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LOGICA MATEMATICA

Sonia L’Innocente

Corso di Laurea

L31, Informatica e Tecnologie

Capitoli 1-2-3-

a.a. 2016-

Outline

(^1) Capitolo 1: Costanti Logiche Connettivi e quantificatori Tavole di verità 2 Capitolo 2: Tecniche di dimostrazione Dimostrazione diretta Dimostrazione per assurdo (^3) Capitolo 3: Insiemi e relazioni Relazioni e funzioni Funzioni (^4) Capitolo 4: Principio di Induzione Correttezza di programmi Definizioni ricorsive di funzioni Generalizzazioni del principio di induzione

Capitolo 1: Costanti Logiche

Commenti

(1) Nessun esperimento può decidere la verità o falsità di (1), cioè se

sia o meno un numero razionale: è necessario dimostrare che non esistono numeri interi n e m tali che n^2 = 2 m^2.

(2) Analogamente non è sufficiente aver verificato empiricamente la correttezza dell’algoritmo a di (2) in un numero finito (anche grandissimo) di casi. In alcuni casi, gli esempi e i conti possono fornire indizi sulla verità o meno di una congettura, ma questi computi non ci consentono di stabilire la verità o la falsità della congettura.

Capitolo 1: Costanti Logiche

Dimostrazione

Una dimostrazione è un ragionamento che a partire da alcune affermazioni iniziali ci permette di concludere il risultato desiderato. Una dimostrazione ha l’aspetto di una serie di proposizioni concatenate in modo tale che la conclusione (la proposizione da dimostrare) sia fatta dipendere da altre proposizioni mediante inferenze.

Derivazioni

La logica analizza la struttura delle dimostrazioni formalizzandole come derivazioni, strutture di formule costruite in accordo con le regole di inferenza opportunamente riformulate in modo da operare su quei particolari oggetti simbolici che sono le formule.

Capitolo 1: Costanti Logiche Connettivi e quantificatori

Le costanti logiche: i connettivi

Per scrivere in modo non ambiguo i ragionamenti e le dimostrazioni sono stati introdotti dei simboli noti come connettivi logici

¬ ∨ ∧ → ↔

ed i simboli di quantificatore

∃ ∀.

I connettivi e i quantificatori si dicono costanti logiche, di cui ora vediamo il significato.

¬ denota la negazione e serve per affermare l’opposto di quanto asserisce l’affermazione a cui si applica. Per esempio

¬(x < y )

significa che x non è minore di y.

Capitolo 1: Costanti Logiche Connettivi e quantificatori

Le costanti logiche: i connettivi

∨ è la disgiunzione e corrisponde al vel latino: questo o quello o eventualmente entrambi. Se asseriamo che

(x è pari) ∨ (x è un quadrato perfetto)

intendiamo dire che il numero x può essere pari (cioè della forma 2n, per esempio 6), o un quadrato perfetto (cioè della forma n^2 , per esempio 9), o magari un numero che è un quadrato perfetto pari (cioè della forma 4 n^2 , per esempio 4). ∧ è la congiunzione e serve per asserire che due fatti valgono contemporaneamente. Per esempio

(x è pari) ∧ (x è un quadrato perfetto)

significa che il numero x è della forma 4n^2 , per qualche n.

Capitolo 1: Costanti Logiche Connettivi e quantificatori

Osservazione su →

Un’implicazione non sottintende nessuna relazione di causalità tra la premessa e la conseguenza — l’unico significato di A → B è che non è possibile che A valga e B no. Le espressioni “affinché valga A deve valere B” oppure “affinché valga A è necessario che valga B” significano che “se A allora B” e quindi si scrivono A → B, mentre “affinché valga A è sufficiente che valga B” significa che A vale quando B vale, cioè B → A.

Capitolo 1: Costanti Logiche Connettivi e quantificatori

Le costanti logiche: i connettivi

↔ è il bi-condizionale o bi-implicazione e corrisponde all’espressione “se e solo se”. Quando asseriamo che “A se e solo se B” intendiamo dire che “se A allora B, e se B allora A”. Spesso in matematica “A se e solo se B” lo si scrive, in modo più ampolloso, come “condizione necessaria e sufficiente affinché valga A, è che valga B”.

Capitolo 1: Costanti Logiche Connettivi e quantificatori

Le inferenze

La logica può essere vista come lo studio del ragionamento corretto: vogliamo studiare (tra l’altro) come passare in modo corretto da certe proposizioni (le premesse) a certe altre proposizioni (le conclusioni) usando inferenze logicamente corrette. I passi elementari di questo processo di derivazione di conseguenze sono costituite da regole (di inferenza) della forma

A 1 A 2... An B

dove A 1 ,... , An e B sono proposizioni che esprimono il fatto che la conclusione B può essere inferita dalle premesse A 1 ,... , An.

Capitolo 1: Costanti Logiche Tavole di verità

Tavole di verità

Il significato dei vari connettivi logici è completamente descritto da delle tabelle note come tavole di verità: si introducono due oggetti V e F che denotano il vero e il falso, rispettivamente, e per ogni connettivo si definisce una tabella che lo caratterizza completamente. Cominciamo col connettivo ¬: la sua tavola di verità è

A ¬A V F F V

Capitolo 1: Costanti Logiche Tavole di verità

Tavole di verità di ∧

La tavola di verità di ∧ è A B A ∧ B V V V V F F F V F F F F

Per dimostrare A ∧ B è sufficiente dimostrare A e dimostrare B. Possiamo esprimere graficamente questo così

A B A ∧ B.

Viceversa, da A ∧ B possiamo dedurre tanto A quanto B, cioè

A ∧ B A e A^ ∧^ B B

Capitolo 1: Costanti Logiche Tavole di verità

Il connettivo ∧ è commutativo, nel senso che la tavola di verità di A ∧ B è la medesima di B ∧ A. Quindi asserire A ∧ B è come asserire B ∧ A.

Capitolo 1: Costanti Logiche Tavole di verità

Invece a partire da A ∨ B non possiamo né concludere A né concludere B. D’altra parte, se sappiamo A ∨ B e se sappiamo negare una tra le due affermazioni A e B, allora possiamo concludere l’altra, cioè

A ∨ B ¬A B e A^ ∨^ B^ ¬B A

È facile verificare che A ∧ B e ¬(¬A ∨ ¬B)

hanno la stessa tavola di verità, e così pure per

A ∨ B e ¬(¬A ∧ ¬B).

Quindi: A ∧ B ¬(¬A ∨ ¬B) e A^ ∨^ B ¬(¬A ∧ ¬B)

Le formule qui sopra sono note come Leggi di De Morgan.

Capitolo 1: Costanti Logiche Tavole di verità

Tavole di verità di →

La tavola di verità per l’implicazione è:

A B A → B V V V V F F F V V F F V

È facile verificare che questa è anche la tavola di verità di ¬A ∨ B, cioè

A → B ¬A ∨ B e ¬A^ ∨^ B A → B