slide regressione lineare, Slide di Statistica

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Il modello di Regressione

lineare semplice

Statistica

**1. Covarianza e coefficiente di correlazione

2. Il modello di regressione lineare semplice
3. Stima puntuale dei coefficienti di regressione
4. Scomposizione della devianza e coefficiente di**

determinazione

**5. Proprietà degli stimatori

6. Inferenza sui coefficienti di regressione
7. Previsione
8. Casi particolari
9. Analisi dei residui**

A S S U N Z I O N I :

0. Y i^

= B o

✗ i

E i

t i

X i

N O T O S E N Z A

E R R O R E

E

[ E : ] :

0

V a [ E i ]

= 0 "^

F i

(OMOSCHEDASTICITÀ)

C o m ( E : ; (^) E )

= D

f i t s

• Per fare inferenza sui coefficienti del modello di

regressione lineare, è necessario introdurre

un’ulteriore assunzione sugli errori

• ASSUNZIONE 5

Le variabili casuali 𝜀 𝑖

hanno distribuzione Normale,

ovvero 𝜀 𝑖

~ N 0 , 𝜎

2

, 𝑖 = 1 , ⋯ , 𝑛.

• Data la normalità distributiva, gli errori 𝜀 𝑖

sono

indipendenti.

Statistica 4

ASSUNZIONE DI NORMALITÀ

• Ne consegue che, condizionatamente a 𝑥 𝑖

, le

osservazioni 𝑦 𝑖

sono realizzazioni di variabili

casuali Normali con valore atteso 𝛽 0

• 𝛽 1

𝑥 𝑖

e

varianza 𝜎

2

, ovvero

e tali realizzazioni sono indipendenti, 𝑖 = 1 , ⋯ , 𝑛.

NOTA: L’assunzione di normalità è necessaria solo

ai fini dell’inferenza (intervalli di confidenza e

verifica di ipotesi)

Statistica 5

ASSUNZIONE DI NORMALITÀ

∼ N 𝛽

Statistica 6

ASSUNZIONE DI NORMALITÀ

Born/β.

"

(t-È:))

↑

e -

N O N (^) È N O T A

È

S T I M ATA

D A I (^) D A T I

(

' A N A L O G O

È

I L P E R M

C O N

8 2 INCOG

NITA)

t u -

I N

Q U E S T O C A S O^

D o v r ò (^) u s a r e

tu-

• Gli intervalli di confidenza per i coefficienti del

modello di regressione lineare semplice ad un

livello di confidenza 1 − 𝛼 sono:

dove 𝑡 𝛼Τ 2 ;n− 2

è il percentile di ordine 1- 𝛼Τ 2 di una t - Student con

n-2 gradi di libertà.

Statistica 8

INTERVALLI DI CONFIDENZA

𝛼 Τ 2 ;n− 2

𝛼 Τ 2 ;n− 2

1 − 𝛼 = 0 , 95

𝑡 𝛼 Τ 2 ;n− 2

= 2 , 179

Statistica 9

INTERVALLI DI CONFIDENZA

esempio: rifiuti urbani e raccolta differenziata

Stima Standard error

𝛽 0

• 17,95 6,

𝛽 1

0,059 0,

0

: − 1 7,95 ± 2,179 ∗ 6,73 [− 32 , 624 ; − 3 , 283 ]

1

: 0 , 059 ± 2,179 ∗ 0,01 [ 0 , 037 ; 0 , 081 ]

1 = 1 4

m - 2 = 1 2

E S

S T I M E

5. E

🙁

🙃

1 , 4 0 1

:&

gradi

D I LIBERTÀ

n = 6 →^ d f

=

• 0

t

0 , 0 2 5 , 4

=

I C

P E R (^) B o :

(2=0,05)

B.

±

[0,025,

• S E

/B)

=

140112,

0 , 2 74

[0,640; 2,162]

• Il sistema di ipotesi su 𝛽 0

più frequente

ቊ

H 0

: 𝛽 0

= 0

H 1

: 𝛽 0

≠ 0

• Statistica test

T =

መ 𝛽 0

𝑠𝑒

መ 𝛽 0

∼ 𝑡 𝑛− 2

• Regione di rifiuto a un livello di significatività α
  • rifiuto H 0

se |𝑡| ≥ 𝑡 𝛼 Τ 2

• oppure, rifiuto H 0

se il p-value associato alla

statistica-test è inferiore ad α

Statistica- 10

2. VERIFICA DI IPOTESI – 𝜷 𝟎

L O T E S T (^) B I L A T E R A L E

• 0

S O T O Ho/SEβ.-0)

i n - 2

• Il sistema di ipotesi su 𝛽 1

più frequente

ቊ

H 0

: 𝛽 1

= 0

H 1

: 𝛽 1

≠ 0

• Statistica test

T =

መ 𝛽 1

𝑠𝑒

መ 𝛽 1

∼ 𝑡 𝑛− 2

• Regione di rifiuto a un livello di significatività α
  • rifiuto H 0

se |𝑡| ≥ 𝑡 𝛼 Τ 2

• oppure, rifiuto H 0

se il p-value associato alla

statistica-test è inferiore ad α

Statistica- 11

2. VERIFICA DI IPOTESI – 𝜷 𝟏

S O T O H o^ (B,:O)

;

n - 2

FIFFF

C ' È E V I D E N Z A^ P E R^

R I F I U T A R E Ho:

B o t o

T E S T

S U β ,

/2=0,05)

t.IE#y--

E.ee#-

C ' È E V I D E N Z A^

P E R

R I F I U T A R E Ho =^?^