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Derivate
y=f ( x )
-> la derivata di
f ( x)
mi da il coefficiente angolare della tangente
Se lim
h→ 0
Δ y
Δ x
=m
Definizione: y=f ( x ) definita in U ( x ¿¿ 0 )¿ diremo che f (x) è derivabile in
x
0
se
lim
h→ 0
f
x
0
+h
−f ¿ ¿ ¿
esiste finito
f (x)
è derivabile se ∀ x ∈ U ( x¿ ¿ 0 ) ∃ f ' (x )¿
Se f
è derivabile in x
0
--> f
è continua in x
0
Derivate di funzioni elementari
1- D ( mx+q )=m
2- D
x
x
2
3- D ( √x ) =
√
x
4- D
x
n
=n x
n− 1
5- D ( sin x )=cos x
6- D ( cos x )=−sin x
7-
D ( e
x
)=e
x
8- D ( log x )=
x
Derivate e operazioni algebriche
D ( f ( x ) + g ( x )) =f
'
( x )+ g ' (x)
D ( c∗f ( x )) =c∗f ' (x )
D ( f
x
g
x
)=f
'
x
g
x
x
g ' ( x )
D
g ( x )
−g' (x)
(g ( x ) ) ²
- D
f (x)
g ( x )
f
'
x
g
x
( g ( x )) ²
- Derivata della funzione composta: D ¿
dove g ( x )
derivabile in x
e f ( x)
derivabile in g( x )
D
(
f
− 1
( x ) )
f
'
(f
− 1
( x ) )
dove
y=f
− 1
( x ) ❑
↔
x=f ( y )
Rapporto incrementale = m della retta-->
Δ y
Δ x
=f
x
0
+h
−f ¿¿
Finito
tg: y=f
x
0
0
tg : x =x
0
Derivata destra e derivata sinistra
lim
h → 0
f (
x
0
−f ¿ ¿¿¿
lim
h → 0
−¿
f ( x 0
+h )−f ¿ ¿¿¿
Lemma di Fermat : punti di stazionarietà (max e min)
f ( x) definita in un intervallo I e f
'
x
0
x
0
è un punto di massimo o di minimo di f ( x) su I la tg è orizzontale
Punti angolosi: no derivata
x
0
è un punto di massimo relativo per f ( x)
se ∃ U
x
0
t. c ∀ x ∈ U
x
0
∩ I , x ≠ x
0
f (x) ≤ f (x
0
x
0
è un punto di minimo relativo per f ( x) se
∃ U
x
0
t. c ∀ x ∈ U
x
0
∩ I , x ≠ x
0
f (x) ≥ f (x
0
I punti di massimo e minimo relativi possono essere in: f
'
x
0
= 0 , estremi dell’ intervallo o in punti singolari in cui ∄ f '( x
0
) (tipo
punti angolosi)
Una volta trovati i punti di massimo e minimo relativi, li confronto e trovo il massimo e minimo assoluti
Teorema di Rolle
f ( x)
continua su [a,b], derivabile in (a,b) e f ( a)=f (b) ∃ c ∈ ( a ,b ) tale che f
'
( c )= 0
Teorema di Lagrange
f ( x)
continua su [a,b], derivabile in (a,b)
∃ c ∈ ( a ,b ) tale che
f ( b) −f ( a )
b−a
=f ' (c)
f ( b )−f ( a )
b−a
= coefficiente angolare di r
f ' (c )= coefficiente angolare della tg
crescenza o decrescenza:
1- f continua in [a,b], derivabile in (a,b), con f
'
x
=0, ∀ x ∈ (a , b)
f ( x )=f ( a) =costante
2- f continua in [a,b], derivabile in (a,b), con f
'
x
0 (f
'
x
f ( x ) è strettamente crescente (decrescente) in [a,b]
la tg che passa per c ha lo stesso
coefficiente angolare di r
lim
x→+∞
f ( x )= 0 lim
x→+ ∞
g ( x) = 0
x→+∞
f ' ( x)
g ' ( x)
=Lesiste (finito o infinito)
lim
x→+∞
f ( x)
g( x)
=L
[
]
x → a
+¿ ,a
−¿,+∞ ,−∞ ¿
¿
lim
x→ a
+¿
f (x )=∞ lim
x→ a
+¿
g ( x)=∞
¿¿¿
lim
x→ a
+¿
f ' (x)
g ' (x)
=L ¿
esiste (finito o infinito)
lim
x→ a
+¿
f (x)
g (x)
= L¿
Limiti notevoli
1-
lim
x→+∞
log x
x
α
Hopital
→
lim
x →+∞
1 / x
α x
α− 1
α
x
α
2- lim
x→+∞
e
x
x
β
3-
lim
x→ 0
+¿
x
α
log x= 0 ¿
4-
lim
x→−∞
x
β
e
x
o piccolo o( )
f ( x)
è o ( g ( x) )
se il lim
x→ x
0
f (x )
g( x)
f , g infinite f =o ( g)
f è infinita di ordine inferiore rispetto a g
f , g
infinitesime f =o ( g)
f
è infinitesima di ordine superiore rispetto a g
f ( x )
è trascurabile rispetto a g ( x )
Proprietà di o piccolo
f ( x )=o( 1 )
per x → x
0
f ( x )
è infinitesima (tende a zero)
f ( x ) g ( x )
f ( x )=g ( x ) +o (g ( x ) )
f ( x )=o
g ( x )
e g ( x )=o
h ( x )
f ( x )=o(h ( x ) )
f ( x )=o ( g ( x )) e g ( x ) h(x)
f ( x )=o(h ( x ) )
f ( x )∗o
g ( x )
=o
f ( x ) g( x )
f e g continue e derivabili in (h, + ∞)
f
e g
continue e derivabili in (a,b)
f
g ( x )
=f ( z )
df =f
'
g ( x )
∗g
'
( x ) dx=D
[
f
g ( x )
]
dx
k∗o
g ( x )
=o
k∗g ( x )
o ( g ( x) )
o ( g ( x ) ) +o ( g ( x ) )=o( g ( x ))
f ( x ) differenziabile in
x
0
f è differenziabile in x
0
se ∃ m t.c f
x
0
+h
−f
x
0
=mh+o (h) dove m=f
'
( x
0
T : f differenziabile in
x
0
se e solo se f è derivabile in
x
0
df =f
'
x
0
+( x −x
0
T: principio di invarianza del differenziale primo -->
Approssimazione lineare (polinomio di Taylor)
f ( x )=T
n
( x )+R ( x)
T
n
( x )= ∑
k= 0
n
f
( k)
x
0
k!
(x−x
0
k
R ( x )=¿
f
( n+ 1 )
( X)
( n+ 1 )!
( x−x
0
n+ 1
Resto di Lagrange con
x
0
<X < x
o ((x−x
0
¿ n)¿ Resto di Peano
Se R ( x )> 0 è un’ approssimazione per difetto, se R ( x )< 0 è un’ approssimazione per eccesso
Sviluppi di McLaurin Solo quando
x
0
f
x
=e
x
❑
e
x
∑
k= 0
n
x
k
k!
n
) Se n=1→ e
x
= 1 + x +o
x
→e
x
− 1 x →e
x
− 1 =x +o
x
Resto con Lagrange: R
x
e
X
( n+ 1 )!
∗x
(n+ 1 )
- f ( x )=sin x
Incremento di f
misurato sulla tangente
anziché sulla funzione
df =f
'
x
0
∗dx
Polinomio di resto (o errore) di grado n+
Taylor centrato
in x
0
e arrestato al grado n
Ricorda: 0! = 1 non a 0
f ( x )=sinh x
sinh x=
∑
k= 0
n
x
2 k+ 1
( 2 k + 1 )!
+o(x
2 n+ 1
log( 1 + x ):
( 1 +x)
α
f
'
( x )=
1 + x
f
' '
( x )=
( 1 + x)
3
f
' '
( x )=
( 1 +x)
2
f
k
( x )=
k− 1
( k − 1 )!
( 1 +x)
k
f
'
( x )=α ( 1 + x)
α− 1
f
' '
( x )=α (α− 1 )( 1 + x)
α − 2
f
k
x
=α
α− 1
α− 2
… .(α−k + 1 )( 1 + x )
α −k
