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STATISTICA DESCRITTIVA MONOVARIATA
Livello di scala Operazione canonica Tipo di variabile 0 scala nominale Classificazione Variabile categoriale 1 scala ordinale Classificazione in categorie ordinate (ordinamento) Variabile ordinale 2 scala di intervalli Misurazione (0 convenzionale, unità di misura convenzionale) Variabile cardinale 3 scala di rapporti Misurazione(0 assoluto, unità di misura convenzionale) Variabile cardinale VARIABILI CATEGORIALI Esempi: Sesso, Religione di appartenenza, Nazionalità, Regione geografica di provenienza DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA : serie sconnessa di frequenzatabella di frequenze (assolute; relative: ∑fk=1; percentuali: ∑qk=100) RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Diagramma a barre orizzontali/verticali Grafico a torta OPERATORI DI TENDENZA CENTRALE
- Moda OPERATORI DI DISPERSIONE
Indice di Gini: E 1 = 1 − ∑ f^2 ; valore massimo: (K-1)/K
VARIABILI ORDINALI
Esempi: Scala Moh della durezza dei minerali " Voti ottenuti negli esami " Grado militare " Titolo di studio " Graduatorie in un concorso DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA : serie ordinata di frequenza (frequenze cumulate e retrocumulate) RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Istogramma Spezzata a gradini OPERATORI DI TENDENZA CENTRALE
- Moda
- Mediana: se N è dispari (N+1)/ se N è pari N/2 e N/2+ OPERATORI DI DISPERSIONE non si usa molto calcolare la dispersione di una variabile ordinale OPERATORI DI POSIZIONE O QUANTILI
- Quartili
- Decili e centili VARIABILE CARDINALE Esempi: Temperatura(°C,°F), Data del calendario, Test di intelligenza, Test di abilità, Test di profitto, Test di attitudine, Scale di atteggiamento. Esempi: Lunghezza, Durata, Temperatura in gradi Kelvin, Peso, n di risposte corrette in un test di abilità, Tempi di reazione, Ritmo cardiaco in ricerche psicofisiologiche, n di volte in cui si è verificato un certo comportamento. TIPO A DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA: seriazione di frequenza (frequenze assolute) RAPPRESENTAZIONE GRAFICA: Istogramma (ampiezza equivalente) OPERATORI DI TENDENZA CENTRALE:
- Moda
- Mediana
- Media: x =¿ (^) ∑ i = 1 N
( xi ) / N ¿
OPERATORI DI DISPERSIONE:
o Varianza: s
2 ∑ i = 1 N
o Deviazione standard: s =
√∑ i = 1
N
TIPO B
DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA: Seriazione di frequenza in classi
LIMITI VERI: l' = limite inferiore-0,5 L' = limite superiore+0.
AMPIEZZA: ak = Lk^ '^ - lk^ '
DENSITA’: dk = nk / ak
VALORE CENTRALE: xk =¿^ ¿^ ¿
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA:
Istogramma Poligonale di frequenza OPERATORI DI TENDENZA CENTRALE:
N
∑ k = 1 K
xk nk
OPERATORI DI DISPERSIONE:
o Varianza: s^2 =
N
∑ k = 1 K
nk ¿ ¿
o Deviazione standard CURVA NORMALE O DI GAUSS
Parametri: μ = media
σ = deviazione standard
Intervalli tipici:
( μ -1 σ^ <x< μ +^1 σ^ ¿ 68%
( μ -2 σ <x< μ + 2 σ ¿ 95%
( μ -3 σ^ <x< μ +^3 σ^ ¿^ 99%
Indici di forma:
- Simmetria/asimmetria positiva (media>mediana>moda) o negativa (media<mediana<moda)
- Curtosi: leptocurtica se è più appuntita rispetto alla normale platicurtica se è meno appuntita rispetto alla normale Gamma 1 Gamma 2 I momenti omogenei:
- di primo ordine (media): informano sulla tendenza centrale
- centrali di secondo ordine: informano sulla dispersione
- centrali di terzo ordine: informano sulla simmetria
- centrali di quanto ordine: informano sulla curtosi
Assioma 1: gli eventi, sottoinsiemi di uno spazio , formano una classe additiva . Assioma 2 : a ogni evento Ei è assegnato un numero reale P(Ei) 0. Assioma 3 : P () = 1probabilità di omega= Secondo assioma + terzo assioma scala di probabilità che va da 0 a 1. Assioma 4: se Ei e Ej sono eventi incompatibili, ovvero se EiEj=, allora: P(EiEj)=P(Ei)+P(Ej). La cardinalità : in generale, indicando con n la cardinalità di ,la cardinalità di è data da:
Principio della somma, probabilità totali: calcolare la probabilità di uno o più eventi
eventi disgiunti e non compatibili EiEj= P(EiEj) = P(Ei) + P(Ej). eventi non disgiunti e compatibili EiEj P(EiEj) = P(Ei) + P(Ej)-P(Ei Ej)
Principio del prodotto, probabilità composte P(Ei Ej): verificarsi congiunto di più eventi
eventi indipendenti P(Ei|Ej)= P(Ei) P(EiEj) = P(Ei)* P(Ej) e P(EjEi) = P(Ej)* P(Ei) eventi non indipendenti (dipendenti) P(Ei|Ej) P(Ei) P(EiEj) = P(Ei)* P(Ej|Ei) e P(EjEi) = P(Ej)* P(Ei|Ej)
2. VARIABILE ALEATORIA È un dispositivo per descrivere cosa può capitare in una circostanza di tipo aleatorio, questa descrizione viene fatta in modo probabilistico. Eventi elementari: coincidono con gli esiti che possono avere gli eventi (es. lancio della moneta). Eventi complessi: unione di più eventi elementari (es. uscita di un numero pari al lancio di un dado). Evento complementare: evento opposto a quello preso in considerazione da noi. Omega =unione degli eventi elementari Insieme delle parti associato ad , , come l’insieme di tutti gli eventi elementari e complessi che possiamo formare a partire da , compresi l’evento impossibile (insieme vuoto, indicato con ) e , l’evento certo. Evento impossibile= probabilità 0 e evento certo= probabilità 1 Le probabilità sono numeri, gli eventi NO! Posso sommare, moltiplicare tra di loro delle probabilità, ma non degli eventi! Probabilità condizionata : P(Ei|Ej) probabilità che Ei si verifichi posto che Ej si sia verificato P(Ei|Ej)= P(Ei) L’evento condizionante non modifica la probabilità dell’evento d’interesse evento indipendente. L’evento è condizionato se la sua probabilità cambia in relazione all’altro evento evento dipendente. indipendenza stocastica : P(Ei|Ej)= P(Ei) e P(Ej|Ei)= P(Ej)
Bisogna: tradurre gli elementi di omega in numeri e associare ai numeri delle probabilità. Valori numerici (omega R)= supporto numerico della variabile aleatoria. Costruzione variabili aleatorie unidimensionali discrete:
- Costruzione dello spazio campione
- Costruzione dell’insieme delle parti
- Assegnazione di una probabilità agli eventi elementari.
- Definizione di una funzione che assegna ad ogni evento elementare un numero reale xi
- Assegnazione di una probabilità ai valori xi, P(xi)
- Rappresentazione della v.a. X e controllo della sua corretta costruzione RPPRESENTAZIONE GRAFICA della DISTRIBUZIIONE DI PROBABILITA’ Ascisse: supporto numerico Ordinate: la probabilità (se è discreta) v.a. di Bernoulli f(x;p) funzione di probabilità PARAMETRO: p probabilità di successo VALORI CARATTERISTICI distribuzione del parametro o Valore atteso o Varianza v.a. binomiale è la somma di n variabili bernoulliane; queste sono i.i.d. (identicamente, indipendentemente distribuite). PARAMETRO: p governa l’andamento della probabilità, il valore atteso della variabile e anche la sua varianza. P=q distribuzione simmetrica e viceversa VALORI CARATTERISTICI o Valore atteso
E(x)=n*p
o Varianza
VAR(X)=npq
SOMMA
Dei valori attesi: E(X)= n*p
Delle varianze: VAR(X)= np(1-p) np*q
Variabili aleatorie unidimensionali continue: È la v.a. che descrive il punteggio che possiamo osservare estraendo a caso un individuo. n/xcoefficiente binomiale ci dice quante volte posso ottenere un determinato risultato; in quanti modi posso ottenere quel risultato numerico.
Rapporto tra v.a. normale standardizzata e radice quadrata di una v.a. chi quadrato rapportata ai suoi gdl. (La normale standardizzata e a chi quadrato sono tra loro indipendenti.) PARAMETRO: gdl crescendo la sua forma approssima sempre più la normale standardizzata (il rapporto sarà sempre più vicino a 1 (varianza tende a 1, e media 0). VALORI CARATTERISTICI: o Media o Varianza La probabilità si concentra solo su una coda positiva o negativa, se si riferisce a due code sta a metà tra le due risultati si trovano sulle tavole statistiche (si divide nel caso in cui la distribuzione viene associata all’uso ad una coda o a due code.) o
3. CONCETTO DI DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DI UNA STATISTICA Da un campione di N elementi si estrae un campione di n elementi, sul quale calcoliamo una statistica. Si utilizza una procedura di campionamento casuale semplice con reimmissione: ogni estrazione è indipendente.
RDN ,n = N
n Estraiamo dalla popolazione un campione casuale semplice (CSR) (tutte le unità hanno la stessa
probabilità di comporre il campione), di ampiezza n ogni Xi è NOR (μ, σ^2 ) come la variabile nella
popolazione ed è indipendente dalle altre: i.i.d. In una tabella registriamo gli esiti dell’estrazione dei vari campioni. Distribuzione indica un insieme di valori: es. distribuzione campionaria della media l’insieme delle medie di tutti campioni. Parametro : valore incognito di una popolazione che vogliamo conoscere, indicato con lettere dell’alfabeto greco. Statistica campionaria : valore calcolato sui dati del campione che usiamo per produrre informazioni sul parametro, indicata con lettera dell’alfabeto latino. Per poter generalizzare i risultati ottenuti su un campione all’intera popolazione da cui è stato estratto il campione, il campione deve essere statisticamente rappresentativo cioè ottenuto attraverso una procedura di campionamento probabilistico (casuale). Procedure di campionamento: probabilistico stratificato e a grappoli non probabilistico Somma campionaria U= X1+X2…+Xn
(u= x1+ x2+…+xnvalori campioni è una determinazione della v.a. Uintera distribuzione valori)
Parametri della v.a. U, se le variabili si distribuiscono normalmente le Xi sono NOR ¿ ¿):
o Media: E(U)= n*μ
o Varianza: VAR (U)= n* σ^2
Teorema del limite centrale
Data una popolazione di qualsiasi forma, con media e varianza ❑^2 ed estratto un campione CSR di
ampiezza n, la v.a. ZU tende a distribuirsi come una v.a. normale standardizzata.
Distribuzione della v.a. media campionaria o Valore atteso La media della distribuzione campionaria è uguale alla media della popolazione. o Varianza La sua radice è ERRORE STANDARD (SE) della media. Forma della distribuzionenormale sotto la condizione che la variabile nella popolazione sia anch’essa una normale o se la variabile è non normale ma il campione è grande (grazie al teorema del limite centrale). Se il campione è piccolo anche la media si distribuisce normalmente: sappiamo a priori quale sarà la sua forma, la sua media, ecc.
Procedure inferenziali :
STIMA PUNTUALE
Stimatore: nome che si attribuisce alla statistica T(X1,X2,…) Stima: valore di una statistica che riteniamo sia approssimativamente vicino al valore del parametro che ci interessa. Determinazione di un campione effettivo t (x1,x2,…)
La stima viene indicata con il simbolo del parametro a cui si aggiunge l’accento circonflesso ( ^ μ ).
Stima puntuale è sempre accompagnata dall’errore standard (SE). Proprietà degli stimatori: (ci aiutano a scegliere quale stimatore sia il più valido) o Correttezza : assoluta valore atteso coincide con il parametro da stimare asintotica: distorsione dello stimatore tende a zero per n che tende a infinito. o Efficienza : quanto le singole stime sono vicine al parametro di interesse, è il reciproco dello scostamento medio che c’è tra i valori dello stimatore e il parametro che deve studiare: Stimatori corretti: è il reciproco della varianza dello stimatoreefficienza relativa: Media: stimatore corretto Varianza: asintoticamente corretto stimatore assolutamente corretto correggiamo l’espressione della varianza campionaria. : varianza campionaria corretta Parametri: valore atteso: varianza:
Il più delle volte la media si distribuisce in modo normale; la media delle media è uguale a μ; in corrispondenza dei punti di flesso, la distanza dalla media è uguale a μ-1 SE ( = μ-SE - =μ+SE). Si sceglie che tipo di distribuzione assume la statistica in base al SIGMA: Noto: si distribuisce come una NOR (0,1). Ignoto: si distribuisce come una t di Student con gdl= n-1. (Si usa quando il campione è piccolo, ma è plausibile che la variabile si distribuisca normalmente.) VERIFICA DI IPOTESI Ipotesi: affermazione relativa ad un’informazione che può essere controllata empiricamente. Verificare le ipotesi: controllare la plausibilità dell’ipotesi attraverso dei dati campionari. Logica della verifica di ipotesi: Sistema di ipotesi:
1. H 0 ipotesi nulla
2. H 1 ipotesi alternativa (o di ricerca)
Si lavora sempre sull’ipotesi nulla (incompatibile con H 1 ¿, che si assume vera.
Statistica test : si calcola una statistica e se ne ricava la distribuzione campionaria assumendo come
vera H 0.
Decisione statistica : in base a dove si posiziona il valore della statistica sulla distribuzione
campionaria della statistica si decide se accettare o rifiutare H 0.
In queste statistiche le ipotesi vengono rifiutate o accettate non vengono dichiarate vere o false. Z calcolato= valore della statistica test se sulla distribuzione campionaria della statistica test: o cade vicino al valore atteso della distribuzione accettiamo l’ipotesi nulla o cade su una delle code della distribuzione rifiutiamo l’ipotesi nulla Z critico= valore soglia (cut off) separa l’intervallo dei valori che portano all’accettazione o al
rifiuto di H 0.
Quando si rifiuta H 0 (Z calcolato sta sulle code della distribuzione, fuori dallo Z critico) si commenta
con l’affermazione del livello di significatività. IPOTESI: Bidirezionale: test a due code (/2= 0,025) Monodirezionale: test a una coda (=0,05) Semplice: un solo valore che rende vera l’ipotesi (quella nulla è sempre semplice). Composte: più valori che rendono vero l’ipotesi alternativa. Distribuzione della media campionaria standardizzata e verifica di ipotesi su una media Devo assumere che la variabile si distribuisca normalmente nella popolazione. Sigma noto: la media standardizzata si distribuisce come una NOR(0,1) z-test Sigma ignoto: La media standardizzata si distribuisce come una t di Student con gdl= n-1. t-test Logica falsificazionista di Popper : l’ipotesi non può essere verificata una volta per tutte (non si può mai escludere che in una certa circostanza ci siano dei dati che la falsifichino), ma è possibile falsificarla.
Se le due popolazioni sono NOR, ma le varianze nella popolazione sono ignote : la statistica test si distribuisce come la t di Student e se n1>30e n2 >30 approssima la NOR standardizzata. Se nelle due popolazioni la variabile ha una distribuzione NOR: (differenza tra le medie/SE) anche la statistica test si distribuisce come la NOR (0,1). Bisogna distinguere due tipi di test:
- Parametrico: vengono fatti assunti sulla distribuzione della variabile/i nella popolazione; parametri governano una distribuzione.
- Non parametrico o distribution free: la distribuzione della variabile/i nella popolazione può essere qualsiasi. Errori nella verifica di ipotesi
probabilità di commettere l’errore di rifiutare H 0 veraerrore di prima specie
β probabilità di commettere l’errore di accettare H 0 falsaerrore di seconda specie
Potenza di un test: 1-β=capacità di rifiutare ipotesi nulle false. Dipende dalla sua natura, dal valore di ; un test parametrico è più potente di uno analogo non parametrico. Il test della differenza tra due medie per campioni indipendenti Si utilizza molto in ricerche psicologiche per effettuare confronti tra genere. I due campioni sono indipendenti (campionamento casuale semplice da due urne differenti).
distribuzione campionaria della statistica descrizione della v.a. X 1 − X 2
Valore atteso: (stimatore corretto) Varianza: Logica del test: Sistema di ipotesi: Statistica test: Nelle due popolazioni non sono solo le medie a poter essere diverse tra loro; ma anche le varianze: Se le varianze sono uguali: OMOSCHEDASTICITA’ Se le varianze sono diverse: ETEROSCHEDASTICITA’ Omoschedasticità varianza Stima del sigma: Stima SE nella differenza tra due medie: combinazione stime dei due campioni
Numeratore: X 1 − X 2 (non cambia) e denominatore: SE cambia.
Coefficiente di correlazione di Pearson Si utilizza ai fini descrittivi: informa sulla forza (intensità della correlazione) e sulla direzione. Numeratore: covarianza Denominatore: prodotto delle radici delle covarianze =0 assenza di relazione lineare =1 perfetta relazione lineare positiva =-1 perfetta relazione lineare negativa Test sulla correlazione lineare Assunti o requisiti: osservazioni indipendenti; distribuzione delle due variabili nella normale bivariata; variabili di tipo cardinale. Sistema di ipotesi: Statistica test: Si distribuisce come una t di Student. Distribuzione normale bivariata Funzione che descrive la probabilità congiunta delle due variabili: La stima di rho è il coefficiente di correlazione PARAMETRO Si individuano i valori critici sulle tavole statistiche (t di Student; ipotesi bidirezioneale). Coefficiente di correlazione di Spearman Può essere utilizzato anche su variabili ordinali o su quelle categoriali se non rispettano l’assunto di essere delle normali bivariante. Non ci sono assunti test non parametrico (meno potente del test di correlazione di Pearson). x e y : non sono valori dei due vettori, ma i loro ranghi. Tabella di contingenza Rappresentazione della distribuzione doppia di frequenza. Distribuzione: Congiunta: insieme delle frequenze Marginale di riga: totali di riga Marginale di colonna: totali di colonna Sulle righe: modalità della prima variabile. Sulle colonne: modalità della seconda variabile. Nelle celle: numero di casi che posseggono quella modalità. Le frequenze di riga e di colonna Si ottengono dividendo i casi di una modalità fratto il totale marginale di riga/colonna. Totale marginale delle frequenze di riga e di colonna=1. Si calcola e utilizza solamente una distribuzione marginale, quella della variabile indipendente. Sono le più utili danno informazioni sulla presenza o assenza di relazione tra le variabili. xi= generica modalità di x yj= generica modalità di y I= numero di modalità di x J= numero di modalità di y nij= generica frequenza congiunta (o di cella, interna) ni. = generica frequenza marginale di riga n.j= generica frequenza marginale di colonna
Più le distribuzioni parziali differiscono tra loro e rispetto alla distribuzione marginale più c’è relazione tra variabili. Se non c’è relazione tra x e y le distribuzioni parziali di x e y sono uguali tra di loro e alle loro distribuzioni marginali. Chi quadrato Informa sull’intensità della relazione tra le due variabili. È un test non parametrico: non ci sono assunti sulla distribuzione congiunta delle due variabili a livello della popolazione. Si può calcolare solo su campioni sufficientemente grandi: non più del 20% delle celle con frequenze teoriche < 5. Somma degli scarti tra frequenze assolute (osservate) e le frequenze teoriche/attese. Se c’è indipendenza tra le variabili gli scarti valgono 0 chi quadrato=0. Valori teorici= numero di casi presenti in quella cella se tra le due variabili c’è indipendenza. Si calcola la probabilità composta degli eventi sotto la condizione di indipendenza: probabilità del primo eventoprobabilità del secondo eventototale marginale di rigamarginale di colonna/ totale dei casi Si passa dalla probabilità al numero di casi in ogni cella assumendo l’indipendenza. Per valutare l’intensità si confronta il valore Chi quadrato ottenuto con il suo: Massimo= (n di modalità più basso -1)n Minimo= Phi Informa sull’intensità della relazione tra le due variabili, ma, a differenza del Chi quadrato, non risente dell’ampiezza del campione. Radice di chi quadro fratto n. Test del chi quadrato per tabelle di contingenza Sistema di ipotesi: Statistica test Chi quadrato Distribuzione campionaria : Distribuzione campionaria approssima la distribuzione 2 con gradi di libertà (nu) = (I-1) * (J-1)= Valore critico e valore calcolato Si trova nelle tavole statistiche del chi quadro, in base al valore di alpha e se è uni o bidirezionale. Decisione statistica :
Se il valore osservato cade nell’intervallo di rifiuto di H 0 la relazione è statisticamente significativa
al n% (in base al valore di alpha). Accanto all’esito della verifica di ipotesi è bene sempre riportare una misura di intensità dell’effetto come il phi.
y = variabile dipendente x = variabile indipendente, fattore i = generico individuo j = generica modalità di x, generico gruppo k= ultimo gruppo, numero di gruppi n= ampiezza singolo gruppo N= totalità dei casi =nk Primo pedice: posizione dell’individuo nel proprio gruppo. Secondo pedice: a che gruppo appartiene quel caso. disegno bilanciato= campioni stessa dimensione
Introducendo più regressori si ottiene R^2 un sempre più alto che permette di tenere conto della
maggior quantità di fonti di variazione del fenomeno che stiamo studiando. Nella regressione lineare semplice il coefficiente di determinazione è uguale al coefficiente di Pearson al quadrato. ANOVA: analisi della varianza È una delle tecniche di analisi multivariata più usate. Prende nomi diversi in base al numero e alla natura delle variabili prese in considerazione:
- One-way anova (anova ad una via): 1 VD e 1 VI
- Anova fattoriale: 1 VD e 2 o più VI
- Manova (anova multivariata):2 o più VD e 2 o più VI Matrice di calcolo Verifica di ipotesi one-way ANOVA Sistema di ipotesi
H 0 : 1=2=...=K (medie tutte uguali)
H 1 : almeno due medie sono tra loro differenti
Assunti o requisiti ANOVA è una procedura parametrica: -osservazioni indipendenti (se campione casuale della popolazione). -variabile dipendente nelle K pop distribuzione NOR. -omoschedasticità nelle K pop. (assomiglia a test tra due media nel caso di omoschedasticità). Tipo di variabile Dipendente: cardinale Indipendente: poche modalità ordinate o non Statistica test Significatività della statistica test il loro rapporto assumerà un valore non troppo distante da 1 soltanto se l’ipotesi nulla è vera, altrimenti sarà significativamente maggiore di 1. Se rifiutiamo l’ipotesi nulla significa che almeno tra due gruppi le medie sono diverse. Più le medie sono diverse tra di loro più è forte la relazione. Distribuzione campionaria F di Fisher-Snedecor, con (K-1) e (N-K) gradi di libertà. VARb (varianza between) e VARw (varianza within)
Sono due stime indipendenti di ❑^2 (la varianza della variabile dipendente nella popolazione).
Stima di ❑^2 :
- Con la relazione che tra la varianza della media campionaria e la varianza nella popolazione
VARb: (varianza tra i gruppi) stima corretta solo se H^0 è corretta.
2. Media ponderate delle stime VARw (varianza entro i gruppi) sempre stima corretta ❑^2.
Calcolo delle due varianze Media : media parziale Somma di tutte le medie dei casi di un gruppo e si divide per n. (calcolata su un singolo gruppo). media generale Riguarda tutti i casi, non uno specifico gruppo. Devianza: devianza totale somma dei valori di un gruppo o tutti devianza tra le medie somma degli scarti - la media generale (media delle medie) prese al quadrato. devianza parziale spostamenti della media al quadrato dalla media di gruppo. Calcolata localmente (internamente ad un gruppo). Varianza: Ricordando che il rapporto tra devianza e Gradi di libertà ci restituisce una varianza corretta. varianza totale varianza delle medie Se l’ipotesi nulla è vera questa è la varianza della media campionaria. varianza parziale I valori che il caso può scegliere liberamente sono n-1. VARw= Media delle varianze parziali Per ogni gruppo prendiamo la varianza parziale, le sommiamo e facciamo una media di esse. Facendo pesare la varianza per il numero dei casi si ottiene una varianza pulled. VARb= Varianza delle media moltiplicata per n Se il disegno non è bilanciato, la formula diventa: Teorema di scomposizione della devianza
Operatore E^2
