slide regressione lineare, Slide di Statistica

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Il modello di Regressione

lineare semplice

22

Statistica

**1. Covarianza e coefficiente di correlazione

1. Il modello di regressione lineare semplice
2. Stima puntuale dei coefficienti di regressione
3. Scomposizione della devianza e coefficiente di**

determinazione

**5. Proprietà degli stimatori

1. Inferenza sui coefficienti di regressione
2. Previsione
3. Casi particolari
4. Analisi dei residui**

4

Statistica

Quando entrambi i caratteri della v.s. doppia sono

quantitativi, oltre al rapporto di correlazione 𝜂

!|#

$

, è

possibile calcolare altri nuovi indici che misurano la

dipendenza lineare tra le variabili X e Y.

Lo studio della RELAZIONE LINEARE tra due variabili

quantitative X e Y prende il nome di CORRELAZIONE

L’indice che misura il grado di correlazione tra due variabili

è il

r = Coefficiente di correlazione lineare

Di Bravais-Pearson

5

Statistica

Cov(X,Y) =!

XY

= M

"

$

%

(X&μ

X

) (Y&μ

Y

['

i

j

(X

i

X

(

(Y

j

Y

) f

ij

]

Per la sua definizione è necessario introdurre il concetto di

covarianza

che rappresenta la media dei prodotti degli scarti

di ogni variabile dalla propria media aritmetica

7

Esempio

x

i

y

j

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

Y

X

FORMULA DI DEFINIZIONE

Cov(X × Y) = M[(X-μ

X

) × (Y-μ

Y

)] = [(1-3) × (3-6.25) ×2 + (2-3) × (5-6.25) +

(3-3) × (6-6.25) ×2 + (4-3) × (7-6.25) + (5-3) × (10-6.25) ×2] = … = 3.

M(X) = 3

M(Y) = 6.

FORMULA OPERATIVA

M(X×Y)= 22.

Cov(X

×

Y) = M(X×Y) - M(X)×M(Y) = 3.

8

esempio di calcolo (tabella a doppia entrata)

FORMULA DI DEFINIZIONE

Cov(X × Y) = M[(X-μ

X

) × (Y-μ

Y

)] = [(2-4) × (1-6) ×1 + (6-4) × (1-6) × 1 +

(2-4) × (2-6) ×1 + (6-4) × (2-6) × 1+ (4-4) × (9-6) ×6] = … = 0

M(X) = 4

M(Y) = 6

FORMULA OPERATIVA

M(X×Y)= 24

Cov(X × Y) = M(X×Y) - M(X)×M(Y) = 0

y

j

\ x

i

2 4 6 n

.j

1 1 0 1 2

2 1 0 1 2

9 0 6 0 6

n

i.

2 6 2 10

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8

Y

X

quindi

• la covarianza puo’ assumere tutti i valori reali
• cov(XY) >0 indica una tendenza alla linearità

positiva (crescente)

• cov(XY) <0 indica una tendenza alla linearità

negativa (decrescente)

PROPRIETA’ della COVARIANZA

1) Cov(X,Y) = Cov (Y,X)

2) |Cov(X,Y)| £ s

X

s

Y

• s

X

s

Y

£ Cov(X,Y) £ s

X

s

Y

simmetria

Min. della

covarianza

Max della

covarianza

! =

Cov(X,Y)

"

X

"

Y

Ricordando la 2

a

proprietà della

covarianza si ricava che:

1 $! $ 1

Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson

è definito come la covarianza normalizzata

Normalizzazione

impropria

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

LINEARE

r assume valore - 1 quando il legame tra le due

variabili è perfettamente lineare ma inverso.

La retta che congiunge i punti ha coefficiente

angolare negativo

!

"!

#!

$!

%!

&!!

! & " ' # (

!"#$$%

&%'()&(

CASO PARTICOLARE r = - 1

r assume valore 0 in condizione di incorrelazione

tra le due variabili, cioè in assenza di un legame

lineare tra le variabili.

CASO PARTICOLARE r = 0

OSSERVAZIONE

L’assenza di un legame lineare potrebbe discendere da una situazione di

indipendenza tra le variabili (grafico a sx), ovvero da un legame tra le

variabili di tipo non lineare (come nel grafico a dx) per il quale tra le

variabili esiste un legame di tipo parabolico, e non lineare, tra le due

variabili).

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8

Y

X

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

Y

X

ALTRI ESEMPI

N.B: i dati non

stanno tutti

sulla retta

|r|¹ 1

INDIPENDENZA STOCASTICA

(simmetrica)

!

INDIPENDENZA IN MEDIA

(non necessariamente simmetrica)

!

INDIPENDENZA LINEARE

(simmetrica)

RELAZIONE TRA LE FORME DI INDIPENDENZA

20

Statistica

Una situazione su cui riflettere …

Può accadere che l’indice di correlazione sia vicina

a +1 o a - 1 anche se i caratteri sono tra loro

logicamente indipendenti. Si parla in questo caso di

associazione o correlazione spuria. Vediamo un

esempio.