Definizione

Si chiama spazio R^2 l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R × R.

R^2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell’ordinario piano euclideo. Generalizzazione: il prodotto cartesiano

R^3 = R × R × R = {( x , y , z ) : x , y , z ∈ R}

cioè l’insieme delle terne ordinate di numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti dello spazio ordinario.

Definizione

Spazio reale n -dimensionale è l’insieme

R n^ = R⏟ ×... ⏞ R n volte

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Distanza euclidea

Definizione

Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 ( x 1 , x 2 ,... , xn ) e P 2 ( y 1 , y 2 ,... , yn ) di R n^ è

d ( P 1 , P 2 ) =

√︁ ( x 1 − y 1 )^2 + ( x 2 − y 2 )^2 + · · · + ( xn − yn )^2_._

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