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LEZIONE 1: LA PROBABILITÀ
E’ il grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova.
ESEMPIO: numero che appare sulla faccia superiore del dado dopo averlo lanciato.
Il lancio di un dado è una PROVA ➙ è un esperimento che ha due o più possibili risultati.
Dalla prova possono scaturire degli EVENTI ➙ uno dei possibili risultati della prova.
La PROBABILITÀ è un numero compreso tra 0 ed 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di
un evento.
Tali definizioni possono essere riassunte in tale modo:
IN UNA DATA PROVA, L’EVENTO “E” SI VERIFICA CON PROBABILITÀ P(E)
L’evento può essere
ELEMENTARE
uno dei possibili risultati di una prova.
ESEMPIO: nel lancio di un dado i possibili eventi elementari
sono (1,2,3,4,5,6)
NON ELEMENTARE
evento che può essere a sua volta scomposto in più eventi
elementari.
ESEMPIO: nel lancio di un dado, l’evento esce un numero pari
comprende più eventi elementari (2,4,6)
Gli eventi formano un’ALGEBRA DI BOOLE.
In quest’ultima si considerano 3 operazioni fondamentali:
La NEGAZIONE
dell’evento A, ossia A
(segnato) che non si verifica
INTERSEZIONE (A ∩ B)
tra due eventi A e B:
si verificano entrambi
contemporaneamente.
UNIONE (A ∪ B) tra
due eventi A e B:
si verifica almeno uno
dei due eventi.
L’insieme di tutti i possibili eventi elementari che possono scaturire da una prova è definito:
SPAZIO CAMPIONARIO e viene indicato con il simbolo Ω ( OMEGA ).
Gli eventi possono essere:
La PROBABILITÀ è una funzione di insieme che associa ad ogni evento un numero reale.
La probabilità sarà indicata con P (Ei) ed è importante distinguere:
POSTULATO 2 ➙ P (A) ≥ 0
POSTULATO 3 ➙ P (Ω) = 1
POSTULATO 4 ➙ se (A ∩ B = ∅) allora: [P(A ∪ B) = P(A) + P(B)]
Secondo l’ approccio classico o tradizionalista , la probabilità è data dal rapporto tra il numero dei casi
favorevoli all’evento ed il numero di casi possibili, purché siano tutti ugualmente possibili.
ESEMPIO : il lancio di un dado e la probabilità che si verifichi l’evento faccia del dado 5 sarà:
Secondo l’approccio frequentista o empirico, la probabilità di un evento “E” si ottiene come frequenza
relativa di “E”, ossia come rapporto tra il numero di prove nelle quali si è verificato l’evento “E” ed il
numero di prove effettuate.
Si basa, inoltre, sulla ripetitibilità della prova nelle medesime condizioni.
IMPOSSIBILE
E’ l’evento che non può mai
verificarsi e può essere definito
come l’intersezione fra un
qualsiasi evento e la sua
negazione.
CERTO
E’ l’evento che si verifica sempre in quanto
comprende tutti i possibili risultati
dell’esperimento.
Può essere definito come la negazione
dell’evento impossibile.
INCOMPATIBILE
Se A ∩ B mi da l’evento
impossibile.
Ei E
LEZIONE 2: LE VARIABILI CASUALI
Quantità numerica il cui valore non è noto a priori ma è determinato dal caso (processo di cui non
conosciamo gli esiti).
ESEMPI:
- numero di ingressi in un museo in un dato giorno;
- Numero di clienti in un hotel
- Risultato del lancio di due dadi (non conosco la quantità numerica che esce, ma mi affido al risultato
casuale)
La variabile casuale può essere:
LANCIO DI DUE DADI
LA FUNZIONE DI PROBABILITÀ
La funzione di probabilità di una VARIABILE CASUALE DISCRETA X associa ad ogni valore possibile
della variabile casuale, la probabilità che esso si verifichi (se ho un lancio di un dato, avrò 6 valori).
La funzione di probabilità può anche essere rappresentata graficamente.
DISCRETA
Può assumere un valore
finito e reale (numero
intero)
CONTINUA
Può assumere valori compresi in un
intervallo reale, pertanto tutti i numeri
reali compresi i decimali.
Si noti che una variabile casuale discreta è completamente nota se sono noti i valori che questa può assumere
e le corrispondenti probabilità.
In alcune situazioni, potremmo essere interessati non alla probabilità che la variabile casuale X assuma uno
specifico valore, bensì alla probabilità che essa assuma un valore minore o uguale ad un dato valore “Xi”.
In tal caso, occorre considerare le probabilità cumulate P (X ≤ xi) che si riferiscono alla probabilità degli
intervalli (-∞; xi).
Data una variabile casuale discreta X , la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate
P (X ≤ x) viene detta FUNZIONE DI RIPARTIZIONE ed è indicata:
I VALORI CARATTERISTICI di una variabile casuale discreta sono:
➙ la media, definita come VALORE ATTESO E (X), dato dalla sommatoria di Xi moltiplicato per la
Probabilità;
➙ la VARIANZA di una variabile continua discreta X è definito come:
La media è un qualcosa di già osservato;
Il valore atteso è qualcosa da osservare.
che si verifichiquel valore o uno inferiore.
VARIABILE DI BERNOUILLI
Le prove che producono solo 2 possibili risultati (dicotomica) generano un particolare tipo di variabile
casuale definito V.C. DI BERNOUILLI
ESEMPIO: lancio di una moneta, sesso di un nascituro.
Può assumere:
La sua funzione di probabilità è espressa come:
ESEMPIO:
Valore 1 con probabilità π Valore 0 con probabilità 1-π
È un esempio di variabile discreta
in quanto assume due valori.
Calcolare la funzione di probabilità che:
ESEMPIO 2:
0
= 8;
128
i P/xi
0 0,
1 0,278 1-0,
E(x)
= xi.P(xi)
= 0.0,
1.0,
= 0,
VARIABILE BINOMIALE
La somma di n variabili casuali di Bernoulli, indipendenti ed identicamente distribuite dà luogo ad una
variabile casuale denominata VARIABILE CASUALE BINOMIALE.
Essa permette di calcolare la probabilità di ottenere in “n” prove, un numero X = 0,1,2.. di successi.
La funzione è definita come:
ESEMPIO :
SARASEMPRE
10! I
10.9.8.7.6.5.4.3.2.
= 90
8!
7.6.5. 4.3.2.
*=lancio moneta
m
= 5; x
= 2;
4 = 0, QUALELAPROBABIUTACHESI VERIFICH 2 VOLTE TESTA?
P x
2
=
Px
2 =
!
2! 15
P(x
= 2 =e =
e= 2! 3!
P(x
=
=
P(x
=
= 10.0,25.0,
= 0,
= 31,
LEZIONE 3 : VARIABILE CASUALE NORMALE
Si è osservato che la maggior parte dei fenomeni reali si approssima in modo adeguato con una particolare
funzione di densità, denominata FUNZIONE DI DENSITÀ NORMALE.
La VARIABILE CASUALE NORMALE fu sviluppata nel 1733 da De Moivre e successivamente è stata
resa famosa da Gauss per l’analisi di dati astronomici tanto da essere denominata anche VARIABILE
CASUALE GAUSSIANA.
- La variabile casuale normale X è una variabile casuale continua che può assumere valori su tutto
l’asse reale.
- La funzione di densità che la definisce assume una forma a campana, la cui particolarità è la
simmetria poiché la parte di destra è uguale alla parte di sinistra. Essa è data da:
La variabile casuale normale si indica con in quanto i parametri che la caratterizzano sono:
- il VALORE ATTESO E(X) = μ
- la VARIANZA V(X) = σ 2
→ MEDIA ←
→ VARIANZA ←
Media e Varianza di un campione Media e Varianza di una
popolazione
Parametri popolazione → ALFABETO GRECO
Stime dei parametri → ALFABETO LATINO
X si distribuisce come la N, che sta per variabile normale.
50 % di probabilità
50% di probabilità
di trovare persone ditrovare persone più olte.
più basse.
PROBABILITA
POSSONO ASSUMERE VALORI COMPRESI TRA -0 E
s
LAVARIANZA SARA' SEMPRE O
ACCENTO VARIABILE
CIRCONFLESSO NORMALE
TiRDE
ex
0 S
uguaglianza
tra loro.
In base ai parametri che la caratterizzano e a come essi variano, la campana può essere disegnata in modi
diversi:
Al variare di μ , il grafico resta inalterato nella sua forma,
ma si modifica solo la sua localizzazione:
➙ al crescere di μ , la posizione della curva si sposta a
destra ;
➙ al diminuire di μ , la posizione della curva s i sposta a
sinistra.
Al variare di σ , il grafico resta inalterato nella
sua localizzazione, ma si modifica nella sua
forma:
➙ al crescere di σ , la curva è più schiacciata
rispetto al centro ;
➙ al diminuire di σ , la curva è più appuntita.
ESEMPIO
Immaginiamo di avere un collettivo con:
➙ MEDIA = 500
➙ VARIANZA = 100
Se la sua varianza è 100, la sua deviazione standard sarà 10.
Dunque, in media, le persone si discostano dalla media di 10 punti.
E
A CURVA
Più ADXo
SX.
HO TANTECAMPANE AL VARIA_
RE DEL VALOREMEDIO.
ESEMPIO:
MEDIA=50;VARIANEA= 100
2
52 102
ESEMPIO:
Immaginiamo di avere un collettivo di X~N (70,25) e di voler calcolare la probabilità che un individuo
presenti un peso compreso tra 60 e 80:
ciò avviene attraverso l’operazione di standardizzazione:
Immaginiamo di avere un peso inferiore ad 80:
~
N(70,
X 1
Quesito
= Pr ( x
Es ~ Es i
Pr
60-
x
80
25
60 70
80
Pr
~ N 70,
qual'è
la probabilità
che x 80?
si PASSA ALLASTANDARDIZZATA
o
E
80
by
QUINDI :
e
Pr z
= 2 = ?
prz
2
0,
UTILIZZO DELLE TAVOLE
- RIGA si estende da 0.00 a 0.09, e qui troviamo il valore intero;
- COLONNA , sulla quale vi è la seconda cifra decimale.
La tavola, fissato un valore di Z, mi fornisce informazioni sulla probabilità che Z sia inferiore ai valori
presenti nella tavola.
ESEMPIO
individuare la probabilità che:
• (Z < 1,68) = 0,
• (Z < 0,03) = 0,
• (Z < 0,80) = 0,
DEVO CONOSCERELAP 1 15?
E =
In
E =
15,
8
1,
S
P E = 1, = 0,
SERVONO PER FISSARE I VALORI SOGUA.
I due PRINCIPALI PARAMETRI utilizzati per descrivere una popolazione finita sono:
ESEMPIO :
Consideriamo una popolazione composta da N = 7 grandi aziende (unità statistiche) operanti in un certo
settore economico del paese. Il carattere oggetto di studio è X = fatturato annuo.
I valori di X osservati sulle 7 unità della popolazione sono i seguenti in milioni di euro:
• X1 = 52; X2 = 49; X3 = 65; X4 = 74; X5 = 56; X6 = 62; X7 = 45
μ= 52+49+65+74+56+62+45/7 = 57,
σ2= 2704+2401+4225+5476+3136+3844+
STATISTICA CAMPIONARIA
Sia X1, X2….Xn un campione casuale di n osservazioni appartenenti ad una popolazione finita o infinita.
Una statistica campionaria è una funzione a valori reali delle osservazioni campionarie.
Statistiche di uso comune sono le seguenti:
Le statistiche campionarie non vanno confuse con i parametri della popolazione. Quest’ultimi si riferiscono
all’intera popolazione, mentre le statistiche dipendono solamente dalle osservazioni campionarie e poiché
queste sono variabili casuali, anche le statistiche saranno variabili casuali.
MEDIA DELLA POPOLAZIONE
VARIANZA DELLA POPOLAZIONE
SIMBOLOGIA
N ➙ numero di unità della popolazione
n ➙ numero di unità del campione
MEDIA CAMPIONARIA VARIANZA CAMPIONARIA
LEZIONE 6: LA STIMA PUNTUALE
L’inferenza permette di stimare i parametri della popolazione utilizzando le informazioni derivanti da un
campione (dati campionari).
La STIMA PUNTUALE è l’insieme dei metodi inferenziali che permettono di attribuire un valore ad un
parametro ignoto della popolazione, utilizzando i dati di un campione casuale osservato.
STIMA = MEDIA
PUNTUALE = VALORE PRECISO DELLA MEDIA
ESEMPIO :
Si vuole stimare il parametro “media del reddito delle famiglie di Milano”. Pertanto, si procede ad estrarre
un campione, ad esempio, 100 famiglie di Milano e si calcola il reddito medio delle stesse. In questo modo,
ottengo il calcolo della media campionaria.
Dalla media campionaria occorre risalire alla media della popolazione, e quindi, al reddito medio di tutte le
famiglie di Milano.
dal CAMPIONE ➙ al PARAMETRO DELLA POPOLAZIONE.
DEFINIZIONI
- PARAMETRO (indicato con la lettera greca THETA θ ): è il valore ignoto nella popolazione che si
vuole stimare, come ad esempio la media della popolazione.
- STIMATORE (indicato con la lettera maiuscola dell’alfabeto T ): è la variabile di cui ci vogliamo servire
per risalire al parametro ignoto della popolazione, come ad esempio la media campionaria X.
- STIMA (indicata con la lettera minuscola dell’alfabeto t ): è il valore preciso dello stimatore osservato
all’interno del campione.
La DIFFERENZA tra il parametro e la stima, pertanto θ-t = ERRORE DI CAMPIONAMENTO.
Lo stimatore , dipendendo dal campione, è una variabile casuale , e quindi possiede una distribuzione
campionaria la cui conoscenza permette di capire se lo stimatore scelto produrrà con elevata probabilità
stime “vicine al valore vero del parametro”
CALCOLO DELLA MEDIA CAMPIONARIA
Se la popolazione è distribuita come una Normale N(μ, σ2) allora anche la media campionaria si distribuisce
come una Normale.
➙
➙
si
RiSALE
DEVE FORNIRE UN VALORE
QUANTO Più VICINO A THETA.
U o
2
1
2 1
3
2
3
LEZIONE 7: STIMA INTERVALLARE
Il principale svantaggio della stima puntuale è legato alla casualità delle osservazioni campionarie. Infatti,
anche utilizzando uno stimatore con proprietà ottimali, la stima puntuale sulla base di un campione può essere
molto diversa dal valore vero del parametro.
Per ovviare a questo limite, si preferisce calcolare un intervallo di valori plausibili entro cui può essere
compreso il parametro ignoto della popolazione con una certa probabilità decisa a priori , definito STIMA
INTERVALLARE.
Esso è costruito sulla base (intorno) della stima puntuale a cui associamo un determinato livello di affidabilità
o fiducia, generalmente fissato al 90-95-99%.
DEFINIZIONI
- L’intervallo che contiene il parametro ignoto della popolazione con una certa probabilità decisa a priori è
definito INTERVALLO DI CONFIDENZA o DI FIDUCIA****.
- La probabilità decisa a priori è detta LIVELLO DI CONFIDENZA o DI FIDUCIA (1 - α) - La probabilità che l’intervallo non contenga il parametro ignoto della popolazione, cioè la probabilità di
commettere l’errore nella stima, è definito LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ (α).
STIMA INTERVALLARE DELLA MEDIA (VARIANZA NOTA)
Sia X una variabile casuale che rappresenta un carattere osservato su una popolazione. Supponiamo che la
variabile casuale sia distribuita come una Normale con varianza nota. Allora sappiamo che una qualsiasi
variabile normale X può essere trasformata in una standardizzata Z:
A tal punto, si può costruire un intervallo di confidenza per “Z” , quindi:
INTERVALLO DI CONFIDENZA
PER LA MEDIA DELL’UNIVERSO
Si SOSTITUISCE
Si DEVE POI COSTRUIREUN INT. DI CONF
PER LAMEDIA DELLUNIVERSO IL MU CHE DOVR ESSEREisOLATO AL
CENTRO DELL'INTERVALLO.
