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1 Il metodo delta
Siano X e Y due v.a. qualsiasi, e sia g : R
2
→ R una funzione qualsiasi. Allora
possiamo costruire una nuova v.a.
Z = g(X, Y ).
Esempio 1. Vogliamo alimentare un microchip di marca XYZ con una batteria prodot-
ta dalla ditta ABC. In particolare, vogliamo prevedere quale sar`a la potenza dissipata
per effetto Joule dal circuito che andremo a costruire. Introduciamo pertanto le due v.a.
V = tensione generata da una batteria presa a caso tra quelle della ABC
R = resistenza opposta da un microchip preso a caso tra quelli della XYZ.
La potenza che sara dissipata dal nostro circuitoe allora la nuova v.a.
P =
V
2
R
= potenza dissipata =: g(V, R) ,
dove la funzione g in questo caso `e g(x, y) = x
2
/y.
Supponiamo di conoscere le medie E[X] =: μ X
e E[Y ] =: μ Y
di X e di Y , e
le loro varianze Var[X] =: σ
2
X
e Var[Y ] =: σ
2
Y
. Il problema `e calcolare la media
E[g(X, Y )] e la varianza Var[g(X, Y )] della nuova v.a. g(X, Y ) sapendo solo questi
quattro dati.
Se g e una trasformazione affine di X e di Y , cioe g(X, Y ) = a + bX + cY con
a, b, c costanti reali, allora questo e un calcolo che gia sappiamo fare: la media `e
E[g(X, Y )] = E[a + bX + cY ] =
linearit`a
di E
a + bE[X] + cE[Y ] (1)
mentre, supponendo in pi`u che X e Y siano indipendenti,
Var[g(X, Y )] = Var[a + bX + cY ] =
propriet`a
di Var
Var[bX + cY ]
indipendenza
di X e Y
Var[bX] + Var[cY ] =
propriet`a
di Var
b
2
Var[X] + c
2
Var[Y ].
Questo `e un calcolo esatto.
Ma se g non `e una trasformazione affine? In tal caso, possiamo linearizzare g
sviluppandola in serie di Taylor al prim’ordine in un intorno di (μ X , μ Y ). Otteniamo
cos`ı l’approssimazione
g(X, Y ) ' g(μ X , μ Y
1 g(μ X , μ Y )(X − μ X
2 g(μ X , μ Y )(Y − μ Y
dove ∂ i g(μ X , μ Y ) e la derivata parziale di` g rispetto all’i-esima variabile, calcolata
sulla coppia di valori (noti per ipotesi!) (μ X , μ Y ). In questo modo,
E[g(X, Y )] ' E[g(μ X , μ Y
1 g(μ X , μ Y )(X − μ X
2 g(μ X , μ Y )(Y − μ Y
)]
eq. (1)
g(μ X , μ Y
1 g(μ X , μ Y ) E[X − μ X
]
=E[X]−μ X =
2 g(μ X , μ Y ) E[Y − μ Y
]
=E[Y ]−μ Y =
= g(μ X
, μ Y
e, ancora supponendo che X e Y siano indipendenti,
Var[g(X, Y )] ' Var[g(μ X
, μ Y
1
g(μ X
, μ Y
)(X − μ X
2
g(μ X
, μ Y
)(Y − μ Y
)]
eq. (2)
[∂
1
g(μ X
, μ Y
)]
2
Var[X − μ X
]
=Var[X]=σ
2
X
+[∂
2
g(μ X
, μ Y
)]
2
Var[Y − μ Y
]
=Var[Y ]=σ
2
Y
= [∂
1
g(μ X
, μ Y
)]
2
σ
2
X
+ [∂
2
g(μ X
, μ Y
)]
2
σ
2
Y
Quello che abbiamo visto per due v.a., si generalizza immediatamente al caso di k
v.a.. In conclusione, abbiamo dimostrato il fatto seguente.
Teorema 1 (Metodo delta). Supponiamo che X 1
, X
2
,... , X
k
siano k v.a., e fissiamo
una qualunque funzione g : R
k
→ R. Allora,
E[g(X 1
,... , X
k
)] ' g(E[X 1
],... , E[X
k
]).
Supponendo in pi`u che le v.a. X 1
, X
2
,... , X
k siano indipendenti, si ha anche
Var[g(X 1
,... , X
k
)] '
k ∑
i=
[∂
i g(E[X 1
],... , E[X
k
])]
2
Var[X i
].
Le due relazioni precedenti sono esatte se g `e una trasformazione affine delle v.a. X 1
, X
2
,... , X
k
Esempio 1 (Continuazione). Sappiamo che per le batterie prodotte dalla ABC e per i
microchip costruiti dalla XYZ si ha
E[V ] = 3 Volt E[R] = 10 Ω Var[V ] = 0.25 Volt
2
Var[R] = 1.21 Ω
2
Vogliamo calcolare in modo approssimato media e varianza della v.a. P = V
2
/R =
g(V, R), con g(x, y) = x
2
/y. La media si calcola facilmente:
E[P ] = E[g(V, R)] '
metodo δ
g(E[V ], E[R]) =
E[V ]
2
E[R]
2
= 0.9 Watt.
Per calcolare la varianza, invece, dobbiamo prima di tutto assumere che V e R siano
indipendenti (ipotesi ragionevole, se il generatore `e stabile e la resistenza del circui-
to non varia troppo con la temperatura). Dopodich´e, dobbiamo calcolare le derivate
parziali della funzione g:
1
g(x, y) =
∂(x
2
/y)
∂x
2 x
y
2
g(x, y) =
∂(x
2
/y)
∂y
x
2
y
2
Infine, applichiamo la formula
Var[P ] = Var[g(V, R)] '
metodo δ
[∂
1 g(E[V ], E[R])]
2
Var[V ] + [∂ 2 g(E[V ], E[R])]
2
Var[R]
2 E[V ]
E[R]
2
Var[V ] +
E[V ]
2
E[R]
2
2
Var[R]
2 · 3
2
2
4
4
Con questa ipotesi, la media campionaria
V =
(V
1
+... + V
7
`e uno stimatore non distorto del paramatro v. Infatti,
E[
V ] = E[V
k
] = v.
Facciamo una cosa simile per stimare la corrente i: pianifichiamo altre 4 misure di
corrente I 1
,... , I
4 , che supporremo anch’esse i.i.d. e centrate intorno al vero valore di
corrente i, cio`e
E[I
k ] = i ∀k = 1,... , 4.
Come stimatore non distorto del parametro i, usiamo di nuovo la media campionaria
I =
(I
1
+... + I
4
Ora, vogliamo trovare uno stimatore approssimativamente non distorto del parametro
r =
v
i
=: g(v, i).
Per quanto visto nell’Affermazione 1, una scelta possibile `e
R := g(
V ,
I) =
V
I
Notazione. Essendo numeri reali fissati (deterministici), i parametri del modello
vengono sempre indicati con lettere minuscole: α, β, θ, v, i, r.. .. I corrisponden-
ti stimatori, invece, che sono v.a., vengono sempre indicati con lettere maiuscole:
A,
B,
V ,
I,
R.. ..
Ora, dopo aver introdotto lo stimatore
Θ = g(
A,
B) di θ = g(α, β) e aver dimo-
strato che `e approssimativamente non distorto, vogliamo determinare l’errore che com-
mettiamo stimando θ con
Θ. Per far questo, dobbiamo calcolare l’errore quadratico
medio
mse(
Θ; θ) = Var[
Θ] + b(
Θ; θ)
2
'
ˆ Θ approx.
non distorto
Var[
Θ] = Var[g(
A,
B)].
Se ora aggiungiamo l’ipotesi che gli stimatori
A e
B siano indipendenti (ipotesi ra-
gionevole se per esempio
A e
B sono costruiti con due serie indipendenti di misure),
possiamo applicare il metodo delta per calcolare Var[g(
A,
B)]
Var[g(
A,
B)] '
metodo δ
per Var
[
1
g(E[
A], E[
B])
]
2
Var[
A] +
[
2
g(E[
A], E[
B])
]
2
Var[
B]
ˆ A e
ˆ B
non distorti
[∂
1 g(α, β)]
2
Var[
A] + [∂
2 g(α, β)]
2
Var[
B].
In conclusione,
mse(
Θ; θ) ' Var[
Θ] ' [∂
1
g(α, β)]
2
Var[
A] + [∂
2
g(α, β)]
2
Var[
B]. (3)
Anzich´e quantificare la bont`a dello stimatore
Θ con l’mse(
Θ; θ), che ha [θ]
2 come
unit`a di misura, si preferisce spesso usare l’errore standard
se(
Var[Θ] '
ˆ Θ approx.
non distorto
mse(
Θ; θ)
che ha il vantaggio di avere le stesse unit`a di misura di θ. La formula trovata per Var[
Θ]
diventa cos`ı
se(
[∂
1
g(α, β)]
2
se(
A)
2
g(α, β)]
2
se(
B)
2
e si chiama propagazione degli errori dalla stima di α e di β alla stima di θ.
Affermazione 2. Se (
A
n
n≥ 1 e (
B
n
n≥ 1 sono due successioni di stimatori di α e di
β tali che
A
n e
B
n sono (esattamente) non distorti per ogni n;
A
n
e
B
n
sono indipendenti per ogni n;
A
n
n≥ 1 e (
B
n
n≥ 1 sono consistenti in media quadratica;
allora anche la successione di stimatori (
n
n≥ 1 , con
n = g(
A
n
B
n
`e consistente in media quadratica.
Dimostrazione. Riscriviamo l’eq. (3),
mse(
n ; θ) ' [∂ 1 g(α, β)]
2
Var[
A
n
] + [∂
2 g(α, β)]
2
Var[
B
n
].
Per le ipotesi, abbiamo
Var[
A
n
] '
ˆ A n approx.
non distorto
mse(
A
n
; α) −→
ˆ A n consistente
0 per n → ∞ ,
e similmente Var[
B
n
] → 0. Di conseguenza, mse(
n
; θ) → 0 per n → ∞, e questa `e
proprio la condizione di consistenza per
n
Esempio 2 (Continuazione). Vogliamo calcolare mse(
R; r) e se(
R) per lo stimatore
R =
V /
I usando la formula (3). Possiamo farlo, perch´e
V e
I sono stimatori non distorti di v e di i;
V e
I sono anche indipendenti, in quanto `e ragionevole supporre che le 7 misure di
tensione e le 4 di corrente non si influenzino tra loro.
dove la funzione h e la stessa che in (6) veniva valutata sui parametri. Questo stimatore`
di mse(
Θ; θ) `e approssimativamente non distorto per la solita applicazione del metodo
delta alla media:
E[
MSE(
Θ; θ)] ' h
E[
A], E[
B], E[S
2
ˆ A
], E[S
2
ˆ B
]
ˆ A,
ˆ B,S
2
ˆ A
,S
2
ˆ B
non distorti
h(α, β, Var[
A], Var[
B])
= mse(
Θ; θ).
Allo stesso modo, possiamo definire il seguente stimatore approssimativamente non
distorto del parametro se(
SE(
[
1
g(
A,
B)
]
2
S
2
ˆ A
[
2
g(
A,
B)
]
2
S
2
ˆ B
La logica `e sempre la stessa: se abbiamo degli stimatori non distorti di certi para-
metri γ 1 ,... , γ n
1
n
- e vogliamo trovare uno stimatore appros-
simativamente non distorto di un nuovo parametro ξ = h(γ 1 ,... , γ n ), allora
h(
1
n
) e sempre una soluzione possibile.` Notazione. Come tutti gli stimato-
ri, anche
MSE(
Θ; θ) e
SE(
Θ) sono delle v.a.; di conseguenza, li scriviamo maiuscoli.
I parametri che devono stimare sono i numeri reali mse(
Θ; θ) e se(
Θ), che pertanto
in queste note abbiamo sempre scritto minuscoli. Come al solito, cerchiamo di usare
lettere simili per il parametro e per il corrispondente stimatore, mettendo una ̂ sopra
allo stimatore.
Esempio 2 (Continuazione). Sappiamo che le varianze campionarie
S
2
V
7 ∑
k=
V
k
V
2
S
2
I
4 ∑
k=
I
k
I
2
sono stimatori (esattamente) non distorti delle rispettive varianze vere σ
2
V
= Var[V k
] e
σ
2
I
= Var[I k
]. Di conseguenza, S
2
¯ V
= S
2
V
/ 7 e S
2
¯ I
= S
2
I
/ 4 sono stimatori non distorti
di Var[
V ] = σ
2
V
/ 7 e di Var[
I] = σ
2
I
/ 4. Per ottenere degli stimatori approssimativa-
mente non distorti dell’errore quadratico medio e dell’errore standard di
R =
V /
I, `e
sufficiente fare le sostituzioni
V → v
I → i S
2
V
→ σ
2
V
S
2
I
→ σ
2
I
nelle eq. (4) e (5). Si ottengono cos`ı gli stimatori
MSE(
R; r) =
S
2
V
I
2
V
2
S
2
I
I
4
SE(
R) =
S
2
V
I
2
V
2 S
2
I
I
4
Attenzione che in queste formule i numeri 7 e 4 a denominatore ci devono stare, e S
2
V
e S
2
I
sono le varianze campionarie definite in (7) (e non S
2
¯ V
e S
2
¯ I
Per ultima cosa, supponiamo di aver fatto finalmente le nostre misure, e aver trovato
la stima ˆa del parametro α e
b di β. Le stime ˆa e
b non sono altro che le realizzazioni
degli stimatori
A e
B sul risultato della misura, cio`e i valori numerici che si ottengono
sostituiendo alle v.a. del campione i valori effettivamente trovati per ciascuna di esse.
Allora la stima di θ = g(α, β) fornita da
Θ = g(
A,
B) `e
θ = g(ˆa,
b)
Notazione. Per indicare la realizzazione del campione aleatorio X 1
,... , X
n dopo
una specifica misura abbiamo usato le corrispondenti lettere minuscole (= numeri reali)
x 1
= 1. 78 ,... , x n
= 1. 93 , dove 1. 78 ,... , 1. 93 sono i valori che abbiamo effettiva-
mente trovato. Facciamo la stessa cosa anche per gli stimatori: se
A = h(X 1
,... , X
n
allora ˆa = h(x 1
,... , x n
) = h(1. 78 ,... , 1 .93) = 3. 45 (per esempio).
Esempio 2 (Continuazione). Ora abbiamo fatto le 7 misure di tensione e le 4 di
corrente, trovando questi valori:
v 1
= 11. 4 v 2
= 9. 7 v 3
= 8. 4 v 4
= 10. 1 v 5
v 6
= 11. 2 v 7
i 1 = 1. 52 i 2 = 1. 78 i 3 = 2. 60 i 4
Le realizzazioni delle rispettive medie campionarie e varianze campionarie sono
v ¯ =
i =
s
2
V
[
2
+... + (9. 1 − 10 .271)
2
]
s
2
I
[
2
+... + (2. 29 − 2 .0475)
2
]
La nostra stima della resistenza vera r e dunque`
ˆr =
¯v
i
Una stima dell’errore quadratico medio e dell’errore standard dello stimatore
R =
V /
I
che abbiamo usato `e invece
mse( ̂
R; r) =
s
2
V
7¯i
2
v¯
2
s
2
I
4¯i
4
2
2
· 0. 23796
4
2
se( ̂
R) =
s
2
V
7¯i
2
v¯
2 s
2
I
4¯i
4
