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DEFINIZIONI GENERALI DI STATISTICA
- Definizione 1.1: La statistica La statistica è la disciplina che elabora i principi e le metodologie che presiedono al processo di rilevazione e raccolta del dati, alla rappresentazione sintetica e alla interpretazione dei dati stessi e, laddove ve ne siano le condizioni, alla generalizzazione delle evidenze osservate.
- Definizione 1.2: Collettivo statistico Si chiama collettivo statistico la molteplicità, l’insieme dei casi individuali, in cui si manifesta il fenomeno oggetto di studio.
- Definizione 1.3: Unità statistica Si chiama unità statistica il caso individuale componente del collettivo statistico oggetto di studio.
- Definizione 1.4: Carattere Si chiama carattere ogni aspetto elementare, ogni caratteristica oggetto di rilevazione nelle unità statistiche del collettivo.
- Definizione 1.5: Modalità Si chiamano modalità del carattere i diversi modi con cui questo si manifesta nelle unità statistiche del collettivo.
- Definizione 2.1: Distribuzione statistica Consideriamo un collettivo statistico di N unità, dove si sia osservato il carattere X. Si chiama distribuzione statistica semplice disaggregata, o unitaria, secondo il carattere X l’insieme delle osservazioni (rappresentate da numeri o espressioni verbali) relative alle N unità del collettivo. In simboli, la distribuzione statistica semplice disaggregata sarà indicata come:
X 1 , X 2 , …, XN,
dove X 1 è l’osservazione relativa all’unità identificata dal numero 1, X 2 l’osservazione relativa
all’unità identificata dal numero 2 e così via.
- Definizione 2.2: Distribuzione di frequenze
Si chiama distribuzione di frequenze lo schema con cui si associa a ciascuna modalità del carattere X la rispettiva frequenza. In simboli, la distribuzione di frequenze è così rappresentata: Modalità Frequenza x 1 x 2 . . . xk n 1 n 2 . . . nk Totale N dove n 1 , n 2 , …, nk sono le frequenze delle modalità x 1 , x 2 , …, xk.
- Definizione 2.3:^ Frequenze (assolute) cumulate Consideriamo una distribuzione di frequenze secondo un carattere a modalità ordinabili. Si chiamano frequenze (assolute) cumulate le quantità : Ni = n 1 + n 2 + … + ni, i = 1, 2, …, k. Modalità Frequenze ass. cumulate x 1 x 2 . . . xk N 1 = n 1 N 2 = n 1 + n 2 . . . Nk = ∑ k i= 1 ni = N
- Definizione 2.4: Distribuzione di frequenze Si chiama distribuzione di frequenze di un carattere X suddiviso in classi lo schema con cui si associa a ciascuna classe la rispettiva frequenza: Classe Frequenza
c 0 – c 1 n 1
a) È interna, essendo compresa tra il minimo e il massimo dei termini della distribuzione:
x(1) ≤ μ ≤ x( N )
b) La somma dei termini della distribuzione è uguale alla media aritmetica moltiplicata per il numero di unità: In altre parole la media aritmetica rispecchia il criterio di invarianza per la funzione matematica “somma dei termini”. c) La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è nulla: d) La somma dei quadrati degli scarti dei termini della distribuzione da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica:
e) Se si trasformano i termini x 1 , x 2 , …, x N secondo la funzione
Yi = a + bi, i = 1, 2, …,N,
con a e b costanti qualsiasi, la media aritmetica μy dei termini trasformati è legata
alla media μx dei termini originati dalla medesima trasformazione, ossia μy = a +
bμx. Tale proprietà è chiamata proprietà di linearità e implica come casi particolari,
ponendo nella funzione di trasformazione b = 1, nel primo caso, e a = 0 nel secondo:
- La proprietà di traslatività: se si aggiunge o si sottrae una costante a ai termini della distribuzione, la mediana della nuova distribuzione è uguale alla mediana della distribuzione iniziale aumentata o diminuita della quantità a;
- La proprietà di omogeneità: se i termini della distribuzione sono moltiplicati per la costante b , la mediana della nuova distribuzione è b volte la mediana della distribuzione iniziale. f) Se un collettivo statistico di N unità è suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti aventi
numerosità N(1), N(2), …, N(L) e medie aritmetiche μ(1), μ(2), …, μ(L), la media
aritmetica del collettivo può essere calcolata nel modo seguente: Con riferimento a questa proprietà, si che la media aritmetica è associativa.
- Definizione 4.2: Media armonica
La media armonica di una distribuzione statistica disaggregata, x 1 , x 2 , …, x N, i cui termini
sono tutti diversi da 0, è data dal rapporto tra N e la somma dei reciproci dei termini:
- Proposizione 4.2: Media armonica La media armonica presenta le proprietà di seguito indicate. a) È interna, essendo compresa tra il minimo e il massimo dei termini della distribuzione :
x(1) ≤ μa ≤ x(N)
b) La somma dei reciproci dei termini della distribuzione è uguale al reciproco della media armonica moltiplicando per il numero di unità:
b) Il prodotto dei termini della distribuzione è uguale alla media geometrica elevata a N: Ciò significa che μg soddisfa il criterio di invarianza se come operazione matematica f( · ) si assume il prodotto dei termini della distribuzione. c) La media geometrica gode della proprietà di omogeneità: se tutti i termini della distribuzione sono moltiplicati per una costante b > 0, la media geometrica dei termini così trasformati è b volte la media geometrica dei termini originari. d) Il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi dei termini della distribuzione: Da cui – poiché la funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale – si ricava: e) La media geometrica gode della proprietà associativa, come specificato qui di seguito, se un collettivo statistico di N unità è suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti aventi numerosità N (1) , N (2) , …, N (L)
e le medie geometriche μg
(1)
, μg
(2)
, …, μg
(L) , la media geometrica del collettivo può essere calcolata nel modo seguente: dove N = N (1) , N (2) , …, N (L) .
- Proposizione 4.5: Mediana
La mediana presenta le proprietà di seguito indicate. a) È interna, essendo compresa tra il minimo e il massimo dei termini della distribuzione: x(1) ≤ m ≤ x(N). b) Se si trasformano i dati secondo la funzione Yi = a + bxi , i = 1, 2, …, N, la mediana dei dati così trasformati, mY , è legata a quella dei dati iniziali, mx , dalla relazione mY = a + b mx. Tale proprietà è chiamata proprietà di linearità e implica come casi particolari, ponendo nella funzione di trasformazione b = 1, nel primo caso, e a = 0 nel secondo:
- La proprietà di traslatività: se si aggiunge o si sottrae una costante a ai termini della distribuzione, la mediana della nuova distribuzione è uguale alla mediana della distribuzione iniziale aumentata o diminuita della quantità a;
- La proprietà di omogeneità: se i termini della distribuzione sono moltiplicati per la costante b , la mediana della nuova distribuzione è b volte la mediana della distribuzione iniziale. c) La mediana è il valore che minimizza la somma dei valori assoluti degli scarti:
- Definizione 4.6: Media aritmetica ponderata Siano x 1 , x 2 , …, xk le osservazioni e w 1 , w 2 , …, wk i rispettivi pesi. Allora la media aritmetica ponderata di x 1 , x 2 , …, xk è data dal rapporto tra la somma delle osservazioni moltiplicate per i rispettivi pesi e la somma dei pesi: dove W =∑^ 𝑤 𝑘 𝑖= 1 i^.
- Definizione 4.9: Valore centrale Si data una distribuzione disaggregata x 1 , x 2 , …, xN ; sia la corrispondente distribuzione dei termini ordinati, con. Il valore centrale della distribuzione è la media aritmetica dei valori estremi:
- Definizione 4.10: Moda La moda di una distribuzione di frequenze è la modalità che presenta la frequenza più alta. A cura di: Daniela Panzano Se N · (1/4) > h – 1 Se N · (1/4) = h – 1 Medie Medie analitiche (^) Medie di posizione Altre medie Medie aritmetica Medie armonica Medie geometrica Medie quadratica Mediana (^) Quantili La mediana è la media aritmetica dei due valori centrali Moda Distribuzioni disaggregate N dispari N pari Valore centrale La mediana è il valore che è al centro della graduatoria
