Statistica Interpolazione, Slide di Statistica

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L’INTERPOLAZIONE DI UNA

SERIE STORICA

INTERPOLAZIONE  adattamento ai valori osservati di una opportuna funzione che descrive l’evoluzione temporale del fenomeno considerato

STIMA DEL TREND

ESEMPIO (vendite pag. 269)

anni t yt 2009 1 50496 2010 2 52396 2011 3 55058 2012 4 56550 2013 5 56275 2014 6 58138 2015 7 59485 2016 8 61188 2017 9 63989 2018 10 66505

Regressione in cui:

• variabile dipendente : fenomeno di cui si stima il trend ( Y )
• variabile esplicativa : tempo  successione convenzionale: t = 1; t = 2; … t = T

 Tempi Valori di Y 1 y 1 … … t yt … … T yT

Funzione interpolante lineare: y ˆ t  a  bt

Stima parametri: metodo dei minimi

quadrati

Interpretazione parametri

• a = valore teorico del fenomeno per t=0 (tempo precedente al primo considerato)
• b = variazione teorica media da un tempo al successivo (variazione assoluta di ammontare costante pari a b)

2

T t ( t )

y t t ty a t t

T t ( t )

T t y t y

b t t

ESEMPIO (vendite pag. 269)

anni t yt ŷ t 2009 1 50.496 50.738, 2010 2 52.396 52.353, 2011 3 55.058 53.969, 2012 4 56.550 55.584, 2013 5 56.275 57.200, 2014 6 58.138 58.815, 2015 7 59.485 60.431, 2016 8 61.188 62.046, 2017 9 63.989 63.662, 2018 10 66.505 65.277,

a = 49. b = 1.615,

Funzione interpolante ŷ t = 49.123 + 1.615,45 t interpretazione

49.123 + 1.615,45 = 50.738, 49.123 + 1.615,45 · 2 = 52.353,

ŷ t = 49.123 + 1.615,45 t

Condizioni per la validità di tale proiezione:

•  elevato
• mantenimento nel futuro delle condizioni

che hanno determinato l’andamento

passato  funz. interpolante lineare:

variazioni di ammontare costante b

Significato della proiezione

I valori futuri stimati per estrapolazione dovranno essere correttamente intesi come valutazioni non di ciò che accadrà , ma di ciò che dovrebbe accadere , qualora si manifestassero anche in futuro le condizioni che hanno determinato la precedente evoluzione del fenomeno.

grafico

2000

2200

2400

2600

2800

3000

3200

2017 2018 2019

disoccupati

t

2 possibili soluzioni:

• Scala dei tempi trimestrale  t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ŷt = 3067,73 – 50,64 t

Interpretazione

• Scala dei tempi mensile  t = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 22, 25, 28, 31 ŷt = 3033,97 - 16,88 t

Interpretazione

proiezione

Proiezione I trimestre 2020

• Scala trimestrale ( t = 13)
• ŷt = 3067,73 – 50,64 ·13 = 2409
• Scala mensile ( t = 37)

ŷt = 3033,97 - 16,88 · 37 = 2409

Attendibile ??

Ulteriori funzioni interpolanti

• Funzione esponenziale
• Funzione di potenza

Come può essere linearizzata? f(t) = a  bt

log f(t) = log a + t log b g(t) = log f(t)  = log a  = log b

g(t) =  +  t

Diagramma cartesiano semilogaritmico

a = exp(  ) b = exp(  )