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Esercizio 1
Considerando lo spazio campionario 㐄 䙨1,2,3,4,5,6,7,8,9,10䙩^ e l’esperimento “estrazione di un numero”, calcolare le probabilità relative ai seguenti eventi:
- A = estrazione di un numero pari
- ᠧᆑ = estrazione di un numero dispari
- B = estrazione di un numero maggiore o uguale a 7
- A ∩ B
- A ∪ B
Soluzione
L’evento ᠧ è costituito dagli eventi elementari ᠧ = {2} , {4} , {6} , {8} , {10} quindi la probabilità dell’evento “estrazione di un numero pari” è:
Allo stesso modo, dato che l’evento ᠧᆑ è costituito dagli eventi elementari ᠧᆑ = {1} , {3} , {5} , {7} , {9}, la probabilità dell’evento “estrazione di un numero dispari” sarà:
ᡂ䙦ᠧᆑ䙧 㐄
Ovviamente ᠧ e ᠧᆑ rappresentano eventi incompatibili 䙦ᠧ ∩ ᠧᆑ䙧 㐄 ᒆ , ossia non è possibile che il numero estratto sia contemporaneamente pari e dispari. Quindi la probabilità dell’unione di questi 2 eventi sarà pari alla somma delle rispettive probabilità:
ᡂ䙦ᠧ ∪ ᠧᆑ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠧ䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠧᆑ䙧 㐄 0,5 ㎗ 0,5 㐄 1
Considerando che gli eventi ᠧ ed ᠧᆑ sono incompatibili ed esaustivi si poteva calcolare la probabilità che il vincitore sia uno straniero mediante la seguente formula:
ᡂ䙦ᠧ䙧 㐄 1 ㎘ ᡂ䙦ᠧᆑ䙧 㐄 1 ㎘ 0,5 㐄 0,
L’evento ᠨ è costituito dagli elementi ᠩ = {7} , {8} , {9} , {10} dunque la sua probabilità sarà:
ᡂ䙦ᠨ䙧 㐄
L’evento A ∩ B è composto dagli elementi che fanno sia parte di A che di B, che sono eventi compatibili, ossia da:
A ∩ B = {8} , {10}
Di conseguenza la probabilità dell’evento intersezione sarà:
ᡂ䙦ᠧ ∩ ᠨ䙧 㐄
L’evento A ∪ B è composto da tutti gli elementi che fanno parte di A e di B ossia:
A ∪ B = {2} , {4} , {6} , {7} , {8} , {9} , {10}
Di conseguenza la probabilità dell’evento unione sarà:
ᡂ䙦ᠧ ∪ ᠨ䙧 㐄
Si sarebbe potuto calcolare la probabilità dell’unione degli eventi A e B grazie al teorema delle probabilità totali:
ᡂ䙦ᠧ ∪ ᠨ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠧ䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠨ䙧 ㎘ ᡂ䙦ᠧ ∩ ᠨ䙧 㐄 0,5 ㎗ 0,4 ㎘ 0,2 㐄 0,
Esercizio 2
Da un mazzo non truccato di carte napoletane si estrae casualmente una carta.
a) Qual è la probabilità che tale carta sia il tre di bastoni? b) Qual è la probabilità che tale carta sia un tre o una figura di bastoni? c) Qual è la probabilità che tale carta sia un tre o un asso?
Soluzione
La prova è l’estrazione di una carta. L’evento A esprime l’estrazione di un tre, mentre l’evento B esprime l’estrazione di una carta di bastoni.
Dalla definizione classica di probabilità avremo che
ᡂ䙦ᠧ䙧 㐄
La probabilità che la carta estratta sia il tre di bastoni è la probabilità dell’intersezione tra i due eventi A e B, che sono eventi compatibili:
La probabilità che la carta estratta sia o un tre o una carta di bastoni è la probabilità dell’unione dei due eventi A e B, che sono compatibili. Per il teorema delle probabilità totali avremo:
ᡂ䙦ᠧ ∪ ᠨ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠧ䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠨ䙧 ㎘ ᡂ䙦ᠧ ∩ ᠨ䙧 㐄 0,1 ㎗ 0,25 ㎘ 0,025 㐄 0,
In altre parole, dato che i due eventi sono compatibili, la probabilità della loro unione sarà uguale alla somma delle due probabilità meno la probabilità dell’intersezione.
Per calcolare la probabilità che la carta estratta sia un tre o un asso è necessario definire l’evento C che esprime l’estrazione di un asso e calcolare la probabilità di tale evento:
Esercizio 4
In un albergo di Napoli sono presenti 50 turisti. Nella seguente tabella sono riportate le frequenze assolute della distribuzione doppia di frequenza delle variabili “Provenienza” e della variabile dummy “Fumatore”:
Fumatore (ᠲ) Non Fumatore (ᠲ㍤) Italiano (ᠵ) 10 20 30 Straniero (ᡅ) 5 15 20 15 35 50 La direzione decide di premiare un cliente a caso permettendogli di usufruire della suite al posto della camera da lui prenotata.
Determinare la probabilità che il vincitore:
a) Sia italiano b) Sia straniero, c) Sia fumatore, d) Sia non fumatore e) Sia straniero e fumatore f) Sia italiano o fumatore g) Essendo straniero sia fumatore h) Essendo italiano sia non fumatore
Soluzione
Per la definizione classica di probabilità, la probabilità che il vincitore sia italiano sarà pari a:
Allo stesso modo la probabilità che il vincitore sia straniero sarà pari a:
Ovviamente S e I rappresentano eventi incompatibili 䙦ᠵ ∩ ᡅ䙧 㐄 ᒆ ossia non è possibile che il vincitore sia contemporaneamente italiano e straniero. Dunque la probabilità dell’unione dei due eventi incompatibili I ed S sarà pari alla somma delle rispettive probabilità:
ᡂ䙦ᠵ ∪ ᡅ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠵ䙧 ㎗ ᡂ䙦ᡅ䙧 㐄 0,6 ㎗ 0,4 㐄 1
Considerando che gli eventi I ed S sono incompatibili ed esaustivi si poteva calcolare la probabilità che il vincitore sia uno straniero mediante la seguente formula:
ᡂ䙦ᡅ䙧 㐄 1 ㎘ ᡂ䙦ᠵ䙧 㐄 1 ㎘ ᡂ䙦ᡅᆑ䙧 㐄 1 ㎘ 0,6 㐄 0,
La probabilità che il vincitore sia un fumatore è pari a:
ᡂ䙦ᠲ䙧 㐄
Mentre la probabilità che egli sia un non fumatore sarà pari a:
Gli eventi ᠲ e ᠲ㍥^ sono eventi incompatibili ed esaustivi, quindi la loro intersezione dà luogo all’evento impossibile e la loro unione dà luogo all’evento certo. Dunque si poteva calcolare la probabilità che il vincitore fosse un non fumatore come: ᡂ䙦ᠲ㍤䙧 㐄 1 ㎘ ᡂ䙦ᠲ䙧 㐄 1 ㎘ 0,3 㐄 0,
Gli eventi ᡅ e ᠲ sono eventi compatibili. Per calcolare la probabilità che il vincitore sia straniero e fumatore bisogna considerare l’intersezione di questi due eventi:
ᡂ䙦ᡅ ∩ ᠲ䙧 㐄
Allo stesso modo possiamo considerare le altre intersezioni tra gli eventi elementari ottenendo:
Fumatore (ᠲ) (^) Non Fumatore (ᠲ㍤) Italiano (ᠵ) ᡂ䙦ᠵ ∩ ᠲ䙧^ 㐄 0 , 2 ᡂ䙦ᠵ ∩ ᠲ㍤䙧 㐄 0 , 4 ᡂ䙦ᠵ䙧^ 㐄 0, Straniero (ᡅ) ᡂ䙦ᡅ ∩ ᠲ䙧^ 㐄 0 , 1 ᡂ䙦ᡅ ∩ ᠲ㍤䙧 㐄 0 , 3 ᡂ䙦ᡅ䙧^ 㐄 0 , 4 ᡂ䙦ᠲ䙧^ 㐄 0 , 3 ᡂ䙦ᠲ㍤䙧 㐄 0 , 7 La probabilità che il vincitore sia italiano o fumatore è la probabilità dell’unione logica tra gli eventi ᠵ e ᠲ , che sono eventi compatibili. Per il teorema delle probabilità totali si ha:
ᡂ䙦ᠵ ∪ ᠲ䙧 㐄 ᡂ䙦ᠵ䙧 ㎗ ᡂ䙦ᠲ䙧 ㎘ ᡂ䙦ᠵ ∩ ᠲ䙧 㐄 0,6 ㎗ 0,3 ㎘ 0,2 㐄 0,
Per quanto riguarda la probabilità che il vincitore essendo straniero sia fumatore, si tratta di una probabilità condizionata, dove l’essere straniero è l’evento condizionante. Di conseguenza lo spazio campionario di riferimento si riduce a quello costituito dai soli turisti italiani. In altre parole vogliamo conoscere qual è la probabilità di estrarre come vincitore un fumatore dato che egli sia straniero.
La probabilità condizionata si esprime come:
Anche la probabilità che il vincitore essendo italiano sia non fumatore è una probabilità condizionata, dove l’essere italiano è l’evento condizionante. In altre parole vogliamo conoscere qual è la probabilità di estrarre quale vincitore un non fumatore dato che egli sia italiano. Tale probabilità sarà pari a:
ᡂ䙦ᠵ䙧^
Sia A = il presidente è un docente interno
Sia B = il presidente è un docente maschio
Avremo che ᡂ䙦ᠧ䙧 㐄 (^) ⡩⡩⡴ e ᡂ䙦ᠨ䙧 㐄 (^) ⡩⡩⡴, mentre la probabilità P䙦A ∩ B䙧 㐄 3/
Quindi:
P䙦A|B䙧 㐄
P䙦A ∩ B䙧
P䙦B䙧 㐄
Esercizio 7
I titolari della tessera Artecard vengono classificati in:
Maschi (M) e Femmine (F)
Italiani (I) e Stranieri (S)
La tabella delle diverse probabilità è la seguente:
M F
I 0,20 0,10 0,
S 0,40 0,30 0,
0,60 0,40 1,
L’assessorato ai trasporti, nell’ambito di una campagna di sensibilizzazione all’uso dei mezzi pubblici da parte dei turisti, ha deciso di premiare uno di essi, ogni giorno, nel corso di maggio dei monumenti, alla discesa da un bus o una metropolitana. Poiché ogni turista ha la stessa probabilità di essere designato dalla sorte ci si chiede:
- La probabilità di premiare un uomo o uno straniero;
- La probabilità di premiare una donna straniera.
Soluzione
Quesito 1)
P䙦M ∪ S䙧 㐄 P䙦M䙧 ㎗ P䙦S䙧 ㎘ P䙦M ∩ S䙧 㐄 0,6 ㎗ 0,7 ㎘ 0,4 㐄 0,
Quesito 2)
P䙦F ∩ S䙧 㐄 0,
L’ultimo giorno della campagna di sensibilizzazione si decide di premiare un turista italiano: qual è la probabilità che sia maschio?
P䙦M|I䙧 㐄
P䙦M ∩ I䙧
P䙦I䙧 㐄
