Le medie
Esiguita la rilevazione statistica e fatta la critica dei dati dobbiamo passare ad ulteriori elaborazioni
su queste cifre grezze per facilitare la sintesi della distribuzione e per consetire la comparazione del
fenomeno con altri fenomeni consimili.
È necessario sintetizzare tutte queste cifre grezze in un unico valore che sappia cogliere il
sottofondo costante della molteplicità dei valori riguardanti un fenomeno collettivo.
Secondo il metodo statistico, per la ricerca di tale valore, si può operare in diversi modi:
• prendendo per base alcune quantità assuntecome invarianti;
• prendendo per base alcune condizioni tra gli scarti.
Si possono quindi ottenere più valori che potranno essere assunti per esprimere sinteticamente
l'intensità di un fenomeno collettivo, detti valori medi .
Chisini stabilì un criterio, che recitava: dati dei valori, x1,x2,xn, in funzione degli obiettivi
dell'analisi, si scelga la funzione di aggregazione più opportuna e si individui una quantità x, ovvero
un parametro di posizione, tale che sostistuendo x ad ogni osservazione rilevata nella funzione, il
valore resti invariato.
Nel caso di una distribuzione, è opportuno utilizzare la condizione di Cauchy, ovvero porre in
ordine non decrescente le varie osservazioni della distribuzione, così da evitare errori o di esprimere
un valore medio esterno agli intervalli della distribuzione, detto media esterna.
I valori x che risultano uguali ad una delle modalità osservate nella distribuzione si dice media
effettiva o reale; le altre si dicono medie di conto.
Se le xi di una distribuzione sono tutte uguali, allora il valore x medio dovrà essere uguale al valore
comune della distribuzione.
Media aritmetica: dove N è il numero delle osservazioni osservate.
Media aritmetica ponderata: si terrà conto delle frequenze
Proprietà della media aritmetica
Diciamo scarto o scostamento la differenza tra il valore xi e il valore medio μ. È facile, quindi,
dimostrare le seguenti proprietà:
1 la somma algebrica degli scarti xi – μ è uguale a 0
2 la somma dei quadrati degli scarti xi – μ è un minimo, nel senso che essa è minore della
somma dei quadrati degli scarti dei valori xi da un altro qualsiasi valore, cioè: -->
dimostazione:
grazie alla prima proprietà la seconda sommatoria 2d=0, quindi è dimostrato: è maggiore
della somma degli scarti quadratici dalla media;
3 la media aritmetica è associativa, cioè possiamo sostituire ad un numero qualunque di valori
diversi della X un egual numero di valori tutti uguali alla loro media
4 la proprietà translativa dice: aggiungendo a tutti i valori xi una costante a, la media risulta
aumentata di a
5 la proprietà delle omogeneità dice: moltiplicando le xi per una costante b, la media risulta
uguale a b volte la media originaria
6 la media è una funzione crescente rispetto ad ognuna delle quantità singole xi
7 se le xi sono in progressione numerica e se N è dispari, la media coincide con il valore
centrale della graduatoria.
