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ELABORATO MATERIE DI INDIRIZZO: TEOREMI FONDAMENTALI DEL
CALCOLO DIFFERENZIALE
Sono molto importanti i seguenti teoremi che ci permettono di risolvere alcune fondamentali questioni:
Determinare il legame tra la derivata di una funzione e monotonia, l’invertibilità della funzione stessa con stessa con Lagrange
Utilizzare regole per il calcolo di limiti nel caso di forme indeterminate con De L’Hospital
Approssimare una funzione con un polinomio con Taylor
Teorema di Rolle :
Data una funzione f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato [a;b] tale che:
- f(x) è continua in [a;b]
- f(x) è derivabile in ]a;b[
Se f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, tale che f'(c) = 0.
Significato geometrico: quando sono verificate le sue ipotesi, esiste sempre un punto c in cui la tangente al grafico è parallela alla retta AB e quindi all’asse x. Il teorema garantisce l’esistenza di almeno un punto c appartenente a ]a;b[ in cui la derivata di f si annulla, ma nulla vieta che i punti siano più di uno. Se una delle ipotesi non è soddisfatta, il teorema non può essere verificato.
Esempio: Consideriamo, nell’intervallo [-1;1], la funzione f(x)= x 2 - 2x^2
f(x) è continua e derivabile per ogni x appartenente ad R, e ha derivata f’(x)= 4x 3 -4x
Inoltre f(-1)=-1=f(1). Quindi sono verificate le ipotesi del teorema di Rolle
In questo caso, esistono tre punti in [-1;1] per i quali la derivata si annulla, infatti: f’(x)=0 ⇒ 4x 3 -4x=0 ⇒ x(x 2 -1)=
da cui:
x 1 = -1, x 2 =0, x 3 =
In particolare, x 2 appartenente a ]-1;1[ e quindi il teorema è verificato
Teorema di Lagrange o teorema del valore medio :
Se una funzione f(x) è
- continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b]
- derivabile in ogni punto interno a esso
allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo per cui vale la relazione:
Se una delle ipotesi non è soddisfatta, il teorema può non risultare verificato come evidenzia la seguente figura in basso in cui nel punto c la funzione non è derivabile. Non esiste alcun punto in cui la tangente alla curva sia parallela alla retta AB. Per x=c la funzione non è derivabile. Il suo grafico non ha punti in cui la tangente è parallela alla retta AB.
Immediate e notevole conseguenze del teorema di Lagrange:
- se f(x) è continua nell’intervallo [a;b] e f’(x) è nulla in ogni punto interno all’intervallo, allora f(x) è costante in tutto [a;b].
- Se in tutto l’intervallo [a;b] due funzioni f(x) e g(x) sono continue, derivabili nei punti interni e le loro derivate prime sono uguali, allora f(x) e g(x) differiscono per una costante.
Teorema di De L’Hospital :
Rapporto tra due infinitesimi: una funzione f(x) è un infinitesimo per x⇒ α quando il limite di f(x) per x⇒ αè uguale a 0.
α può essere finito o + ∞ -∞.
Se f(x) e g(x) sono entrambi degli infinitesimi per x⇒ α , allora lim per x⇒α f g^ (( xx ))
si presenta nella forma indeterminata 00 e si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi simultanei. In questo caso si può notare quale dei due infinitesimi tende a 0 in modo più rapido; ciò piò essere stabilito determinando il limite (se esiste) del loro rapporto per x⇒ α.
Siano dunque f(x) e g(x) due infinitesimi simultanei per x⇒ α e supponiamo che esista un intorno I di αtale che g(x) diverso da 0 per ogni x appartenente a I,
con x diverso da α.
- se lim x →α^ f g^ (( xx ))= l diverso da 0 con l finito, si dice f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine, dunque tendono a 0 con la stessa velocità
- se lim x →α^ f g^ (( xx ))=0, si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x), dunque f tende a 0 più rapidamente di g
- se lim x →α^ f g^ (( xx )) = ±∞, si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x), dunque f tende a 0 meno rapidamente di g. - se non esiste lim x →α g^ f^ (( xx )), si dice che gli infinitesimi f(x) e g(x) non sono confrontabili.
Rapporto tra due infiniti:
Applicando il teorema di De L’Hospital, ritroviamo i risultati ottenuti con la gerarchia degli infiniti, nel confronto tra le funzioni lnx, x α^ (con αmaggiore di
0), ex^ per x⇒+∞.
I limiti per (^) x lim→+∞ex^ /x α^ e (^) x lim→+∞lnx/x αsi presentano nelle forme indeterminate
∞/∞ e le funzioni considerate verificano le ipotesi di De L’Hospital, per cui:
Date due funzioni f (x) e g (x) definite nell’intorno I di un punto x0, se
f(0)= f’(x)=e x^ f(0)=1 ⇒ e 0 = e x =1+x+1^ x 2!^^2 +1^ x 3!^^2 …+^ x n^! n
Limite con Taylor: lim = x →
tanx − x e x^ −1+ ln (1− x ) 0
0
per x → 0
dunque tanx-x=^ x 33 +0(x 3 )
da ∈
si ricava che [e x^ − 1] + [ln(1-x)]= [x+^ x 22 +^ x 63 +0(x 3 )]+[-x-^ x 22 -^ x 33 +0(x 3 )]=^ x 63 +0(x (^3) )
quindi lim x →0 e x −1+ tanxln −(1− x x )= (^) x lim→0^ x 33 +0(x 3 ) fratto −^ x 63 +0(x 3 )= lim x →0 x 3 ( 31 + 0( xx 3^ ))fratto x
3
(^3) (- 61 + 0( xx 3 )) fratto - =- 3 = 31 61
