Statistica Correlazione, Slide di Statistica

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Analisi bidimensionali

• Correlazione legame lineare tra due

variabili quantitative

• Cograduazione legame tra variabili

ordinali

• Associazione legame tra variabili

qualitative nominali

RELAZIONI TRA 2 FENOMENI

QUANTITATIVI

Vi è una relazione lineare tra le due variabili oggetto di studio? CORRELAZIONE Di quanto variano i valori d’una variabile quando cambiano i valori dell’altra? REGRESSIONE

DIAGRAMMA DI DISPERSIONE p.

(SCATTER)

Diagramma di dispersione in termini di

scostamenti p.

• COV(X,Y) >0 RELAZIONE LINEARE

DIRETTA

• COV(X,Y) <0 RELAZIONE LINEARE

INVERSA

• COV(X,Y) =0 X, Y INCORRELATE

Proprietà

• È un indice simmetrico, cioè COV(X,Y) = COV(Y,X)
• COV(X, X) = VAR(X)
• Gode della proprietà di equivarianza in scala: COV(bX + a, dY + c) = b d COV(X,Y)

Il coefficiente di correlazione

• La covarianza risente dell’unità di misura e

dell’ordine di grandezza dei due fenomeni

originari e assume valori in un intervallo di

interpretazione non immediata

• Coefficiente di correlazione covarianza

calcolata sugli scostamenti standardizzati

1 2 2 1 1

n i i i xy n n i i i i

x y

COV X Y

r

VAR X VAR Y

x y

  



^ 

n i y i y x i x xy

x M y^ M

n

r

1

1 ( )(^ )

X Y

COV X Y

r

xy  

Media aritmetica dei prodotti degli scostamenti standardizzati

• Fig. 7.3 pag

(continua) proprietà

3) r

xx

4) r

xy

è invariante in senso forte per

trasformazioni lineari crescenti di una o

entrambe le variabili

se si cambia l’origine del sistema di

misurazione e/o l’unità di misura in cui sono

espresse le variabili, il valore del coefficiente di

correlazione non varia.

5) Se X e Y sono indipendenti (non mostrano

nessun tipo di legame) allora r

xy

=0, ma non

vale il viceversa

Significato della correlazione

L’esistenza di una correlazione elevata

non implica una relazione causa-effetto

tra le due variabili. Infatti, un valore di r

xy

circa = +1 (oppure = – 1) può manifestarsi:

• quando Y dipende effettivamente da X o

viceversa; ad es. spesa per consumi e

reddito delle famiglie;

Significato della correlazione (continua)

• quando X ed Y dipendono da una terza variabile Z o da un complesso di altre variabili; ad es. relazione tra i voti in Statistica e Matematica Generale  dipende dall’attitudine individuale per le materie quantitative, dal numero di ore dedicate allo studio, ecc …;
• quando tra X ed Y vi è una semplice concordanza (o discordanza) di andamento, senza che esista un nesso logico tra le stesse. In tale caso si dice che la correlazione è spuria.  es. : trend comune a due serie storiche

Esempio 1 (correlazione spuria)

X = PREZZI (in euro)

Y = QUANTITA’ VENDUTE (in n. di pezzi)

Anni X Y 2013 1,50 200 2014 1,68 208 2015 1,78 229 2016 1,96 243 2017 2,25 245 2018 2,43 265 2019 2,60 288

Diagramma di dispersione sui livelli 190 210 230 250 270 290 1,4 1,9 2,4 2, Y X