Corso di
Statistica I
Cod. 87097
9 crediti
3. Indici di posizione
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Calcoli statistici: medie, moda e mediana - Prof. Lando, Dispense di Statistica
Come calcolare le medie aritmetica e geometrica, la moda e la mediana di un insieme di dati quantitativi. Viene inoltre discusso come calcolare le medie in presenza di distribuzioni di frequenza e come calcolare la media ponderata. Il documento include anche esempi pratici.
Tipologia: Dispense
2019/2020
1 / 38
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Corso di
Statistica ICod. 87097
9 crediti
3. Indici di posizione
Statistica descrittiva
La statistica descrittiva si articola in: Univariata
descrive il comportamento di
un
carattere
Bivariata
studia la relazione che intercorre tra
due
caratteri
Multivariata
studia la relazione che intercorre tra tre o piùcaratteri
Le medie
Gli indici di posizione o medie: o
permettono di sintetizzare attraverso
un solo valore
la
distribuzione (unitaria o di frequenza) di un carattere o
forniscono informazioni sull’ordine di grandezza di un carattere.
Le medie
Medie diposizione: moda,mediana,quartili,percentili
calcolate sia per caratteriqualitativi che quantitativi, nonrichiedono operazionialgebriche sulle modalità
Medieanalitiche: Mediaaritmetica,Mediageometrica ,…
calcolate solo per caratteriquantitativi, richiedonooperazioni algebriche sullemodalità
La media aritmetica: esempio
tempo impiegato
(in min.)
tempo impiegato
(in min.)
giorno
auto
metro
giorno
auto
metro
1
23
22
7
28
24
2
32
24
8
33
28
3
44
22
9
45
32
4
21
33
10
34
31
5
36
26
11
29
37
6
30
31
12
31
24
x
a^
( auto
)^
=
x
a^
( metro
)^
Tempo impiegato per raggiungere il posto di lavoro
(23+32+44+21+36+30+28+33+45+34+29+31)/12 ==386/12 = 32.
(22+24+22+33+26+31+24+28+32+31+37+24)/12 =334/12 = 27.
Min
Max
Media aritmetica: distribuzione in classi
Nel caso di una distribuzione di frequenze per un carattere^ X
con modalità in classi, possiamo
approssimare
la media
utilizzando come modalità il
valore centrale
della classe
c
j
(dato
dal
valore
intermedio
tra
l’estremo
inferiore
e
l’estremo superiore). NB
: Tale calcolo è esatto se ogni valore centrale coincide
con la media dei valori interni alla medesima classe (ciò siverifica
in
caso
di
equidistribuzione
all’interno
delle
classi).
x
a
1 n
c
j^
n
j
j^ =
1 k å
La media aritmetica ponderata
xa
x
p 1
1
x
p 2
2
x
pn
n
p^1
p
2
p
n
xi
p
i
i = n^1 å
p
i
i = n^1 å
La
media aritmetica ponderata
di un insieme di
n
valori
osservati
x
,…, x 1
n^
di un carattere quantitativo
X
con pesi non
negativi
p
,…, p 1
n^
è data da:
Si noti che se in caso di distribuzione di frequenza (
n=k
) i pesi
sono costituiti dalle frequenze assolute e la formula soprariportata coincide con
x
a
1 n
x
nj
j
j^ = k^1 å
Esempio
Si considerino due studenti, A e B, e i voti ottenuti negli esami altermine del primo anno:Se non si considerano i crediti, il voto medio è pari a 24 perentrambi gli studenti.Considerando invece la media ponderata per il numero di crediti siottiene 23.63 per lo studente A e 24.31 per lo studente B.
Esame
Dir. Priv.
Ec. Az.
Ec. Gest.
Imp.
Matem.
Ec. Pol.
Org. Az.
Stud. A
30
21
30
18
21
24
Stud. B
20
30
21
20
30
23
Crediti
6
9
9
9
9
6
Proprietà della media aritmetica
o
Proprietà di Cauchy L’uguaglianza solo si verifica in caso di distribuzione degenere. o
La
somma
dei
valori
osservati
è^
uguale
alla
media
moltiplicata per
n
la media aritmetica lascia inalterata la somma dei valori osservati. Se per ogni unità statistica sostituisco
x
i^
con la
media il totale del fenomeno rimane invariato e pari a
x
m
in
≤
x
a
≤
x
m
ax
x
i^
i = n^1 å
n
x
a
xi n å i =^1
Proprietà della media aritmetica
o
La somma delle differenze tra i valori e la media è nulla (vedi demo) o
La somma degli scarti al quadrato tra i valori e unacostante
c
è minima se
c
equivale alla media aritmetica.
(vedi demo)
x
i^
−
x
a
(^
)^
=
i = n^1 å
0
x
i^
c
(^
(^2) )
i = n^1 å
min SSE
x
x
a
Proprietà della media aritmetica
o
La media aritmetica è un operatore LINEARE. Sia
X
un carattere con media pari a
e sia
Y
un nuovo
carattere
definito
come
Y=a+bX
( a
e^
b
sono
due
costanti reali). Segue che
x
a
y
a
=
a
b
x
a
(vedi demo)
La media geometrica
La media geometrica di un insieme di
n
valori positivi
x
, x 1
, … x 2
n
( x
> 0i
) di un carattere quantitativo
X
è data da:
x
g
=
x
1
⋅^
x
2
⋅
⋅
x
n
n
x
g^
=
x
n 1 1
⋅^
x
n^22
... x
nk k
n
x
g^
=
x
f^11
⋅
x
f^22
.... x
fk k
Se
il^
carattere
X
è^
quantitativo
discreto
e^
conosciamo
la
sua
distribuzione di frequenza si possono usare in alternativa le seguentiformule:
Proprietà della media geometrica
o
Il logaritmo della media geometrica è la media aritmeticadei logaritmi (vedi demo) o
La media geometrica è sempre inferiore o uguale allamedia aritmetica L’uguaglianza
si
verifica
solo
in
caso
di
distribuzione
degenere.
log(
x
g^
)^
=
log(
x
i
i = n^1 å
)
n
x
g
≤
x
a
La trimmed mean (media troncata)
La
trimmed mean
è la media aritmetica calcolata su una
fissata percentuale di valori
centrali
di un insieme di dati, in
modo da eliminare l’influenza dei
valori anomali.
Ad esempio nella trimmed mean al 90% si escludono il 5%dei valori più piccoli e il 5% dei valori più grandi.EsempioDati i valori del carattere
X
) la media
aritmetica è pari a 24.25. La trimmed mean al 50% saràottenuta escludendo i 2 valori più piccoli più grandi e risultapari a 6.75.