Esercizi di Logica Matematica: Scheda 7, Appunti di Logica Matematica

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LOGICA MATEMATICA

Claudia Malvenuto

Canale E-O

Scheda esercizi n. 7

7 ottobre 2003

Rifugiamoci un po’ nell’aritmetica: dodici, ventiquattro, trentasei... E un bell’aiuto quando si farnetica.` Ma ora non cos´ı come vorrei. (Patrizia Valduga, ’Quartine, Seconda centuria’)

1. Mostrare che se n > 5 ed n non `e primo, allora

(n − 1)! ≡ 0(mod n).

2. (Teorema di Wilson) Mostrare che se n `e primo allora

(n − 1)! ≡ −1(mod n).

3. Sia a ∈ N non nullo. Scriviamo a in forma decimale:

a = am 10 m^ + am− 110 m−^1 +... + a 1 10 + a 0 ,

con 0 ≤ ai ≤ 9 per 0 ≤ i ≤ m e am 6 = 0. Poniamo S(a) =

∑m i=0 ai (somma delle cifre di a scritto in base 10). Dimostrare usando le con- gruenze (modulo 10) i ben noti criteri di divisibilit`a per 2, per 3 e per 9:

(a) 2|a ⇔ 2 |a 0 ; (b) 3|a ⇔ 3 |S(a);

(c) 9|a ⇔ 9 |S(a).

4. (Criterio di divisibilita per 11). Un intero ae divisibile per 11 se e solo se 11 divide A(a) =

∑m i=0(−1)

iai (la somma a segni alterni delle sue cifre, con le notazioni dell’esercizio precedente).

5. Si dice palindrome un numero a ∈ N tale che la successione delle sue cifre decimali sia la stessa se letta da sinistra verso destra o da destra verso sinistra (ad esempio 373 oppure 2002). Mostrare che se a `e un palindrome con un numero pari di cifre, allora 11|a.
6. Determinare gli elementi invertibili (e i loro inversi) di Z/ 2 Z, Z/ 3 Z, Z/ 4 Z, Z/ 5 Z, Z/ 6 Z.
7. Sia p un numero primo ed a ∈ Z tale che p non divide a. Mostrare, usando il piccolo Teorema di Fermat, che:

ap−^1 ≡ 1(mod p).

8. Quali e quanti sono gli elementi invertibili di Z/ 24 Z? Trovare (anche empiricamente!) l’inverso di ognuno degli elementi invertibili.
9. Scrivere l’algoritmo di Euclide delle divisioni successive in pseudo– codice.
10. Trovare l’inverso di ogni elemento a ∈ Z/ 29 Z \ { 0 }, tramite il piccolo teorema di Fermat (ovvero calcolando a^27 ...), oppure cercando i coef- ficienti s, t per l’identit`a di B´ezout 1 = as + 29t relativa al massimo comune divisore 1 = (a, 29).
11. Per ognuna delle seguenti coppie di numeri a, b ∈ N trovare il mas- simo comune divisore (a, b) di a e b tramite l’algoritmo di Euclide ed esprimerlo nella forma as + bt per opportuni s, t ∈ Z (identit`a di B´ezout):

(a) a = 1705 e b = 625 (b) a = 1625 e b = 858 (c) a = 2094 e b = 12 (d) a = 5307 e b = 9150