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1. Date due variabile X e Y con medie aritmetiche px = 3 e joe = A, varianze o° = 100.60$ = 100 BI cpr Z=X-Y 2. Per la distribuzione congiunta BI T_Tw 210 3 000 4 00 5 100 6 100 700 8 100 9 00 10_0.00 il grado di dipendenza fra le variabili X e Y è O il minimo possibile O strettamente superiore al minimo e strettamente inferiore al massimo possibile O esuttamente intermedio (1/2) tra îl minimo e il massimo possibile Y il massimo possibile 3. Per una distribuzione bivariata (X,Y) la quantità BI O il coefficiente di determinazione (1) © ta covarianza (0%,y) O il coeffcionte della regressione di Y su X (9) Y il coefficiente di correlazione lineare (xy) Foregasting the election rom he economy Data and linear Mt meant pra và cr nce pr ve sere Average reco gourin person income 4 Ava mon ron grsoaincome La figura (da: Gelman e Vehtari, 2024) illustra, per le tornate elettorali presidenziali statunitensi tra il 1948 e il 2020, la relazione tra il risultato elettorale del presidente în carica (Y) e la crescita del Prodotto Interno Lordo (PIL) nel trimestre precedente il voto (x). O per una riduzione percentuale del PIL di 28 punti, il risultato elettorale del presidente in carica si riduce di 40,6 centesimi di punto percentuale O per un incremento percentuale unitario del PIL, il risultato clettorale del presidente in carica riduce di 28 punti percentuali O per un ineremento percentuale unitario del PIL, il risultato elettorale del presidente in carica si riduce di 49,6 decimi di punto percentuale Y per una riduzione percentuale unitaria del PIL, il risultato elettorale del pres- idente in carica si riduce di 2,8 punti percentuali 5. Quale di queste proprietà non caratterizza la funzione di ripartizione di una variabile casuale O £(2) tende a 0 quando 7 tende a meno infinito O 21 < 12 > F(x1) < F(22) O (2) tende a 1 quando tende a infinito Y simmetria 6. La distribuzione congiunta (X,Y) la componenti indipendenti se e solo se per qualsiasi coppia (2,1)), indicando con n,; le frequenze assolute con n, © n; le frequenze assolute delle rispettive marginali e con n la dimensione della popolazione: O ny O ny O ny Vr 7. Quale delle seguenti non è una proprietà della media aritmetica: © aninimizzazione della somma degli scarti (baricentro): Y7.(ri — pi) =0 O linearità: se X ha media aritmetica yi, allora a + 2X ha media aritmetica a + Ap: © minimizzazione della somma degli scarti quadratici: Y.(z; — n)? = miny (zi — 9)? v ione della degli scarti q1 ici: T,(ri— 1)? = max, V.le ui; /m DI 1 Date due variabile X e Y com medie aritmetiche pix — 3 e py — d, varianze n° _ 100 e 0} — We 5 per ZZA I Qoz-80 Que _rai vo = 100 2. Per la distribuzione congiunta 11 grado di dipenconza fra e variabili X e Y è le) O strettamente superiore al minimo e strettamente inferiore al massimo possible © csattamonte intermedio (1/2) tra il minimo e i massimo possibile yi massimo possibile sinimo possibile ATI corffiriente di correlazione lineare p è una misura del legame linesse sra due varinbili quantiraziva. Quale delle segnenti affermazioni è vera? O par = 03 Xe Y indipendenti QX è Y iudipeniiati > pyy = 0 Qusssi VX 0 Y indipendenti > per —0 Farecasting ho olection from the economy Data and linoar H su 5 9 sé ms $ i FA sen FI 1 Tali E dra il 1948 e 1 AP, la relazione era il risultato elettorale del preserie în carica (Y) © la crescita del Proslotto luterno Lordo (PIL) ul iimstre procadente il voso LÌ O per una riduzione percentuale del PIL dì 2.8 put, risultato elettorale de presidente in carica si riduce di 49,6 centesimi di punto percentuale 0 per un incremento percersuale unitario del PIL. il risultato elettorale del presidente in carica riduce di 2,5 pit percontunlì @ pr ut incanto peroviinale itazio del PIL: il risultato colturale del presidente in carica si riduce di 49,6 decimi di punto percentuale tato elettarale del pres Quale di queste proprietà non caratterizza la funzione di ripartizione di una variabile casuale O Fia) tende a 0 quando 2 tende a mero infinito Q a
Fia) < Ft) O FIG) tende a 1 quando x tende a infinite V simmetria 6. La distribuzione congiunta (X,Y} ha componenti insipententi so © solo so per qualsiasi coppia (r:wy;), indicando con n,, lc frequenze assolute con n, e n, le frequenze assolute delle rispettive marginali e con n la dimezisione della popolizione: O rory Que Qry=my VI tap — minz fm 7. Quale delle seguenti non è une proprietà della media aritmetica: O rninimizzazione della somma degli scarti (baricentro): D, (21 — 4) = CO Lieilà: so A lia odia aritumetica pu, illora + IX ha ssd acilumelica «+ Gp 19° = miny Dr; — 0)? v/ massimizzazione della somma degli scarti quadratici: (ri 4° — max, (cx d © minimizzazione cella somma degli scarti quadratiri: D(c, (a) BI (DÌ n) Bi n) 6. Si consideri la distribuzione congiunta (X,Y), con X numerica continua e Y' categorica con E modal- ità. Indicando con 02,,,, la varianza di X nei gruppi (‘intra'), ovvero la somma delle varianza delle & distribuzioni condizionate (X|Y = î),i = 1...k e con 02,,, la varianza tra i gruppi, ovvero la varianza delle & medie condizionate: Ok = inter intra O 2% = inter Sintra O 2% = inter — Sintra VS = Tinter + Ifaira 7. Una variabile X ha media aritmetica px = —2 e varianza a? = 2. Sia Z = (X — px)/ox. Perla trasformazione lineare Y = 2+ 2/2 O pr =0cj=4 O prof = 1/2 O pr bop = 1/4 vw pr = 20 = 1/4 
