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Prerequisiti:
- Conoscere e utilizzare le proprietà delle
figure piane
- Conoscere e utilizzare il calcolo numerico
e algebrico
OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Una volta completata l’unità, gli allievi de-
vono essere in grado di:
- enunciare e applicare le formule per cal-
colare le aree ed i volumi dei principali
solidi geometrici (prisma, piramide, ci-
lindro, cono, sfera)
- risolvere semplici problemi sulle aree e
sui volumi dei solidi
Questa unità è riservata al 1° biennio degli Istituti
Tecnici e degli Istituti Professionali.
32.1 Cubo.
32.2 Poliedri regolari.
32.3 Poliedri e solidi geometrici.
32.4 Aree del prisma e della piramide.
32.5 Volumi del prisma e della pirami-
de.
32.6 Corpi rotondi e loro misure.
32.7 Problemi.
Verifiche.
Una breve sintesi
per domande e risposte.
Complementi: poliedri pseudo-
regolari
Solidi geometrici:
aree e volumi
Unità 32
32 .1 CUBO
Il cubo è un solido geometrico delimitato da sei quadrati congruenti. Un modello di cubo è il “dado”.
In figura 1 è rappresentato il disegno di un modello di cubo, ma tu puoi servirti di un modello materia-
le: se ti è possibile, prova a costruirlo o a reperirlo.
I 6 quadrati che delimitano un cubo si dicono facce del cubo.
I lati di questi quadrati sono gli spigoli del cubo. Sono in numero di 12 e, trattandosi di lati di quadrati
congruenti, sono essi stessi congruenti.
I vertici delle facce di un cubo si dicono vertici del cubo. Sono in numero di 8 e si possono ripartire in
4 coppie, mettendo in ogni coppia due vertici non appartenenti alla stessa faccia (come, per esempio:
A
1
ed A 7
): i due vertici di una stessa coppia si dicono vertici opposti.
Anche le 6 facce del cubo si possono ripartire in coppie: 3 per la precisione. Basta mettere in ogni
coppia due facce che non hanno vertici comuni (come, per esempio: A 1
A
2
A
3
A
4
e A 5
A
6
A
7
A
8
): le due
facce di una stessa coppia si dicono facce opposte.
Con riferimento al cubo di figura 1, individua:
- le 3 coppie di facce opposte; - le 4 coppie di vertici opposti.
FIG. 1 FIG. 2
Ogni segmento che unisce due vertici opposti di un cubo si chiama diagonale del cubo: in un cubo vi
sono 4 diagonali.
Con riferimento al nostro cubo, esse sono i segmenti A 1 A 7 , A 2 A 8 , A 3 A 5 , A 4
A 6.
Vale la seguente proprietà che ci limitiamo ad enunciare, come tutte quelle con cui avremo a che fare
in questa unità:
Le diagonali di un cubo (Fig. 2):
- passano tutte per uno stesso punto che biseca ciascuna di esse (si chiama centro del cubo);
- sono congruenti.
32 .2 POLIEDRI REGOLARI
32 .2.1 Il cubo rientra in una particolare categoria di solidi geometrici, denominati poliedri regolari.
È chiamato anche esaedro regolare (Fig. 3).
Oltre ad esso vi sono soltanto altri quattro poliedri regolari: tre sono limitati da triangoli equilateri
congruenti ed uno da pentagoni regolari congruenti.
I poliedri regolari delimitati da triangoli equilateri congruenti sono:
- il tetraedro regolare , avente 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli (Fig. 4);
- l’ ottaedro regolare , avente 8 facce, 6 vertici e 12 spigoli (Fig. 5);
c) Determina lo spigolo dell’ottaedro regolare avente per vertici i centri delle facce di un esaedro regolare
di spigolo s. [𝐑. s
√ 2
2
]
d) Determina lo spigolo dell’esaedro regolare avente per vertici i centri delle facce di un ottaedro regolare
di spigolo s. [𝐑. s
√ 2
3
]
32. 3 POLIEDRI E SOLIDI GEOMETRICI
32. 3. 1 Esistono figure solide limitate da poligoni qualsiasi e non necessariamente da poligoni regolari
uguali come nel caso dei poliedri regolari. Queste figure si chiamano genericamente poliedri. Precisa-
mente, vale la seguente definizione:
Si dice poliedro
( 2 )
una parte finita di spazio limitata da poligoni tali che due qualsiasi di essi non sia-
no complanari, ogni loro lato sia comune a due e soltanto due di essi e il piano di ciascuno di essi lasci
da una stessa parte tutti gli altri.
I poligoni che delimitano un poliedro si dicono le sue facce. I vertici e i lati delle facce si dicono ri-
spettivamente vertici e spigoli del poliedro.
Qual è il minimo numero di facce necessario per avere un poliedro?
Un poliedro prende il nome dal numero delle sue facce. In particolare, un poliedro di quattro, cinque,
sei, … , facce si dice rispettivamente tetraedro , pentaedro , esaedro , ….
Ci soffermiamo adesso a descrivere due particolari poliedri: il prisma e la piramide.
32. 3. 2 Incominciamo col riprendere il cubo (Fig. 8). I suoi 12 spigoli possono essere ripartiti in 3 classi,
ciascuna formata da 4 spigoli paralleli tra loro. Ad esempio, una classe è formata dagli spigoli A 1
A
5
A
2
A
6
, A
3
A
7
, A
4
A
8
. Se, in maniera del tutto arbitraria, allunghiamo o accorciamo di una stessa lunghez-
za i 4 spigoli di una delle 3 classi e di un’altra lunghezza quelli di una delle due classi rimanenti, otte-
niamo un solido geometrico delimitato da 6 rettangoli, due a due congruenti (Fig. 9 ): si chiama paral-
lelepipedo rettangolo.
Un libro, un mattone, uno scatolone sono modelli di parallelepipedi rettangoli.
FIG. 8 FIG. 9
Due qualsiasi facce parallele del parallelepipedo, come ad esempio le facce A 1 A 2 A 3 A 4 e A 5 A 6 A 7 A 8 , si
possono assumere come basi , mentre uno qualsiasi degli spigoli che non appartengono alle basi, come
A 1 A 5 , A 2 A 6 , A 3 A 7 , A 4 A 8 , si assume come altezza.
2
Correttamente si dovrebbe parlare di poliedro convesso per distinguere dal poliedro concavo in cui è possibile
che esista una faccia il cui piano non lascia da una medesima parte le altre facce. Non ci occuperemo di tali figu-
re, per cui quando parleremo di poliedro lo faremo con riferimento al poliedro convesso.
Ogni spigolo laterale è perpendicolare ai piani delle basi del parallelepipedo ed a tutte le rette di tali
piani passanti per il punto in cui la perpendicolare li interseca.
I 4 rettangoli A 1 A 2 A 6 A 5 , A 2 A 3 A 7 A 6 , A 3 A 4 A 8 A 7 , A 4 A 1 A 5 A 8 , diversi dalle basi, si chiamano facce late-
rali del parallelepipedo.
Un parallelepipedo rettangolo ha dunque due rettangoli come basi. Se i due rettangoli sono in partico-
lare dei quadrati, il parallelepipedo si chiama anche prisma regolare a base quadrata.
In questo caso le facce laterali sono rettangoli uguali.
Se poi, invece di quadrati, le basi sono triangoli equilateri, pentagoni regolari, esagoni regolari, eccete-
ra, si ha un prisma regolare a base triangolare , pentagonale, esagonale , eccetera.
Anche in questo caso le facce laterali sono rettangoli uguali. Esse sono tante quanti sono gli spigoli di
una base. La somma delle aree delle facce laterali è l’ area laterale del prisma.
In figura 10 sono rappresentati: (a) un prisma regolare a base triangolare, (b) un prisma regolare a base
quadrata.
Se le basi non sono poligoni regolari e/o se gli spigoli laterali sono inclinati rispetto alle basi il prisma
non è regolare ed in tal caso si chiama semplicemente prisma.
(a) (b)
FIG. 10
32 .3. 3 Consideriamo adesso un quadrato ABCD e, detto H il suo centro, conduciamo per H la retta
perpendicolare al piano del quadrato e su di essa prendiamo un punto V, distinto da H (Fig. 11 ).
FIG. 11
Congiungiamo V con i vertici del quadrato: si vengono a formare quattro triangoli. Essi e il quadrato
delimitano un solido geometrico che si chiama piramide regolare a base quadrata.
Il quadrato si chiama per l’appunto base della piramide, il segmento VH, vale a dire il segmento con-
dotto da V perpendicolarmente alla base della piramide, si chiama altezza della piramide, mentre i 4
triangoli si dicono facce laterali ; il punto V si chiama vertice della piramide.
Le facce laterali di una piramide regolare a base quadrata sono triangoli isosceli congruenti.
L’altezza, uscente dal vertice della piramide, di una qualunque di tali facce laterali si chiama apotema
della piramide. In figura 4 essa è il segmento VM, essendo M il punto medio dello spigolo AB.
Se fossimo partiti da un triangolo equilatero invece che da un quadrato, ripetendo la costruzione pre-
cedente avremmo ottenuto una piramide regolare a base triangolare.
li siano perpendicolari alle basi, nel qual caso il prisma si dice retto.
Naturalmente, indicate con A T
e A B
l’area totale e quella di una base, si ha:
A
T
= A
L
+ 2 A
B
32. 4 .2 Come per il prisma anche l’area laterale di una piramide regolare si trova sommando le aree delle
sue n facce laterali. Queste sono adesso triangoli aventi la medesima altezza a (che è l’apotema della
piramide) e basi uguali di lunghezza s. Per cui, indicata con A L
l’area laterale della piramide, risulta:
A
L
=n∙
1
2
sa. Poiché ns è uguale al perimetro 2p della base, l’area della piramide regolare è data dalla
seguente formula:
A
L
= p a.
In genere, se la piramide non è regolare, questa formula non vale, ma ci sono delle situazioni particola-
ri in cui è ancora valida. E precisamente tutte le volte che la piramide è “retta”.
Una piramide si dice retta quando la sua base è circoscrivibile ad un cerchio e l’altezza della piramide
cade nel centro di tale cerchio (Fig. 12 ).
FIG. 12
In una piramide retta le facce laterali hanno la stessa altezza (cosa che qui non possiamo dimostrare),
la quale si chiama ancora apotema della piramide ed è la congiungente il vertice con il punto in cui il
cerchio tocca il lato della base. In figura, H è il centro del cerchio inscritto nella base della piramide di
vertice V e base ABC; VH è l’altezza della piramide, mentre VM è l’altezza della faccia VAB e VN lo
è della faccia VBC; risulta VM=VN.
Calcolata l’area laterale A L
di una piramide e chiamate A T
e A B
la sua area totale e quella della base, si
ha evidentemente:
AT = AL + AB.
32. 5 VOLUMI DEL PRISMA E DELLA PIRAMIDE
32. 5. 1 Consideriamo un parallelepipedo rettangolo di dimensioni 3 - 4 - 5. Dividiamo in 3 parti congruenti
uno degli spigoli di misura 3 e mandiamo per i punti di divisione i piani perpendicolari allo spigolo
stesso. Facciamo altrettanto con uno spigolo di misura 4 (dopo averlo diviso in 4 parti congruenti) e
con uno spigolo di misura 5 (dopo averlo diviso in 5 parti congruenti). Con questo procedimento il pa-
rallelepipedo assegnato viene suddiviso in 3 4 5 cubi di spigolo 1 (Fig. 13 ). Sicché, se il cubo di spi-
golo 1 è assunto come solido unitario (ossia come unità di misura dei solidi ), possiamo concludere
che la misura del parallelepipedo in esame é: 3 4 5=60.
Hai notato certamente che questo procedimento ne richiama alla mente un altro: quello per il calcolo
dell’area di un rettangolo.
FIG. 13 FIG. 14
Ebbene, come allora, anche adesso il fatto su descritto, molto intuitivo, è assunto da noi come punto di
riferimento per una regola non dimostrata, che definisca la misura di un solido.
Prima, però, è necessario mettersi d’accordo sul concetto di “somma di due solidi”. La definizione è
analoga a quella di “somma di due superfici”, già trattata nel biennio.
Precisamente, se esistono due solidi ' e " tali che (Fig. 14):
' " = e ' " = ,
il solido si chiama somma dei solidi ' e " e si scrive: = ' + ".
Ecco allora la regola relativa alla misura di un solido.
REGOLA PER IL CALCOLO DEL VOLUME:
Ad ogni solido è associato uno ed un solo numero reale non negativo – è indicato con V() e chia-
mato volume (o misura ) del solido – tale che:
- se è una superficie allora V() = 0;
- se è un parallelepipedo rettangolo di dimensioni a, b, c allora V( ) = a b c ;
- se ' e " sono due solidi congruenti allora V(') = V(");
- se è la somma dei due solidi ' e " allora V() = V(') + V(").
Due solidi aventi ugual volume si dicono equivalenti.
In conseguenza di questa regola, il volume del cubo è immediato.
Potendosi infatti considerare questo poliedro come un parallelepipedo rettangolo di dimensioni s, s, s –
dove s è la lunghezza dello spigolo del cubo – il suo volume V è chiaramente:
𝟑
32. 5. 2 Una unità di misura dei solidi è il metrocubo , vale a dire il cubo, il cui lato misura 1 m. Si indica
con la scrittura:
3
.
Nella pratica sono usati anche, come unità di misura dei solidi, sottomultipli o multipli del metrocubo.
Per esempio:
1 cm
3
m
3
, 1 dm
3
m
3
, 1 km
3
9
m
3
Ricordiamo, inoltre, che 1 dm
3
equivale anche ad 1 litro , che è una misura di capacità ed è considera-
uguale a quella del prisma e la medesima altezza, rimane spiegato quanto detto sopra.
32 .6 CORPI ROTONDI E LORO MISURE
32 .6.1 Considerata una qualsiasi retta r ed una figura piana F, di area non nulla, disposta nello stesso piano
con r ma senza attraversarla, la figura geometrica descritta da F in una rotazione di 360° intorno ad r si
chiama solido di rotazione. La retta r si chiama asse di rotazione.
In questa nostra veloce carrellata ci limitiamo a prendere in esame solo alcuni elementari solidi di ro-
tazione. Facciamo affidamento sui tuoi ricordi riguardo al cerchio, nel senso che supponiamo che ti sia
noto di cosa si tratti.
- Il solido generato da un rettangolo in una rotazione di 360° intorno alla retta di uno dei suoi lati si
chiama cilindro circolare retto (Fig. 16). I due lati perpendicolari a quello di rotazione generano,
nella rotazione medesima, due cerchi che si dicono basi del cilindro, mentre il lato intorno a cui
ruota il rettangolo si dice altezza del cilindro.
- Il solido generato da un triangolo rettangolo in una rotazione di 360° intorno alla retta di uno dei
suoi cateti si chiama cono circolare retto (Fig. 17). Il cerchio generato dal cateto che ruota si dice
base del cono. L’altro cateto si chiama apotema del cono.
- Il solido generato da un cerchio in una rotazione di 180° intorno ad una retta passante per il suo
centro si chiama sfera (Fig. 18). Il centro del cerchio si chiama anche centro della sfera.
FIG. 16 FIG. 17 FIG. 18
32 .6. 2 Per le misure dei corpi rotondi è indispensabile conoscere in via preliminare quelle della circonfe-
renza e del cerchio. Ci occuperemo di ciò in futuro e per il momento ci accontentiamo di fornire le
formule necessarie. Tali formule, indicate con 𝐂 ed 𝐀 la lunghezza di una circonferenza di raggio r e
l’area del cerchio che essa racchiude, sono le seguenti:
𝟐
dove (pigreco) è una costante il cui valore approssimato fino al 5° decimale è il seguente:
A questo punto possiamo fornire le formule per l’area laterale e totale e per il volume del cilindro e del
cono e una loro spiegazione intuitiva.
Ai fini del calcolo dell’area laterale di un cilindro di raggio r ed altezza h, consideriamo un prisma
regolare inscritto nel cilindro e avente per base un poligono di n lati. Vale a dire un prisma avente la
stessa altezza del cilindro e per basi due poligoni inscritti nelle circonferenze di base del cilindro.
Il cilindro può essere pensato come la posizione limite del prisma quando n tende ad infinito. Per cui
la sua area laterale A L
si calcola come quella del prisma: solo che adesso, al posto del perimetro di ba-
se del prisma, ci sarà la lunghezza della circonferenza di base del cilindro.
Pertanto:
𝐋
Il calcolo dell’area totale del cilindro è del tutto immediato:
𝐓
Ragionando come per il calcolo dell’area laterale, si conclude che il volume V del cilindro si trova
come quello del prisma: solo che adesso, al posto dell’area di base del prisma, ci sarà quella del cer-
chio di base del cilindro. Pertanto:
𝟐
Ai fini del calcolo dell’area laterale di un cono di raggio r e di apotema a, consideriamo una pirami-
de regolare inscritta nel cono e avente per base un poligono di n lati. Vale a dire una piramide avente
lo stesso vertice del cono e per base un poligono inscritto nella base del cono.
Il cono può essere pensato come la posizione limite della piramide quando n tende ad infinito. Per cui
la sua area laterale A L
si calcola come quella di una piramide retta: solo che adesso, al posto del semi-
perimetro di base della piramide, avremo la lunghezza della semicirconferenza di base del cono.
Pertanto:
𝐋
Il calcolo dell’area totale del cono è banale:
𝐓
Ragionando come abbiamo fatto per il cilindro, si arriva a concludere che il suo volume V è espresso
dalla formula seguente:
𝟐
32 .6. 3 Per quanto concerne l’area A di una superficie sferica di raggio r, si ha la seguente formula:
𝟐
Ossia, detto a parole:
𝐋’𝐚𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐢 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞 𝐬𝐟𝐞𝐫𝐢𝐜𝐚 è 𝟒 𝐯𝐨𝐥𝐭𝐞 𝐥’𝐚𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐬𝐮𝐨 𝐜𝐞𝐫𝐜𝐡𝐢𝐨 𝐦𝐚𝐬𝐬𝐢𝐦𝐨.
Il volume V di una sfera è espresso dalla seguente formula:
𝟑
32 .7 PROBLEMI
- PROBLEMA 1. Una piramide triangolare regolare ha vertice nel punto V ed ha per base il triangolo
ABC di perimetro uguale a 30 √
3 cm. L’apotema della piramide misura 13 cm. Calcolare l’area totale
ed il volume della piramide. Calcolare inoltre la distanza del vertice C dalla faccia VAB.
RISOLUZIONE. Forniamo una rappresentazione della piramide (Fig. 1 9).
I dati ci permettono di calcolare immediatamente l’area laterale della piramide:
A
L
cm
2
La misura del lato AB del triangolo equilatero ABC, il cui perimetro è 30 √ 3 cm, è evidentemente
10 √ 3 cm. Di conseguenza l’altezza CM di tale triangolo misura 15 cm.
L’area del triangolo ABC, base della piramide, è pertanto:
litri.
Per determinare le dimensioni della base dell’acquario si tratta adesso di stabilire quali interi a, b sono
tali che ab=700, tenendo però presente che deve essere a>20 e b>20, altrimenti non è possibile inse-
rire il secondo cubo nell’acquario. Si può procedere solo per tentativi, magari con l’ausilio di una cal-
colatrice. Si trova comunque una sola soluzione: le dimensioni cercate sono 25 cm e 28 cm.
- PROBLEMA 3. Un trapezio rettangolo, ruotando di un giro completo attorno alla base maggiore, ge-
nera un solido di volume V'; ruotando di un giro completo intorno alla base minore, genera un solido
di volume V". Determinare le basi del trapezio sapendo che la somma delle loro misure è 2a, dove a è
una lunghezza assegnata, e sapendo che V': V"=3 : 4.
RISOLUZIONE. Considerato il trapezio rettangolo ABCD (Fig. 20), notiamo anzitutto che il solido ge-
nerato da esso in una rotazione completa attorno alla base maggiore AB è formato dal cilindro di rag-
gio AD ed altezza DC sormontato dal cono di raggio HC ed altezza HB, mentre il solido generato dal
trapezio medesimo in una rotazione completa attorno alla base minore DC è formato dal cilindro di
raggio AD ed altezza DK incavato dal cono di raggio BK ed altezza CK.
Pertanto, constatato che HCBKAD e CKHB, si ha:
V′
V"
π AD
2
∙ DC +
π AD
2
∙ HB
π AD
2
∙ AB −
π AD
2
∙ HB
3 DC + HB
3 AB − HB
e poiché HB = AB – DC, si ha:
V′
V"
AB + 2 DC
2 AB + DC
Perciò i dati del problema si traducono nel seguente sistema di due equazioni nelle incognite AB e DC:
AB + DC = 2a
AB + 2 DC
2 AB + DC
Esso, una volta risolto, dà la seguente soluzione: AB =
a, DC =
a.
FIG. 2 0
- PROBLEMA 4. La base maggiore, la base minore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano
nell’ordine: 12 m, 6 m, 28 m.
Spiegare se i dati assegnati sono sufficienti, insufficienti, sovrabbondanti o incompatibili per calcolare:
a) l’area del trapezio;
b) il raggio del cerchio inscritto nel trapezio;
c) il raggio del cerchio circoscritto al trapezio;
d) il volume del solido generato dal trapezio in una rotazione di mezzo giro intorno alla retta che
unisce i punti medi delle sue basi;
e) l’area totale di un cono circolare retto equivalente al solido ;
f) il rapporto fra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima
intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore.
RISOLUZIONE (indicazioni).
a) I dati assegnati sono sufficienti per determinare l’area S del trapezio. Si trova: S = 36 m
2
b) I dati assegnati sono incompatibili per la richiesta del problema. In effetti, nel trapezio non si può
inscrivere un cerchio.
c) I dati assegnati sono sufficienti. Si trova che il raggio del cerchio circoscritto al trapezio è:
R =
√ 97 m.
d) I dati assegnati sono sufficienti per determinare il volume V del solido richiesto. Si trova:
V = 84 m
3
e) I dati sono insufficienti.
f) I dati sono sovrabbondanti per la richiesta: basterebbe conoscere il rapporto tra le basi del trapezio
e non occorre neppure sapere che esso è isoscele. Si trova in ogni caso:
V′
V"
- Determinare le misure di due segmenti sapendo che la differenza tra il maggiore e il minore misura 2
cm, mentre la differenza tra il cubo avente come spigolo il maggiore e quello avente come spigolo il
minore misura 218 cm
3
- Un tetraedro regolare ed un cubo hanno gli spigoli ugualmente lunghi. È possibile calcolare il rapporto
fra le loro superfici e quello fra i loro volumi? In caso di risposta affermativa, eseguire il calcolo.
- Le dimensioni interne della base di un acquario a forma di parallelepipedo rettangolo sono 9 cm e 12
cm, mentre la sua altezza misura 10 cm. L’acqua che vi è contenuta lo riempie fino al livello di 8 cm.
Si immerge nell’acquario un solido di marmo a forma di cubo e l’acqua si solleva riempiendolo comple-
tamente fino all’orlo, ma senza traboccare. Quanto misura lo spigolo del cubo?
VERIFICHE
( 5 )
1. Un solido è ottenuto incollando uno sopra l’altro due cubi (Fig. 21), uno di spigolo a e l’altro di spigo-
lo b, con a>b. Calcolare l’area totale del solido.
[Ispirato ad un problema assegnato a prove INVALSI 2013]
5
NOTA BENE. Qualche problema ha come risolvente un’equazione di 2° grado o un’equazione in cui l’incognita
figura sotto il segno di radice quadrata. In tal caso ci sono due possibilità: a) l’argomento è già stato studiato e la
risoluzione del problema non presenta difficoltà; b) l’argomento non è stato ancora studiato e perciò la risoluzio-
ne, una volta ottenuta l’equazione risolvente, deve essere provvisoriamente accantonata.
13. Le sei piramidi, aventi per vertice il punto d’incontro delle diagonali di un parallelepipedo e per basi
le sue facce, sono equivalenti: è vero o è falso?
14. I triangoli ABC e ABD hanno il lato AB in comune e sono equivalenti. È vero o è falso che i solidi
generati da essi in una rotazione completa intorno ad AB sono equivalenti?
15. I triangoli ABC e ABD, rettangoli e isosceli sulla base AB, giacciono in piani perpendicolari. Sapendo
che AB misura 2a, dove a è una lunghezza assegnata, calcolare la distanza del punto A dal piano dei
punti B, C, D. [𝐑.
2
3
a√ 3 ]
16. Considerato un tetraedro regolare, descrivere il poliedro avente per vertici i centri delle sue facce e
calcolare il rapporto fra i volumi dei due solidi. [ R. Tetraedro regolare; 27]
17. Considerato un cubo, descrivere il poliedro avente per vertici i centri delle sue facce e calcolare il rap-
porto fra i due solidi. [ R. Ottaedro regolare; 6]
18. Un prisma ha per base un triangolo equilatero di lato lungo a, essendo a una lunghezza data. Determi-
nare di quanto bisogna aumentare la lunghezza dello spigolo di base affinché il volume del prisma
raddoppi. [𝐑. a(√ 2 − 1 )]
19. La sezione di un prisma triangolare regolare con il piano contenente una mediana della base e perpen-
dicolare alla base stessa è un quadrato di lato lungo a. Calcolare il volume e l’area totale del prisma.
[𝐑. a
3
/ √
3 , … ]
20. Il raggio di base e l’altezza di un cono circolare retto sono direttamente proporzionali ai numeri 4 e 3
e l’area totale del cono è 9πa
2
. Calcolare l’area laterale ed il volume del cono. 21. Considerato un triangolo equilatero ABC di lato lungo a, determinare sul lato AB un punto P tale che,
condotte per esso le corde PR e PS parallele rispettivamente ai lati AC e BC, l’area della superficie del
solido generato dal quadrilatero PRCS in una rotazione completa intorno a BC sia doppia di quella del
solido generato, nella stessa rotazione, dal triangolo PBR. [ R. AP = a/2]
22. La base maggiore di un trapezio è lunga 2b e gli angoli adiacenti ad essa sono ampi uno 30° e l’altro
120°. Sapendo che la base minore è congruente al minore dei lati obliqui, calcolare l’area e il volume
del solido generato dal trapezio in una rotazione completa intorno alla base maggiore.
[R.
3
2
πb
2
(1+√ 3 ), π b
3
]
23. Un trapezio rettangolo, di perimetro
20
3
r, è circoscritto ad un semicerchio di raggio r, in modo che la
sua base maggiore ne contenga il diametro. Calcolare l’area ed il volume del solido generato dal tra-
pezio quando ruota di un giro completo intorno alla base minore.
24. In un cerchio è inscritto un triangolo equilatero. Calcolare il rapporto fra la sfera ed il cono descritti
rispettivamente dal cerchio e dal triangolo quando la figura ruota di mezzo giro intorno ad un diametro
del cerchio passante per un vertice del triangolo.
25. I due triangoli ABC e ABD hanno il lato AB in comune e sono equivalenti. È vero o è falso che i soli-
di generati da essi in una rotazione completa intorno ad AB sono equivalenti?
26. Sezionata una sfera di raggio assegnato r con un piano, si considerino i due coni aventi come base co-
mune il cerchio sezione e come vertici gli estremi del diametro della sfera perpendicolare al piano se-
cante. Sapendo che le aree laterali di questi coni stanno nel rapporto 3:4, calcolare i loro volumi.
[𝐑.
3456
15625
πr
3
6144
15625
πr
3
]
UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE
DOMANDE.
1. È vero che un qualunque prisma regolare è un poliedro regolare? 2. Si consideri il poliedro avente per vertici i centri delle facce di un tetraedro regolare. Di che poliedro
si tratta?
3. Si consideri il poliedro avente per vertici i centri delle facce di un ottaedro regolare. Di che poliedro si
tratta?
4. È vero che due solidi si dicono equivalenti se hanno la stessa area totale? 5. È vero che il volume di un parallelepipedo rettangolo è dato dal prodotto delle sue tre dimensioni? 6. Le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono tutte dimezzate: è vero che anche il volume del
parallelepipedo risulta dimezzato? E se non è vero, quanto diventa tale volume?
7. Un tetraedro regolare ha spigolo lungo il doppio di quello di un cubo. Quale dei due solidi ha volume
maggiore?
8. Posto che V sia il volume di un cono circolare retto, r il raggio della sua base ed h l’altezza, è vero che
risulta: r=√
πh
3V
9. Un cilindro circolare retto in cui l’altezza è uguale al diametro di base si dice equilatero. Che figura si
ottiene intersecandolo con un piano passante per il suo asse di rotazione? Qual è il volume del cilindro
se il raggio di base è r? Quale la sua area totale?
10. Un cono circolare retto in cui l’apotema è uguale al diametro di base si dice equilatero. Che figura si
ottiene intersecandolo con un piano passante per il suo asse di rotazione? Qual è il volume del cono se
il raggio di base è r? Quale la sua area totale?
11. È dato un triangolo rettangolo. Facendolo ruotare di un giro completo una volta intorno ad un cateto
ed una volta intorno all’altro cateto si ottengono due solidi. È vero che il rapporto dei loro volumi è
uguale al rapporto dei cateti che ruotano?
RISPOSTE.
1. No. Tra i prismi regolari solo il cubo è un poliedro regolare. 2. Si tratta di un tetraedro regolare. 3. Si tratta di un cubo. 4. No. Due solidi si dicono equivalenti se hanno lo stesso volume. 5. Sì. 6. È falso. In realtà il volume del parallelepipedo diventa 8 volte più piccolo. In effetti, se il volume del
parallelepipedo originario era V quello del nuovo parallelepipedo è V/8. Ciò si spiega facilmente. Ba-
sta costatare che, se le dimensioni del parallelepipedo sono a, b, c, il suo volume è V=abc, mentre il
volume del parallelepipedo con le dimensioni dimezzate è:
V
′
a
b
c
abc
V
7. Se lo spigolo del cubo è lungo s, il suo volume è s
3
, mentre il volume del tetraedro si trova che è
2 √
2
3
s
3
. Siccome 2 √ 2 <3, si deve concludere che il cubo ha volume maggiore.
