Statica Strutture Funicolari, Dispense di Statica

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STRUTTURE FUNICOLARI

STATICA DEGLI ARCHI

Prof. D. Coronelli, Arch. M.C. Giangregorio

STATICA DELL’ARCO – ASPETTI DI BASE

L’arco è un elemento strutturale che trasferisce i carichi ai propri appoggi per mezzo di un’azione funicolare sviluppata da forze di compressione interne all’arco.

Affrontiamo lo studio di un arco con muro soprastante e in appoggio su due pilastri. Per semplicità si affronta lo studio di un arco a tutto sesto, descritto da linee di intradosso ed estradosso circolari.

L’arco viene diviso in blocchi ideali (^) secondo una geometria radiale. La muratura soprastante viene divisa in porzioni ciascuna gravante su uno dei blocchi. La forza risultante del peso di ciascuna porzione di muro viene indicata con Pi (i=1,…,n).

Oltre al carico gravante sul blocco, ciascun blocco i-esimo ha un proprio peso gi, agente nel baricentro

Per ciascun blocco va quindi calcolata la risultante Fi delle due forze Pi e gi, di intensità Fi = Pi + gi, e direzione verticale con retta di azione da valutare col teorema di Varignon (note rette di azione di gi e Pi, con baricentri del blocco e della porzione di muratura soprastante).

R = F 1 +F 2 +…+ Fi+…+Fn

I carichi Fi sommati danno una risultante R, che in condizioni di simmetria di carichi e geometria agisce sull’asse di simmetria centrale.

Tale risultante viene equilibrata da reazioni vincolari verticali agli appoggi, uguali in intensità R/2 e distanza dall’asse di simmetria.

Si noti però che la precisa posizione del punto di applicazione di tali reazioni non è nota a priori. Per la natura della muratura (che può trasferire solo forze interne di compressione o nulle in ciascun punto della sezione - si veda la dispensa 2 in merito) la risultante cadrà all’interno della sezione dell’arco agli appoggi.

È necessario ora comprendere se le reazioni agenti agli estremi dell’arco comprendono anche una componente orizzontale H, detta la spinta dell’arco. Intuitivamente essa è presente, ma come determinarla sulla base di principi statici?

Si considera metà arco, su cui di conseguenza agisce metà de carico, R/2, bilanciato dalla reazione all’appoggio di pare intensità R/2. Tali forze sono forze esterne, essendo carico e reazione vincolare. La retta di azione della risultante di metà carico è nota, essendo note le forze Fi con le loro rette di azione (attraverso il teorema di Varignon): fissata anche la posizione della reazione V= R/2, tale retta si troverà ad una distanza determinata, che chiamiamo b. Esse determinano una coppia di forze uguali con braccio e quindi momento non nullo, pari a R/2 x b.

Abbiamo assunto che la spinta C (=H) in chiave sia orizzontale. Data la simmetria del sistema non avrebbe senso che essa fosse inclinata, poiché si avrebbe metà struttura con spinta in chiave con una componente diretta verso il basso e metà struttura con spinta in chiave con una componente verso l’alto. Perché con geometria e carichi simmetrici dovrebbe esserci questa dissimmetria?

Anche per la spinta in chiave la posizione esatta nella sezione dell’arco non è nota a priori; sappiamo che deve agire all’interno della sezione. Supponendo di fissare tale eccentricità eC in chiave; tale valore assieme ad eA la eccentricità all’appoggio, costituisce un insieme di due parametri da determinare, o arbitrariamente come fatto sinora, o sulla base di un criterio razionale. Nel seguito verrà proposto un criterio basato sull’osservazione sperimentale.

Vengono qui riassunti gli equilibri globale dell’arco e di metà arco, con le forze esterne ed interne agenti.

Nello studio della statica, abbiamo visto la necessità di fissare i valori delle eccentricità eA all’appoggio ed eC in chiave. È necessario scegliere queste quantità per la soluzione statica. Si noti che essendo le metà dell’arco due, in realtà le eccentricità da scegliere sono tre, una in chiave e due (uguali fra di loro in valore assoluto) negli appoggi destro e sinistro.

Primo concio (chiave)

NB: nel disegno le rette di azione di R 1 e C 2 devono essere perfettamente coincidenti

Indichiamo con la lettera C le forze di compressione agenti sulle facce dei conci. La prima è C 1 = H Il concio 1 è sottoposto alle seguenti forze note: C 1 =H e della forza F 1. Esse si incontrano in un punto e si sommano. Dalla regola del parallelogrammo otteniamo la loro somma: R 1 = H + F 1 (somma vettoriale)

R 1 = risultante di C 1 =H e F 1.

Ora è necessario imporre l’equilibrio, che è garantito dalla terza forza agente sulla faccia successiva a quella considerata per C 1 : questa forza è C 2 , è la forza che nasce sulla faccia di sinistra del concio.

C 2 = equilibrante, uguale ed opposta a R 1 , necessaria per l’equilibrio

Sopra abbiamo disegnato C 2 agente sul blocco 1. Per azione e reazione nel seguito sul blocco successivo la rappresentiamo uguale e contraria agente sul blocco 2. La retta di azione di C 2 all’intersezione con la seconda faccia, determina il punto di applicazione della forza C 2 su quella faccia.

Riassumendo: il concio è sottoposto a tre forze, due forze di compressione interne sulle due sezioni dell’arco, C 1 e C 2 ed una forza esterna dai carichi applicati F 1. All’inizio sono note una forza di compressione su una faccia C 1 (=H), ed il carico agente F 1. La forza di compressione C 2 agente sulla seconda faccia si ricava con l’equilibrio del concio Valgono le relazioni:

R 1 = C 1 + F 1 Somma delle forze note

R 1 = C 2 Equilibrio del concio, ricavo forza equilibrante incognita

Secondo concio

Procediamo a svolgere sul secondo concio le stesse operazioni fatte sul primo.

Sopra abbiamo disegnato C 2 agente sul blocco 1. Per azione e reazione nel seguito sul blocco successivo la rappresentiamo uguale e contraria agente sul blocco 2. Ll concio è sottoposto a tre forze, due forze di compressione interne sulle due sezioni dell’arco, C 2 e C 3 ed una forza esterna dai carichi applicati F 2.

All’inizio sono note una forza di compressione su una faccia C 2 , ed il carico agente F 2.

La forza di compressione C 3 agente sulla seconda faccia si ricava con l’equilibrio del concio.

La retta di azione di C 3 all’intersezione con la seconda faccia, determina il punto di applicazione della forza C 3 su quella faccia.

Valgono le relazioni:

R 2 = C 2 + F 2 Somma delle forze note

R 2 = C 3 Equilibrio del concio, ricavo equilibrante incognita C 3

Riassumendo: ciascun concio è sottoposto a tre forze, due forze di compressione interne sulle due sezioni dell’arco, ed una forza esterna dai carichi applicati. Ripetendo le operazioni per ogni concio si determinano le forze agenti sulle sue due facce, ed i loro punti di applicazione sulle due facce.

Per l’equilibrio, si noti che le tre forze agenti su ciascun blocco si incontrano in un punto. Questa è una proprietà generale del corpo rigido in equilibrio sotto l’azione di tre forze. Infatti se si sommano due forze delle tre agenti, la terza per dare equilibrio dovrà essere allineata ed opposta alla somma delle prime due. Questo comporta che passi per il punto di intersezione delle prime due. Quindi se un corpo è in equilibrio sotto l’azione di tre forze, esse sono concorrenti in un punto.

La conoscenza dei punti di applicazione delle forze Ci sulle facce dei blocchi permette di tracciare una linea che li collega, detta linea delle pressioni. Essa viene tracciata usando i punti di applicazione delle forze alle facce. Essa individua il percorso delle forze di compressione agenti all’interno dell’arco per equilibrare i carichi.

Secondo tale definizione, la linea delle pressioni è tangente a ciascuna forza di compressione sulle facce dei blocchi, e viene approssimata con dei segmenti che congiungono i punti di intersezione delle tre forze.

Scelta delle eccentricità in chiave ed agli appoggi

Come visto in precedenza, la statica dell’arco, e quindi i punti di partenza in chiave ed arrivo all’appoggio dipendono dalla scelta dell’eccentricità eC ed eA della forza di compressione.

Una scelta è possibile sulla base dell’osservazione sperimentale. Consideriamo il caso più frequente: l’arco simmetrico con carico simmetrico quando vengono rimose le centine (^) spinge sugli appoggi, è questo ne provoca un lieve cedimento, un “assestamento” degli appoggi con spostamento di questi punti verso l’esterno. La cinematica (gli spostamenti) che ne consegue porta l’arco a deformarsi anch’esso. Laddove questa deformazione provoca trazione si formano delle fessure, data la scarsa resistenza trazione della muratura. Nella sezione fessurata (vedi foto) è abbastanza ben individuabile una zona compressa dell’arco, spesso di dimensioni limitate: in tali punti passa la risultante delle compressioni, e di conseguenza viene determinata, con ragionevole approssimazione, la posizione della linea delle pressioni.

(^) l’arco viene costruito su delle centine aventi la forma dell’intradosso, che sono puntellate a sorreggere il peso dei blocchi gradualmente messi in opera. Al termine della costruzione si tolgono le centine

Fessurazione in chiave di un arco per assestamento degli appoggi

Fessurazione per cedimento non simmetrico di uno degli appoggi in verticale

Si riportano due esempi con dati diversi

Arco alto 0.5m

(linee tratteggiate = rette azione forze Fi = gi + Pi)

Arco alto 1m

(linee tratteggiate = rette azione forze Fi = gi + Pi)

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

0 2 4 6

linea pressioni baricentri blocchi

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

0 2 4 6

linea pressioni baricentri blocchi

Forma dell’arco e linea funicolare

La forma dell’arco deve essere adeguata al sistema dei carichi, poiché con una corretta configurazione la linea funicolare deve essere interna alla geometria dell’arco (si vedano i casi precedenti ed il primo qui sotto).

Carichi aggiuntivi non eccessivi su secondo e terzo blocco, con linea pressioni all’interno (arco stabile)

Qualora invece i carichi determinino una linea delle pressioni che esce dalla geometria dell’arco, si ha un arco non adatto a reggere quel sistema di carichi

Carichi aggiuntivi eccessivi su secondo e terzo blocco, con linea pressioni all’esterno (arco non stabile)

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

0 2 4 6

linea pressioni baricentri blocchi

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

0 2 4 6

linea pressioni baricentri blocchi

Analogia tra la linea delle pressioni dell’arco e la funicolare di trazione

I medesimi procedimenti usati per trovare a linea delle pressioni (funicolare di compressione) possono essere usati per trovare la funicolare di trazione. La forma delle due curve è identica, con una specchiatura rispetto ad un asse orizzontale, ed il cambio di sollecitazione da trazione a compressione.

(da M. Como, Statica delle Costruzioni Storiche in Muratura)

La formulazione di questo principio risale al 17° secolo:

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum (Robert Hooke, 1665)

Questo principio guida nel determinare la forma della linea delle pressioni, data una distribuzione di carico.

Questo procedimento fu utilizzato da Poleni per la verifica della stabilità della cupola di san Pietro (vedi dopo).

Arco a sesto acuto

In presenza di carico distribuito, la linea delle pressioni assomiglia a quella vista in precedenza, una linea curva, con tangente orizzontale in chiave

Data la forma dell’arco, la C=H in chiave deve essere nella parte bassa della sezione, affinché la linea delle pressioni sia interna all’arco.

In altri casi, i costruttori aggiungevano carico in chiave, in modo da avere una modifica della forma della linea delle pressioni, che viene a coincidere con la forma dell’arco