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STATICA fondamenti di meccanica strutturale
CAPITOLO 1 – problema statico
Del problema statico analizzeremo i due aspetti essenziali riguardanti le sollecitazioni esterne:
1. Valutare in che misura esse giungano “a terra” attraverso ai vincoli che ancorano la struttura
all’ambiente esterno. PROBLEMA ESTERNO
2. Valutare in che modo esse percorrano la struttura sollecitando in essa uno stato di
deformazione e di sforzo. PROBLEMA INTERNO PROBLEMA ESTERNO Quando è risolvibile a prescindere dall’analisi dello stato di deformazione e di sforzo, si risolve in
base a sole considerazioni di equilibrio. Si chiamano problemi isostatici ovvero si dice di sistema o
di materiale dotato di un numero di vincoli interni ed esterni pari a quello strettamente indispensabile per assicurarne la stabilità.
Invece si dice problema iperstatico quando non è risolvibile se non determinando anche lo stato di
deformazione e di sforzo. PROBLEMA INTERNO La struttura composta da elementi monodimensionali (tipicamente travi e pilastri) che sia isostatico
o meno, si valutano la risultante e il momento (rispetto al baricentro) e si dicono azioni interne.
CAPITOLO 2 – che cos’è la meccanica?
Descrive e predice la quiete o il moto di un qualunque sistema materiale nello spazio e nel tempo, senza considerare le caratteristiche fisiche del sistema stesso.
La descrizione del movimento consiste nel collocare nello spazio e nel tempo le diverse masse.
La predicibilità è possibile perché tra i corpi si esercitano delle azioni che sono responsabili della
variazione geometrica nel tempo e tali azioni si chiamano forze.
Le forze sono di due tipi: o Interne: sono le sollecitazioni che le masse di uno stesso sistema si scambiano fra di loro. o Esterne: sollecitazioni che altri corpi esterni al sistema esercitano su di esso. SPAZIO e TEMPO
Da un punto di vista matematico essi sono dei continui (aggregati senza soluzioni di continuità): in
ogni punto di tali continui ci permette di individuare un istante o una posizione qualora sia fissata un sistema di riferimento. Il tempo è monodimensionale e scegliere un sistema di riferimento significa fissare un’asse dei tempi con un’origine su di essa. Il tempo è omogeneo. Lo spazio è tridimensionale, occorre scegliere direzioni privilegiate ovvero la terna degli assi cartesiani ortogonali x,y,z con origine O. Ogni punto dello spazio è individuato da un vettore che
ha tre componenti del punto (es. v=Q-P individuando un verso). I versori, ovvero i vettori di
modulo unitario, costituiscono la base dello spazio vettoriale e si indicano come i, j, k. Le grandezze fondamentali nella meccanica classica sono lunghezza, tempo, massa. IL PUNTO MATERIALE
Le masse (con diverse forme geometriche e con deformabilità) formano i sistemi materiali.
All’interno di questo grande insieme distinguiamo: Corpi rigidi Sistema composti da elementi rigidi Continui deformabili
Ogni struttura sollecitata si deforma, anzi è proprio grazie alla sua deformabilità che ogni struttura “cerca” (se è idonea) di sopportare le sollecitazioni cui deve far fronte. Qualsiasi sistema materiale può considerarsi un aggregato di punti materiali; il punto materiale è un sistema materiale del quale non è importante distinguere le varie parti considerandolo un tutt’uno. La Terra si può considerare un punto materiale se studiata nel suo moto attorno al Sole, come anche un edificio è schematizzabile come un insieme di punti che rappresentano le masse dei vari piani, se interessa studiare le vibrazioni. Anche i continui sono aggregati di punti; i sistemi continui materiali quegli aggregati di materia infinitamente suddivisibili in volumetti sempre più piccoli. Tutti gli elementi strutturali e la struttura stessa possono essere assimilati a sistemi continui quando i materiali di cui sono costituiti sono quelli classici (acciaio, cemento armato, legno). Perciò la realtà fisica viene descritta da un modello matematico calcolate mediante equazioni.
LE FORZE - Quali sono le cause dei fenomeni meccanici? Chi sono i responsabili della quiete e
del moto? I corpi sono capaci di trasmettersi l’un l’altro delle sollecitazioni. Le azioni di corpi su altri corpi si
dicono forze. In qualunque oggetto, ogni parte di esso ha delle interazioni che le tengono legate
fra loro. Se si interrompesse la continuità dell’oggetto in esame verrebbero meno le interazioni.
Esse sono dette forze interne di connessione.
La forza gravitazionale è la sollecitazione che due masse qualunque m1 e m2 esercitano l’una sull’altra; essa coincide con il peso quando i corpi sono in prossimità della Terra. Le legge di gravità newtoniana è:
F12 = F21 = ℎ
𝑚 1. 𝑚 2 𝑟^2 h è il coefficiente di proporzionalità che si chiama costante di gravitazione universale L’enunciato fa riferimento a masse puntiformi. La forza gravitazionale ha un modulo direzione e
verso. Tutte le forze sono grandezze vettoriali.
FORZE CONCENTRATE E FORZE DISTRIBUITE – Come avviene la trasmissione? Punto di contatto – quando la massa da spostare o trascinare è abbastanza piccola che non necessita di una forza importante. Forze concentrate – quando la massa è molto pesante da spostare che la forza non sarebbe più rigorosamente puntuale. Ha un unico punto di applicazione. Forze distribuite – quando le forze vengono distribuite su di un corpo (mono-bi-tri-dimensionale) come l’attrazione gravitazionale del Sole sulla Terra oppure il vento che soffia su una vela di una barca. Ha più punti di applicazione, per semplificare si può spalmare su una linea, superficie o volume. Molti carichi strutturali sono carichi distribuiti. I VINCOLI I sistemi materiali si presentano quasi sempre ancorati all’ambiente esterno. Questi collegamenti del sistema all’ambiente esterno, che limitano a priori la mobilità del sistema, si dicono vincoli.
Riteniamo che i vincoli trasmettano forze al sistema, in ciò consiste il postulato delle reazioni
vincolari. Esempio il gancio che collega la cabina della funivia alla fune è un vincolo e la forza
dipenderà dal tipo di cabina e dal numero di persone. Le forze trasmesse dai vincoli si dicono
reazioni vincolari; sono forze che reagiscono a quel che vien loro richiesto, sono a priori incognite.
Le forze che limitano a priori la mobilità del corpo in esame si dicono forze attive.
Fra di esse le più importanti ci sono: la forza peso e la forza elastica. Sono anche dette forze conservative ovvero che compiendo un intero ciclo lavorativo, esse sono in grado di recuperare l’energia spesa. Forza peso Essa è dovuta all’attrazione gravitazionale che la Terra esercita sul corpo in esame. La forza peso è verticale discendente, cioè rivolta verso il centro della Terra.
F = mg il coefficiente hM/R 2 è l’accelerazione di gravità indicata con la g = 9,81m/sec2, dove R 2 è il raggio della
Terra.
2. Seconda legge o legge fondamentale della Dinamica: un punto materiale sotto l’azione di
una forza acquista un’accelerazione a proporzionale a F e il coefficiente di proporzionalità
m si dice massa del punto. La formula è: F = m a. Associa alla presenza di forze la
variazione del moto e questa equazione dà la possibilità di predire quale sarà il moto. Quindi se viene data una spinta al punto materiale [1] si muove e l’accelerazione sarà proporzionale alla spinta che non gli diamo e inversamente proporzionale alla sua massa.
- La terza legge o principio di azione e reazione: due punti interagenti meccanicamente esercitano l’uno sull’altro forze opposte, e cioè uguali in modulo e direzione, contrarie in verso. Se vogliamo che un punto materiale [1] sia in equilibrio sotto l’azione di una forza dobbiamo applicarne un’altra uguale e contraria. EQUILIBRIO DEL PUNTO MATERIALE È importante sottolineare che queste tre leggi governano l’equilibrio. La prima analisi strutturale è la verifica dell’equilibrio, pertanto se su un sistema strutturale si hanno più forze, esse devono
essere equilibrate. La loro somma deve corrispondere a 0 (forze attive). Quindi, condizione
necessaria e sufficiente per l’equilibrio del punto materiale libero è che sia nulla la risultante di
tutte le forze agenti sul punto: R = 0. Se così non fosse, bisogna introdurre dei vincoli che
bloccheranno il movimento delle strutture riportando l’equilibrio (bilancio forze attive e reattive uguale a 0).
Quindi si dice in equilibrio il corpo le cui forze attive e reattive si annullano e la somma delle forze
applicate deve essere 0.
La somma di vettori può essere eseguita in forma analitica o geometrica ed è chiamata RISULTANTE. Per risolverla geometricamente di solito si usa il poligono di Varignon:
- Si disegnino tutte le forze che agiscono sul corpo
- Si disegnino le medesime forze una in fila all’altra
- La corda congiungente l’inizio e la fine è la risultante. Direzione, modulo e verso sono descritte da quest’ultima La risultante è quindi il sistema equivalente che sostituisce l’insieme di forze iniziali. La somma vettoriale diventa algebrica quando i vettori hanno tutti la stessa direzione; per definire il
verso in questo caso si adotta un riferimento di positività: - > + <- -
In questo caso la risultante è la somma dei moduli: R = - 3F+4F+2F
FORMULA DELL’EQUILIBRIO {
Oppure {
CAPITOLO 3 – Corpo rigido
Il corpo rigido è un insieme infinito di punti materiali. È un’astrazione matematica atta a
rappresentare un corpo indeformabile. Alcuni corpi rigidi creano delle strutture. Esso, a differenza del punto materiale, può sia traslare che rotolare. Un corpo rigido fermo rimane in equilibrio quando:
- La somma vettoriale delle forze applicate è uguale a 0
- La somma dei momenti delle forze, calcolate rispetto un punto qualsiasi, è uguale a 0
È importante precisare cosa sia il momento di una forza rispetto a un punto, a un asse. Viene
chiamato anche momento torcente ed è una grandezza inerente alla Dinamica di rotazione; per definizione è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza e la forza stessa.: 𝑀⃗⃗ = 𝑟 ⋅ 𝐹 L’unità di misura è Nm. Riassumendo il momento di una forza esprime l’effetto di rotazione di una forza che agisce su un corpo rigido. LE OPERAZIONI INVARIANTIVE Permettono di semplificare la somma vettoriale senza alterare la meccanica del sistema. Esse sono due:
- Composizione : è possibile sostituire a più forze applicate in un punto la loro risultante R applicata nello stesso punto solo se quest’ultima è applicata sull’asse centrale del sistema stesso.
- Scomposizione : scorrimento di una forza lungo la sua retta d’azione (direzione). La forza,
quindi, può essere scomposta in due forze chiamate componenti. L’invarianza riguarda
l’equilibrio o lo stato di moto di un corpo rigido. SCOMPOSIZIONE DI FORZE Poiché conosciamo la direzione di F a e F b possiamo ricavare gli angoli α β ƴ. Applicando poi il teorema dei seni è possibile individuare F a e F b: 𝐹 𝑠ⅇ𝑛𝛾
𝐹 𝑆ⅇ𝑛𝛼
𝐹 𝑠ⅇ𝑛𝛽
𝐹 𝑠ⅇ𝑛𝛾
𝐹 𝑠ⅇ𝑛𝛾
Oppure 𝐹𝑎 = 𝐹 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑏 = 𝐹 ⋅ 𝑠ⅇ𝑛𝛼 POLIGONO FUNICOLARE Il secondo metodo è il poligono funicolare tanto caro a Gaudì per le sue costruzioni e a Mery per i calcoli matematici.
- Si mettono in fila tutte le forze agenti sul corpo
Quali dispositivi mantengono in equilibrio il corpo? Ovviamente i vincoli. Essi possono essere: Olonomi : bloccano completamente uno spostamento. Anolonomi : impediscono i movimenti in un modo ma lo consentono in un altro modo. Un ulteriore divisione dei vincoli è: Lisci Scabri Perfetti Cedevoli Bilateri Unilateri I vincoli creano dei gradi di libertà:
- Vincoli semplici: bloccano uno spostamento introducono una reazione vincolare (1 grado di libertà)
- Vincoli doppi: bloccano due spostamenti e introducono due reazioni vincolari (2 gradi di libertà)
- Vincoli tripli: bloccano tre spostamenti e introducono tre reazioni vincolari ( 3 gradi di libertà) Struttura ipostatica: grado di libertà > grado di vincoli Struttura isostatica: grado di libertà = grado di vincoli Struttura iperstatica: grado di libertà < grado di vincoli IL CARICO DISTRIBUITO PER UNITA’ DI SUPERFICIE q = densità di carico q=Q/A Q = carico totale Q=qxA A = area di superficie p = densità di carico per lunghezza p=P/L P = carico totale P=pxL L = lunghezza ps = densità di carico per unità di volume ps=R/V R = peso totale R=psxV V = volume
