Appunti su Concentrazione statistica, Sintesi del corso di Statistica

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Concentrazione

In che modo (e in che misura)

l’ammontare complessivo di

un carattere quantitativo trasferibile X

si ripartisce tra

le n unità di un insieme statistico?

MODELLO DI EQUIDISTRIBUZIONE MODELLO DI MAX CONCENTRAZIONE

j xj Cj = pj = qj j xj Cj = pj = qj

SITUAZIONE REALE (valori ordinati)

j xj Cj = pj = qj

j n Cj Cn j n

j n

Cj Cn

Cj Cn

CONCENTRAZIONE

MODELLO DI EQUIDISTRIBUZIONE MODELLO DI MAX CONCENTRAZIONE

j xj Cj pj qj pj - qj j xj Cj pj qj pj - qj

(^100) 0,00 (^100) SITUAZIONE REALE 2,

j xj Cj pj qj pj - qj

(^100) 0,

Misurare la concentrazione

L’ultima differenza pj - qj è nulla: p n - q n = 0. Quindi la quantità :

Σ n ( pj - qj ) = Σ n–^1 ( pj - qj ) =

può essere adottata come misura di concentrazione : vale 0 quando la concentrazione è nulla, assume valori crescenti al crescere della concentrazione e soltanto al crescere della concentrazione.

Corrado Gini ha suggerito di normalizzare tale misura, rapportandola al suo valore massimo, in modo che assuma valori compresi tra 0 e 1, leggibili anche in termini percentuali:

0 (equidistr.)

Σ n–^1 pj = 2 (max concentraz.)

0,63 (situaz. di esempio)

Una misura di concentrazione (non normalizzata)

Il denominatore dell’indice di Gini può essere riscritto come:

Σ n–^1 pj = Σ n–^1 j / n = ( 1 / n ) Σ n–^1 j = ( 1 / n ) [( n – 1) n / 2] = ( n – 1) / 2

N.B. In generale la somma dei primi h numeri naturali è Σ h j = h ( h +1) / 2.

Riprendendo l’espressione definitoria, si ha:

R = Σ n–^1 ( pj - qj ) / Σ n–^1 pj = (Σ n–^1 pj - Σ n–^1 qj )/ Σ n–^1 pj =

= 1 – Σ n–^1 qj / Σ n–^1 pj = 1 – Σ n–^1 qj / [( n – 1 ) / 2] , da cui:

R = 1 – 2 Σ n–^1 qj / ( n – 1 )

Nell’esempio considerato si ha : R = 1 – 2 ( 1 , 37 ) / 4 = 0 , 315

L’indice di Gini : formula calcolatoria

SITUAZIONE REALE

j xj Cj pj qj pj +1 - pj qj +1 + qj ( qj +1 + qj )( pj +1 - pj )

5 30 100 1,00 1,00 ____ ____ ____

    

R

A (^) A nn nj qj qj pj pj

0 , 315

45 1 0 ,^748

max 1 1 01 1 1





 - 

    

 (^) - + -  (^) - 

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