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CALCOLO REAZIONI VINCOLARI - ARCHI A TRE CERNIERE E STRUTTURE CON āANELLI CHIUSIā
Obiettivo della dispensa ĆØ mostrare la scelta corretta delle equazioni per il calcolo delle reazioni vincolari in strutture con anelli chiusi, cioĆØ strutture le aste sono collegate in modo da descrivere uno piĆ¹ percorsi connessi (percorsi ad anello chiuso); il caso opposto ĆØ quello di strutture aperte āad alberoā; con opportune aperture, cioĆØ sezioni, le strutture ad anello chiuso si trasformano in strutture ad albero. Le aperture perĆ² richiedono il calcolo di incognite aggiuntive, cioĆØ le azioni interne nei punti in cui si fa la sezione.
Il calcolo delle azioni interne richiede di avere strutture āaperteā, in modo da percorrere i diversi campi di struttura scrivendo le equazioni parziali per trovare momento, taglio ed azione assiale. Il lavoro proposto in questa dispensa ĆØ quindi il punto di partenza per il calcolo delle azioni interne.
Lāobiettivo finale ĆØ il PROGETTO delle aste, basato sulle azioni interne (nello sviluppo dei corsi di scienza e tecnica delle costruzioni)
Si parte da alcuni casi SENZA ANELLI CHIUSI di ARCO A 3 CERNIERE (vedi dispensa 4 sulla Cinematica per la definizione degli archi a tre cerniere)
Esempio 1 - Arco 3 Cerniere
H eHA B passano per (A) e per (B) quindi scrivendoļ„ M( B) ļ½ 0
Ho VA COME UNICA INCOGNITA
Se scrivo ļ„ M (^) ( A) ļ½ 0 VB UNICA INCOGNITA
(1 eq. GLOBALE)
( B) 0 A 21 0 A 2 ļ„ M ļ½ ļV ļ ļ«l pl l^ ļ½ ļ V ļ½pl
(2 eq.GLOBALE)
0 0 A B 2 B 2 ļ„ M ļ½ ļ« V l ļ pl l^ ļ½ ļ V ļ½pl
N.B. ARCO A 3 CERNIERE HA 4 INCOGNITE: SERVONO 4 EQUAZIONI
(3 Eq. GLOBALE)
0 0 0
x A B A B y
F H H H H
F
SERVE questa ultima equazione?
IN QUESTO CASO NON SERVE PERCHE HO USATO UN SECONDO EQUILIBRIO AI MOMENTI GLOBALI
VA ļ« VB ļ pl ļ½ 0 VA ļ« VB ļ½pl
NON CI DA (IN QUESTO CASO) INFORMAZIONI NUOVE
REGOLA GENERALE (Vvalida per ogni tipo di struttura isostatica): BISOGNA SCRIVERE 3 EQUAZIONI GLOBALI CHE CORRISPONDONO A 3 POSSIBILITAā MOTO DEL SISTEMA CONSIDERATO COME CORPO RIGIDO (POSTULATO DELLāIRRIGIDIMENTO):
2TRASLAZIONI,1 ROTAZIONE; oppure 1 TRASLAZIONE, 2 ROTAZIONI, oppure 3 ROTAZIONI
Poi dovendo calcolare un numero maggiore di tre incognite, devo scrivere delle ulteriori equazioni parziali (considerando mobilitĆ interne)
SE SCRIVO 4 o piu globali non risolvo il problema: le equazioni dopo la terza risulteranno combinazioni lineari delle precedenti, e non permettono il calcolo delle incongite
4Ā° equazione (PARZIALE CB)
( )
2 2
2 2
CBC
B B
B
B
B B
M
V l^ H l^ pl^ l pl l (^) H l pl l
pl (^) H l pl
H l pl^ pl^ H pl
(CERCARE DI SCRIVERE EQUAZIONI CON UNA SOLA INCOGNITA ,AIUTA A RISOLVERE LāESERCIZIO)
Esempio 2 - ARCO 3 Cerniere con le cerniere a terra a quote diverse
- ļ„ MAļ½ 0 HO COME INGOGNITA SIA VB che HB
- ļ„ MBļ½ 0 HO COME INCOGNITA Va e Ha
sistema di due equazioni che non mi risolve nessuna delle incognite
Nota: il tipo di struttura ĆØ un poā piĆ¹ complicata da risolvere, perchĆ© entrambe le reazioni di una cerniera a terra hanno braccio diverso da zero rispetto allāaltra cerniera, scrivendo le equazioni dei punti 1) e 2) sopra.
3Ā° equazione GLOBALE
3)ļ„ Fy ļ½ 0 VA ļ«V (^) B ļ½pl
4Ā° equazione PARZIALE
Si considera uno dei due semi-archi, ad esempio AC:
C A A 2 4
ļ„ M ļ½ H ļ ļl V ļ ļ«l p^ l lļ½
ORA RISOLVO INSIEME EQUAZIONE (1) e (4) PERCHE HANNO LE STESSE INCOGNITE
2 2 VA ļ½ H^ Aļ«pl
3)^8
A A V ļ½ H ļ«^ pl
3 3 2 8 2 2 8 4
H (^) A (^) ļ H (^) A ļ½ pl (^) ļ plļ ļ« HAļ½ ļ« Pl H (^) Aļ½ pl
(4)^3
A 4 8 8
V ļ½ Pl ļ« plļ½ Pl
3)^7
A B B A 8 8
V ļ« V ļ½ pl V ļ½ Pl ļV ļ½ Pl ļ Pl ļ½ Pl
2) 2 ( 2 8 )^3
B 2 B 2 B B 8 8 4
H l^ ļ½ V l ļ Pll ļ H ļ½ V ļ P ļ½ ļ P ļ½ ļ P
ANELLO CHIUSO
Esempio 1
OBIETTIVO: CALCOLO REAZIONI VINCOLARI
5 REAZIONI VINCOLARI (3 INCASTRO+ 2 CERNIERA)
ANALISI CINEMATICA
4 ASTE: 3GDL X 4 = 12 GDL
INCASTRO A TERRA 3GDV +CERNIERA A TERRA 2GDV+3 CERNIERE INTERNE (che collegano 2ASTE) 3X =6 +CARRELLO INTERNO 1 GDV= 3+2+6+1=12 GDL
12 GDV=12 GDL STRUTTURA ISOSTATICA
In questa struttura non ho mobilita parziali
Ho 5 incognite : posso scrivere 3 eq,globali ma nessuna parziale (con struttura chiusa)
La soluzione eā āaprireā la struttura , devo separare ma EVIDENZIANDO UNA NUOVA INCOGNITA
FEDB ora che ho staccato puĆ² ruotare rispetto a D, avendo in quel punto una cerniera interna (ho un tratto di struttura, staccato in F dallāaltra metĆ struttura a sinistra, per cui posso scrivere equilibrio alla rotazione rispetto a D)
ļ„ MDFEDB ļ½ 0
V e HB B INCOGNITE
VB passa per D quindi UNICA INCOGNITAHB
(ĆØ un esempio di scelta opportuna della equazione, che contiene una solo incongita, che viene calcolata direttamente)
Poi per calcolare VBprendo un pezzo piu grande e faccioļ„M( C)
FEDBC
ļ„ M( C) ļ½ 0
Conosco H (^) B , VF Manca solo la incognita VB
Ora uniche incognite VA H (^) A MA con le 3 EQUAZIONI GLOBALI trovo la soluzione finale EQ. GLOBALI ļ„ M (^) A ļ½ 0 TROVO MA ļ„ Fy ļ½ 0 TROVO VA ļ„ Fx ļ½ 0 TROVO HA
AZIONI INTERNE
Vengono mostrate schematicamente le scelte dei campi per il calcolo delle azioni interne
(CAMPO EF)
(CAMPO FC)
(CAMPO ED)
CAMPO AC Al piede cāĆØ campo AD, salendo dal basso
(CAMPO CD)
(errata corrige, il punto C in realtĆ ĆØ D in figura) POI PER LE VERIFICHE CERCA EQUILIBRI NEI NODI
CAMPO BD Al piede cāĆØ campo BD, salendo dal basso
Segnaliamo un possibile errore concettuale:
NON POSSO FARE ļ„ M( F) ļ½ 0 di FA perche biella in C la tiene ferma e non puo ruotare rispetto ad F.
Ho incastro in A.
H lB ļ½ 0 HBļ½ 0
Non ho altri punti rispetto ai quali trovo una sola incognita con braccio diverso da zero. Allora ĆØ necessario aprire la struttura: apro in (E)
Nel punto E ho una cerniera interna, che blocca le traslazioni, ed ho quindi due forze interne incongnite
Ć necessario fare attenzione ai versi delle incongite introdotte: posso evidenziarli sulla trave orizzontale con i versi dellāazione assiale e del taglio convenzionali; di conseguenza applicando il principio di azione e reazione sul pilastro hanno versi opposti (utilizzo gli stessi simboli, con verso opposto).
Eq. PARZIALE per lāasta EG (ĆØ un equilibrio parziale reso possibile dallāapertura)
EG G E E ļ„ M ļ½ ļ V l ļ pl l^ ļ½ V ļ½pl
EG PUO RUOTARE RISPETTO A (G)
Eq. PARZIALE EGD PARZIALE EGD PUO RUOTARE RISPETTO A D I (^ )^ 0 trovo incognita
EGDD E E E
M N
V NOTA N
POI PRENDO IL PEZZO CHE VA FINO ALLA CERNIERA IN C
EGDCB (devo includere DB che ĆØ collegato alla parte che considero)
ļ„ M( C) ļ½ 0
VB ĆØ LāUNICA INCOGNITA A QUESTO PUNTO POSSO SCRIVERE LE 3 EQUAZIONI GLOBALI PER TROVARE LE 3 INCOGNITE IN A ( ) 0 0
A A y A
M TROVO M
F TROVO V
ļ„ Fx ļ½ 0 TROVO HA
APRO IN D
Uso convenzione di azioni interne per disegnare le incognite sullāestremitĆ dellāasta orizzontale
<- N -> ļ (V )ļÆ
Sullāasta verticale le riporto uguali ed opposte.
ļ„ M( C) CDļ½ 0
(1a Equazione)
ļ„ M( C) ļ½ 0 TROVO VD: D 2 V ļ½ ļ^ pl
DA ADESSO IN POI NON RIESCO A SCRIVERE EQUAZIONI CON UNA SOLA INCOGNITA QUINDI DEVO SCRIVERE DEI SISTEMI
(2a Equazione)
ACDE
ļ„ MEļ½ 0 2 INCOGNITE HA e ND NON HA BRACCIO VA
(3a Equazione)
BDG
Errata corrige (solo disegno impreciso) la cerniera in D non ĆØ passante, lāasta verticale ĆØ continua in D
ļ„ M( G) ļ½ 0 INCOGNITE HB, e ND mentre VB non ha braccio
Poi scrivo EQUAZIONE GLOBALE
(4a Equazione) ļ„ Fxļ½ 0 con INCOGNITE HA e HB
(5a Equazione) GLOBALE
ļ„ M (^) ( A) ļ½ 0 trovo VB
(6a Equazione) GLOBALE
ļ„ M( (^) B) ļ½ 0 trovo VA
N.B
AVEVO 4 INCOGNITE APRENDO HO CREATO 2 NUOVE INCOGNITE QUINDI MI SERVONO 6 EQUAZIONI.
