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I SIMBOLI DI SOMMATORIA E DI PRODUTTORIA
Date più quantità^ o elementi^ di un insieme (ad esempio numeri reali) dipendenti^ da un^ indice : a 1 , a 2 , a 3 , ....... , an la loro somma: a 1 + a 2 + a 3 , ....... + an si indica, in forma compatta, col simbolo di sommatoria :
a a a a (^) n ai i
n 1 2 3 1
=
che si legge: “ sommatoria delle ai, variando i da 1 ad n ”; il simbolo i si dice indice di sommatoria. Il simbolo di sommatoria risulta particolarmente efficace e conveniente allorché i termini oppure gli elementi ai sono individuati esplicitamente in dipendenza dell’ indice i ; vediamo degli esempi:
( )
1 3
5 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
i i n
i
i
n
^
^
=
=
Osserviamo che se l’ indice di sommatoria i viene sostituito con un qualsiasi altro indice j , k , purché in tutte le espressioni in cui questo compare, il senso della sommatoria non muta : ovvero:
i j i
n j
2 n 2
2 2
= =
mentre:
r k r
n k
3^ m 1
3 1
= =
poiché i due simboli r e k indicano, rispettivamente, la somma dei primi n oppure dei primi m cubi , e se n (^) ≠≠≠≠ m , il risultato fornirà valori differenti. Esaminiamo, ora, alcune proprietà della sommatoria: a) sommatoria con termine costante:
c c c c c c n i
n
n volte
=
1
.
b) sommatoria di prodotto per una costante :
c a (^) i c a i
n i i
n ⋅ = ⋅ = =
1 1 Infatti per definizione di sommatoria si ha: c a (^) i c a c a c a c a a a c a i
n n n i i
n ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + + + = ⋅ = =
1
2 1 2 1
c) somma di sommatorie :
a (^) k b a b k
n k k
n k k k
n
1 1 1
Infatti per definizione di sommatoria si ha:
a b a a a b b b
a b a b a b a b
k k
n k k
n n n
n n k k k
n
= =
=
1 1
1 2 1 2
1 1 2 2 1
d) scomposizione di una sommatoria :
a (^) k a a k
n k k n
n m k k
n m
=
1 1 1 Infatti per definizione di sommatoria si ha: a a a a a a a a
a a a a a a a
k k
n k k n
n m n n n n m
n n n n m k k
n m
= = +
=
1 1
1 2 1 2
1 2 1 2 1
e) traslazione dell’indice di sommatoria :
a (^) k a k
n k m k m
n m
− = +
1 1 Si tratta di valutare separatamente l’espressione del secondo membro e verificarne l’uguaglianza col primo; per definizione di sommatoria si ha: a a a a a
a a a a a
k m k m
n m m m m m m n m n m m
n k k
n
− = +
=
= + + + +
= + + + + =
1
1 1 1 1
1 2 3 1
[( ) ] [( ) ] [( ) ] ... [( ) ]
.....
f) riflessione dell’indice di sommatoria :
a (^) k a a k
n n k k
n n k k
n
− +
−
−
∑ =^ ∑ = ∑
1
1 1 0
1
Infatti per definizione di sommatoria si ha: a a a a a a a
a a a a a a a
n k k
n n n n n n n
n k k
n n n n n n n
− +
− + − + − + −
−
− − − − − −
1 1
1 1 2 1 1 1 1
0
1 0 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
[ ( )]
Ricordando, poi, la proprietà commutativa della somma si ha che: a (^) n + a (^) n − 1 + .....+ a (^) 2 + a (^) 1 = a 1 (^) + a (^) 2 + .....+ a (^) n − 1 + an e pertanto resta verificata la proprietà della riflessione dell’indice di sommatoria. Si può verificare la necessità di dovere considerare anche “ sommatorie di sommatorie ”; così, per la quantità o per gli elementi ars dipendenti da due indici r ed s , variabili il primo da 1 a 3 ed il secondo da 1 a 4 , si avrà:
Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata: 1 2
+∞
..... ∑ ( n )
n
ESERCIZIO 2 : Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma : 1 1 2
Individuiamo nella somma algebrica di infiniti addendi assegnata la legge dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare:
- il primo addendo può essere visto come la frazione impropria 1/1 ;
- al numeratore di ciascuna frazione addendo è sempre presente il numero 1 ;
- al denominatore delle frazioni addendo ci sono i numeri naturali a partire dal numero 1 ;
- si evince una alternanza di segno nei singoli addendi; considerando il numero zero come numero pari , si evince che le frazioni poste in posizione pari sono positive , quelle poste in posizione dispari sono negative. È necessario un coefficiente opportuno che gestisca l’ alternanza di segno in stretta dipendenza dall’ indice n della sommatoria, ovvero dal posto occupato dai termini da sommare; ciò può essere realizzato dalla struttura: (-1)n ; Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata:
1 1 2
0 1
+∞
+∞
n (^ ) n
k n (^) k k
ESERCIZIO 3 : Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma : 1 1 4
Individuiamo nella somma algebrica di infiniti addendi^ assegnata la legge^ dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare:
- il primo addendo può essere visto come la frazione impropria 1/1 ;
- al numeratore di ciascuna frazione addendo è sempre presente il numero 1 ;
- al denominatore delle frazioni addendo sono presenti i quadrati dei numeri naturali a partire dal numero 1 ; Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata:
1 1 4
^
^
+∞
+∞
n n^ k (^ k )
ESERCIZIO 4 : Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva, in forma compatta, la seguente somma :
Individuiamo nella somma algebrica di infiniti addendi assegnata la legge dalla quale i singoli addendi principiano; in particolare:
- numeratore^ e^ denominatore^ di ciascuna frazione addendo sono^ numeri naturali consecutivi ;
- per^ ogni^ frazione^ addendo^ il^ numeratore^ è^ inferiore^ di^ una^ unità^ dal^ corrispondente denominatore ; Quanto premesso serve per stabilire, senza ambiguità, la scrittura compatta della somma assegnata; infatti si ottiene la scrittura di seguito riportata: 1 2
^
^ ⇒^
^
+∞
+∞
n n
k n k k
ESERCIZIO 5 : Utilizzando le proprietà dei logaritmi si determini una scrittura equivalente della seguente struttura che utilizza il simbolo di sommatoria: log n n n +
^
+∞
1 Ricordando che il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, si ottiene la scrittura di seguito riportata:
log (^) [ log log( ) (^) ] log log( ) n n
n n n n n + n n n
^
= ^ =^ −^ +^ =^ −^ +
+∞
+∞
+∞
+∞
∑ 1 ∑ 1 ∑ ∑^1
1 1 1 1
=
ESERCIZIO 6 : Dimostrare la validità della relazione di seguito riportata:
( a (^) k a (^) k ) a a k
n − (^) − = (^) n − =
1
0
Basta esplicitare l’agito del segno di sommatoria in stretta osservanza della corrispondente relazione costitutiva, ottenendo:
( a (^) k a (^) k ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) ....... ( a a ) k
n − (^) − = − + − + − + + (^) n − n =
1
1 0 2 1 3 2 1
Tale relazione può diversamente, ma in forma algebricamente del tutto equivalente, essere scritta nel modo di seguito riportato:
( a (^) k a (^) k ) a a a a a a a ....... a a a k
n − (^) − = − + − + − + − + + (^) n − (^) n + n =
1
0 1 1 2 2 3 3 1 1
ovvero, procedendo alle necessarie e dovute semplificazioni algebriche:
( a (^) k a (^) k ) a a ( a a ) a a k
n n k k k
n − (^) − = − + ⇒ − = (^) n − =
−
1
0 1 1
0
Un altro itinerario risolutivo è espresso dalla procedura che fa ricorso alla proprietà della somma di sommatorie , proprietà c), procedura che di seguito si riporta:
( ) ..... .....
a a a a a a a a a a a a
k k k
n k k
n k k
n
n n n
− = =
−
− −
1 1
1 1 1 2 1 0 1 2 1
1^ n^ 11 se n è parise n è dispari
di conseguenza, risulta:
1 1 2
1
16 − + − + − − = − + =
..... ∑( ) k
k k La somma dei primi sedici numeri interi dispari può essere scritta come di seguito mostrato:
1 3 5 7 29 31 2 1 2 1 1
16 0
15
..... ∑ ( k ) ∑( n )
k n Il simbolo ΠΠΠΠ indica, invece il prodotto di più quantità od elementi dipendenti da un indice. Si pone
di solito: a a a a (^) n a (^) n ai i
n 1 2 3 1 1
=
In ossequio all’agito intrinseco al simbolo di produttoria , in riferimento alla sua relazione costitutiva, è facile verificare la proprietà seguente:
( β⋅ )=β = =
∏ x^ k ∏ x
k
n (^) n k k
n 1 1 Si presti, inoltre, particolare attenzione al rispetto della seguente disuguaglianza:
( x (^) j y (^) j ) x y j
n j j
n j j
n
1 1 1 Infatti, già per n = 2 si verifica con immediatezza quanto di seguito evidenziato:
( x (^) j y (^) j ) ( x y ) ( x y ) x x x y y x y y j
=
1
2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
mentre:
x (^) j y x x y y j
n j j
n = =
∏ +^ ∏ =^ +
1 1
1 2 1 2 il che manifesta appunto la valenza della disuguaglianza.
Di notevole interesse è il prodotto dei primi n^ numeri interi naturali, che definisce il fattoriale^ di n :
n h n n h
n ! = = ⋅ ⋅ ⋅....... ( ⋅ − )⋅ =
1
Si osservi inoltre che:
( n )! h ....... ( n ) n ( n ) ( n ) h ( n ) n! h
n h
n
=
1
1 1 Dalla relazione ( n + 1 )!=( n + 1 ) n !si evince immediatamente la relazione di seguito riportata:
n n n
n n n n
h n N h
n ! (^ )! ( )
=
1
con
Si deve, altresì, ricordare che vale la seguente definizione: 0! = 1! = 1. L’utilizzo del fattoriale di un numero trova grande riscontro nel calcolo combinatorio e nel calcolo dei coefficienti dello sviluppo della potenza ennesima di un binomio.
Il fattoriale di n o n fattoriale , che si indica con n! , è definito dal prodotto dei primi n numeri interi decrescenti consecutivi a partire da n.
I LOGARITMI
Siano a e b due numeri appartenenti all’insieme dei numeri reali ℜℜℜℜ e tali che risulti: a>0 , a ≠≠≠≠ 1 , b>0.^ Si definisce “logaritmo in base a del numero b, l’esponente x che si deve dare alla base a per ottenere il numero b” ; in formula si ha: log a b = x ⇒ a x = b Se a>0 , a ≠≠≠≠ 1 e b>0, si può dimostrare che esiste ed è unico il numero reale x = loga b Per x, y, a>0 , con a ≠≠≠≠ 1 e per αααα∈∈∈∈ℜℜℜℜ, sussistono le seguenti proprietà dei logaritmi: log (^) a ( x ⋅ y ) = log (^) a x +log ay infatti, se si pone rispettivamente: log a x = v ⇒ a v = x nonché log a y = w ⇒ a w = y ne consegue che il prodotto membro a membro delle due relazioni fornisce la scrittura:
x ⋅ y = a v^ ⋅ a w^ = a ( v^^ + w )^ ovvero: log a ( x ⋅ y ) = log a [ a (^ v^ +^ w )] cioè:
( v + w ) = log (^) a ( x ⋅ y ) da cui si conclude che: log (^) a x + log (^) a y = log (^) a ( x ⋅ y )
log (^) a x log (^) a log a y
x y ^
^
infatti, se si pone rispettivamente: log a x = v ⇒ a v = x log a y = w ⇒ a w = y ne consegue che il quoziente membro a membro fornisce la scrittura: x y
a a
a
v w = = ( v^^ − w )^ ovvero:
log [ ] log
( ) a
v w a (^) a x y
^
^
da cui si evince:
( v w ) log x a y
^
^
che permette di concludere :
log (^) a x log (^) a y log a x y
^
log a x^ α^ = α⋅ log ax infatti, si può formulare che:
log log ( ..... )
log log ..... log
log
a a volte a a a volte a
x x x x
x x x
x
α α
α
⋅
⋅
Ricordando la proprietà relativa al logaritmo di un prodotto, e precisamente: log (^) k ( a ⋅ b ) = log (^) k a +log kb
c)^ x^ > + x = − − x + x xx x x xx
⇒ − >+ + = +
⇒ > =
5 2 4 2 7
5 2 2 7 4 5
5 2 ( ) (5 ) 8 9 Si perviene così alla conclusione seguente: x x
x x
Si perviene così alla conclusione che l’equazione assegnata ammette come unica soluzione x = −−−− 1/
ESERCIZIO 10 : Si desidera risolvere la disequazione seguente : 3 + 2 x < 4 ( ) 1 Osserviamo che, in base alla definizione di “ valore assoluto ”, risultano immediate le posizioni seguenti: ∀ x :( 3 + 2 x ) ≥ 0 ⇒ 3 + 2 x = + ( 3 + 2 x ) e la disequazione ( 1 ) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: ( 3 + 2 x )< 4 ∀ x :( 3 + 2 x ) < 0 ⇒ 3 + 2 x = − ( 3 + 2 x ) da cui : − ( 3 + 2 x )< 4 e la disequazione ( 1 ) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: ( 3 + 2 x )> − 4 Le due relazioni ottenute si compendiano nella scrittura unione seguente: − 4 < ( 3 + 2 x )< 4 ⇒ − 3 − 4 < 2 x < 4 − 3 ⇒ − 7 < 2 x < 1 Si perviene, pertanto, alla determinazione dell’ insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione ( 1 ) di partenza; infatti si ottiene: ( − 7 2 ) < x <( 1 2 )
ESERCIZIO 11 : Si desidera risolvere la disequazione seguente : 1 − x^2 > 8 ( ) 2 Osserviamo che, in base alla definizione di “ valore assoluto ”, risultano immediate le posizioni seguenti: ∀ x :( 1 − x^2 ) ≥ 0 ⇒ 1 − x^2 = + ( 1 − x^2 )
e la disequazione ( 2 ) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: ( 1 − x^2 )> 8
∀ x :( 1 − x^2 ) < 0 ⇒ 1 − x^2 = − ( 1 − x^2 ) da cui : − ( 1 − x^2 )> 8
e la disequazione ( 2 ) di partenza assume la forma che di seguito si riporta: ( 1 − x^2 )< − 8 Le due relazioni ottenute si compendiano nella scrittura seguente: ( 1 − x^2 ) > 8 ( 1 − x^2 )< − 8 Risolvendo la prima disequazione si ottiene: ( 1 − x^2 )> 8 ⇒ 1 − 8 > x^2 ⇒ x^2 < − 7 che è, manifestamente, impossibile. Mentre la soluzione della seconda disequazione porge: ( 1 − x^2 )< − 8 ⇒ − x^2 < − 8 − 1 ⇒ x^2 > 9 Si perviene, pertanto, alla determinazione dell’ insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione ( 2 ) di partenza; infatti si ottiene: 1 − x^2 > 8 ⇒ x^2 > 9 ⇒ x < − 3 ∨ x > 3
Il sistema È manifestamente impossibile , atteso che la soluzione x = 9/8 è in antitesi con la condizione x > 5/2 , essendo, appunto, evidente che: 9/8 < 5/.
ESERCIZIO 12 : Si desidera risolvere la disequazione seguente : 1 2
x < x
Osserviamo che, in base alla definizione di valore assoluto, sono immediate le seguenti posizioni:
∀ −
^
^ ≥^ ⇒^
x x < ≠ − x
x x
x x
x x
: 1 ( x ) 2
^
^ <^ ⇒^
x x > − x
x x
x x
x x
x x
:^1
Ciò premesso, per la determinazione della soluzione della disequazione (3) si deve risolvere il sistema di seguito riportato: 1 2
⇒ +^
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
Si perviene, pertanto, alla determinazione dell’ insieme dei valori della variabile x che soddisfano la disequazione ( 3 ) di partenza; infatti si ottiene: 2 0 2 1 0
⇒ > > −^ −
x^ x xx ⇒^ x > −
ESERCIZIO 13 : Si desidera risolvere la disequazione seguente : 2 1
x > x
Osserviamo che, in base alla definizione di valore assoluto, sono immediate le seguenti posizioni:
∀ −
^
^ ≥^ ⇒^
x x > ≠ − x
x x
x x
x x
: 2 ( x ) 1
^
^ <^ ⇒^
x x < − x
x x
x x
x x
x x
:^2
dalla prima disequazione, ritenuto x ≠≠≠≠ −−−− 1 , si ottiene: 2 1
− > ⇒ −^ −^ +
> ⇒ −^ −^ −
x > x
x x x
x x x
( ) (^) , ovvero:
1 2 1
− > ⇒ − +^ >>
x x
x x
x x
x x L’ insieme dei valori della variabile x che soddisfano la prima disequazione è rappresentato dalla scrittura seguente: − 1 < x < 1 2 Dalla seconda disequazione, ritenuto sempre x ≠≠≠≠ −−−− 1 , si ottiene: 2 1
+ < ⇒ −^ +^ +
x < x
x x x x Atteso che il numeratore è sempre positivo, dovrà essere verificato che (1 + x) < 0 , cioè: x < (^) −−−− 1
