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= funzione definita sullo spazio campionario che associa a ogni evento un unico numero reale
Variabile casuale discreta: può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali
Variabile casuale continua: può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale
SE è discreto, la variabile casuale sarà discreta; SE è continuo la variabile casuale sarà continua o discreta
Necessità di non calcolare che la probabilità di una V. C. assuma uno specifico valore; MA la probabilità che assuma un
valore minore o uguale a un dato valore x.
ARIA
E LI
SI
IN
n
r a
VARIABILI CASUALI DISCRETE
Esempio
Lancio
a
dadi sé finitoquindi
è
discreto
PG
36
X
2,
12g
mero
e'associata
py
più
diuna
coppia
di
numeri
a
3 8 1,
12, P
1,27812,
2136
4 Peli
3
13,112,2178GBP
B
1
812,
31
HEINZ
5 P
4136
6
P 5136
7 P
6136
a
caratteristiche
PA
0
P
5136
it
Fipe
9 P
4136
10
P
3136
G
II
P
2136
5
4
3
2
I
5
I
5
Funzione di
ripartizione
di una
v
C discreta
μ
distribuzione
freq
rel
cumulate
FG
PHEN
E
PIAN
FUNZIONE
di
RIPARTIZIONE
funzione
non
decrescente
FA
Esempio
2
1136
precedente
XPG
Casodell'esempio
FIX
III
FA
3
3
36
FCX
4
6 36
E
ti
5
6
x
i 36
ÈX
Esempio
m'difetti
x PA
o
se Onco
appesa
PG
PG
0,150,
0
I p
FÙ
scossa
0,
se sana
o
PROPRIETÀ
FA
è
non
decrescente
Xslt
FCXDEFCXD.fi yF
xl.o
gme
xzs
FA
e'continua
a
destra
ftp.flxo
VARIABILI
CASUALI CONTINUE
X
è
una
variabilecausuale
continua
se
può
assumere tuttii
valori
diun
intervallo
reale
b
Tutti i
possibili
intervallisull'asse
reale
hanno
una
misura
di
probabilità grazie
alla
FUNZIONE
di
DENSITÀ
FUNZIONE
di
DENSITÀ
permettedi
calcolare
la
probabilità di ogni
intervallo
E la
funzione
ga
per
cuil'area
sottesa
alla
funzioneche
corrispondeall'intervallo
è
uguale
alla
probabilitàche
X
assuma un
valore
in
quell'intervallo
PRETE
b
FIA
di
Eff
Place
b
Esempio
III
o
perXeon
a
Ny
PEXEO
5
0,
per
XELO 1
1
PO
25410,
PASO
EXE
O
I
PBEXEN
O
Proprietà
INIZO
anno valori
negativi
fax
l'areasottesa
alla
funzione è
1
Esempio
v c
continua
X
84
ha
per
anch
IL
I
2
EH
sala
8yd
x
80
dx
di
fax
III
III
Y
3
i
varianza
Misura
la
differenzaquadratica tra
i
possibili valori dellav
c eilsuo
valoreatteso
SE è
una
variabile casuale
discreta
V
E
Xi
EH
PG
SE èuna
variabilecasualecontinua
V
X
EH
g
dx
La
radice
quadra
della
varianza
è la
deviazione
standard
Ox
VI
Esempio
Xin
figli
0
0,
0
È
II
EH
E
XIPH
0
1
4
0,
9
0,1 25
Ox VII V
Standardizzazione
Finzionelineare di una
v c X Meat
by
a
Ely
at bed
Vedendo
l'es
precedente
XP Y
Y
V
Y DVA
1 0,
gg aaaa aaaa
aaaa
y
gg
μ
yep
10,
Y
1
E
Y
1,
0,
0,330,
0,
Y ELY PA
LEGA
A
si
è
verificato
di St RI
B U Z I O N E
di B E
R NO U Lei
Prova
incuisi
vuolesoloverificare seun
certo
evento
si
è verificato omeno n X
può
assumere
soloa
valori
È
Io
at
Funzione
di
probabilità
PA
X t sti
per
X
Non
st'è
verificato
Media
EA
it
varianza
Vette
Esempio
ECHG.AT
O
G
HZIT
M
0,
v
1 TI
Ttf
T 1 TI
Gtt
2T TT
G
TETTI
ATZEI
IT
TEN
T
PI
E
Esercizio
O
Isemaforisono
indipendenti
traloro
modalità
rosso
verde
Duratarossodurataverde
PG
sa
scosso
aeree o
se
sa
Sa
Sa
Si
variabilicasuali
bernoueeiane indipendenti
e
identicamente
distribuite
i i d
Quant è la
probabilità
di
osservare
questasequenza
Plaid
Se1,
1 Su
O
Sisto
indipendenti
Pisa
a
pesa 1 pesino
Pisis
o
0 li
0,61 10,
DI
S T RI B U Z
I O N
E
B
N
o M i
a e
somma di
più
variabilicasuali
di
Bernoulli
ogni
uguali
al
numero noiprove
aggettuate
c
è
indipendente
e
identicamente distribuita
Funzione
PG
I
it
G
a
m
Esempio
PA
K
In
I
it 1
t
APlano
n
15
PG
E
0,
k
stessi
D
I S T R i B U
Z I O N E
D I O i S S O N
Èunav
c
discretache
può
assumere qualsiasi
valore
intero
non negativo
DISTRIBUZIONE
DI
PROBABILITÀ
PG
H
è XEN OCALA
EHI
X
DI S T R I B U Z I
O N E
U
N
I F
O R M
E C
O N T
I
N U
A
Assumevalori
reali inun
intervallo limitato
la
b con a e
b
numeri
reali
gg fa
se
a
txt b
y
a b
altrove
EH
atb
12
DI
S T R I
B U
Z I
O N E N O R
M A
L E
Può
assumere tuttii
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reali 0 a
si
indica
conX
N
mo
UNZIONE
DI
DENSITÀ
I
x
e
Le
e con
iparametri
MEDIA
E
VARIANZA
VA
0
È i
i
sonoaflessiin
corrispondenza
dei
punti
n
o
Ess
determina
la
posizione
della
curva
sull'asse
y
o
determina
la
dispersione
della
curva
EH
Variabile casuale normale standardizzata
Z
N O 1
Itta
e
E
FIFA
Italia E
perogni
zzo
Esempio
Probabilità
che
Zassuma un
valore
nell'intervallo
2
912 972 512
5121
È
Esempio
Reddito
xvnq.fi
P
reddito
1,
PALA
8
P 1
P Zsa
0,
P
reddito
PACO 8 P
IM
9821,8 P ZL
I
PG
1
Pfs
0,
DI
S
T RI B U Z
I O N
E C HI Q U A
A R
A T o
Distribuzioneasimmetrica continua
e definita per
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realinonnegativi
UNZIONE
DI
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dipende solodalparametro
gradi
dilibertà
g
più
aumenta
g
più
la
distribuzione
tende
a una
normale
SAI
goofy
XÈ È
per
no
integrale
r
9
Fè
XÈ'd
MEDIA E x
g
VARIANZA
VA
2g
Al
variaredi
g
varia
la
distribuzione
t
valoripiccoli di
g
la
dist
si
concentra
su
valori
piccoli
diX
valori
grandi
di
g
ladist si
distende
sututtii
valori
Xao
tema
panzane
Quando un
parametro della
popolazione
e
stimatoattraverso
un singolo
valore
tale
valore
viene
chiamatoSTIMAPUNTUALE
al
parametro
i
parametri
campionari
notiforniscono
un'approssimazione
del
parametro
ignoto
comesi
sceglie
la
statisticacampionaria
più
idonea a
stimare ilparametro
sia
X
una
v e
che
rappresenta
un
carattere
osservato
suuna
popolazione
da
stimare
SE
la
v
c
X
e
discreta
a
funzione
di
probabilità
Pf
a
E
continua funzione
diprobabilità
gg
o
di
parametro
la taXa Xp
un
campione
di
dimensione
n e
ta
ta
Xp
il
corrispondente campione
osservato
Obiettivo
Attraverso un'opportuna funzione delle
osservazioni
t t
y ta
Xp
ottenere
una
stima
di 0
La
stimat
ta
ta
In
può
essere
considerata
comeuna
realizzazione
della
v c
It XsXa
Xn
LI
STIMATORE
STIMATORE
è
unav
c usata per
stimare una
determinata
caratteristica
O
della
popolazione
perciò
possiede
una
distribuzionecampionaria
lacui
conoscenza permettedicapire selo
stimatore scelto
ha
un'alta
probabilitàdiprodurre
stime
vicine
al
verovaloredelparametro
sempio
campione
osservato
5
2 5
Parametro
O
p
media
della
popolazione
stimatore mediacampionaria T
III
Xi
stima Ti
3,
PROPRIETA
correttezza
efficienza
consistenza
correttezza
asintotica
S T I M
A T O R i C O R R e T
t i
o
stimatore te
corretto
se E t O
per
tutti
ipossibilivalori
di
E uno
stimatorenonè
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dettodistorto
I
corretto
Tai
distorto
S T I M A
T O R
i e
F F i
c i
e N
T i
pervalutare
la
prossimità di ta o
possiamo usare
l'errore
quadratico
medio
indicato conMSE t
ed
è dato da
Mset E
f
Più
è
elevata
la
probabilità chet assuma
valorivicini
a
tanto
più
piccolo
sarà
ilvalorediMSE
t
M
T
è
più
efficiente
dita
se solo
se MSE
ta
Mse
ta
per
tutti i
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di
PROPRIETÀ
di MSE
T
MSE T
Var T
B T dove
Var T
ELF
E T
t
varianza
dello
quIdrato
della
stimatore
distorsione
SE lo
stimatore è
corretto
la
distorsione
è nulla
QUINDI
MSE t
var
t
Dati
due
stimatori
corretti
Tae
ta sidirà
che
t è
più
efficiente di
ta
se Var
ta
Var
ta
ta
ta
ta
più
efficiente di
ta
880
GG
PUNTUALE GEOVA di
uno 0000bar
0808
Considerata
una
popolazione
con
media
μ
EH
varianza
0
Var X
ampione
casuale
Xs
Xs
In Te
Xattat
Nn
m
la
mean
a
campionaria è uno
stimatore
corretto
della
media
della
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ato
chelo
stimatore
è
correttol'errorequadratico medio
coincide
con la
varianza A
MSE T VarE
sia
X
g
m
con
f
qualsiasi
La
mediacampionariaè uno
stimatore
consistente
ThaXa In
I
della
media della
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ECT
μ
var
E
È
è
corretto
e
consistente
se
capopocatogitigita
come una
normale
Nim 04
allora
anche
la
se
Xing
E
D
In
Nq
mediacampionaria si
distribuisce
come una
normale
880GB 00080GB 8 08000 00000030008 di
una
Considerata
una
popolazione
X
distribuita come una
Bernoulli
con
parametro
t
mediacampionaria T è uno
stimatore
corretto
della
proporzione
I
ECT it
varianza campionaria è uno
stimatore
consistente
della
proporzione
it
a dato che
VavX t sit
vare
Ta
t
n
sia
XuBernoulli
t
TA
Xa
XD
I
ECT I
VarT
Tft
Tè
corretto
e
consistente
88004 Blanche
036000000 Gaza
0060
0000608000 E
considerata
una
popolazione
x con
media
E
X
varianza var x e 0
dato un
campione casualen sidefinisce
varianzacampionariacorretta
lo
stimatore
SE
I E
Xix
s'èuno
stimatorecorretto
della
varianza
E 5 02
si
è uno
stimatore
consistente
della
varianza
agg
page
se
o
sia 81M
con
8 f
qualsiasi
ThaXa XD
E SI
E
Xix
E
s'è
corretto
e
consistente
8800800080068 no
8003000088000 della
Altoona
NEOOBONOBBOANZA
e
più
importante
metodoGenerale
per
la
costruzione
di
stimatori
puntuali sibasasulla
Funzione
di
Verosimiglianza
ato
un
campione
ta
ta
estratto
da
una
popolazione
X lacui
distribuzione
dipende
dal
parametro 0
a
funzionedi verosimiglianza
2 o
indica
la
probabilità
di
osservare uncampione
fissato al
variare
di 0
aiché le
osservazioni campionarie
sono
indipendenti
e
identicamentedistribuite
possiamo
scrivere
la
funzionecome
rodottodelle
probabilità delle singole
osservazioni
campionarie
40
Pdati
osservati
0 P
XeXaXa
Xa
Xp
Xn
Paita
a P
Xp
Xp
It
i
o
a
seghiseixiais'aiaitiantinua
ella
f
di v i
dati
campionari
sono fissati
invece
il
valore del
parametro incognitopuò
variare
a
40
funzione del
soloparametro
O
indica
quanto
è plausibile uno
specificovalore del
parametro
ignoto
La
nonindicala
distribuzione
diprobabilità
SE
Os
e 0 sonodue
valori del
parametro
ignoto
e SE l
a
02
diremo
cheil
valoreO
è
più
verosimile
di
la
SE
LA
L
a
ALLORA
P
Yara
Xa
Xa
X
ne xn 0s
P
XaXaXaXa
Xpxn
02
