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Statistica - Economia Aziendale
Esame del 28 maggio 2019 Tipo – B Soluzioni
Domanda 1 (6 punti) La durata del battistrada di una particolare marca di pneumatici, in migliaia di chilometri, e distribuita normalmente, con media 33 e deviazione standard 4. (a) Quale la probabilita che un battistrada non abbia durata compresa tra 27 e 39 migliaia di chilometri? (b) Se un camion usa n = 10 pneumatici di questa marca, quanti di questi pneumatici ci si aspetta abbiano un battistrada di durata superiore a 39 migliaia di chilometri? (c) Quale la probabilita che il numero di pneumatici con battistrada di durata superiore a 39 migliaia di chilometri sia minore di 2? Soluzione: (a) X = durata del battistrada, in migliaia di chilometri: X ∼ N (33; 4^2 ). La proporzione di pneumatici con battistrada con durata compresa tra i 27 000 e i 39 000 chilometrie:
P (27 < X < 39) = P
< Z <
= P (− 1. 5 < Z < 1 .5) = P (Z < 1 .5) − (1 − P (Z < 1 .5)) =
= 2 × 0. 93319 − 1 = 0. 86638
La proporzione richiesta `e: 1 − 0 .86638 = 0.13362.
(b) Y = numero di pneumatici del camion con battistrada con durata superiore a 39 000 chilometri. P (X > 39) = 1− 0 .93319 = 0.06681, quindi Y ∼ Bin(10, 0 .06681). Il valore atteso di Y `e E(Y ) = n × p = 10 × 0 .06681 = 0.6681. Ci si aspetta che circa uno dei pneumatici del camion abbia battistrada con durata inferiore a 39000 chilometri.
(c) La probabilit`a richiesta corrisponde a
P (Y < 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) = 0.5009 + 0.3586 = 0.8595;
che si ottiene utilizzando la distribuzione binomiale di Y :
P (Y = k) =
k
- 06681 k(1 − 0 .06681)^10 −k.
Domanda 2 (6 punti) Una compagnia di assicurazioni classifica i suoi clienti in tre fasce: basso rischio, medio
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rischio e alto rischio. Le sue statistiche indicano che le probabilita che un cliente abbia al- meno un incidente entro un periodo di un anno, condizionatamente al fatto di appartenere alle tre fasce, sono rispettivamente 0.05, 0.15 e 0.30. Inoltre il 20% dei clienti sono a basso rischio, il 50% a medio rischio e il 30% ad alto rischio. (a) Quale la probabilita che un cliente scelto a caso non abbia incidenti in un periodo di un anno? (b) Se un cliente non ha avuto incidenti nel 2017, quale la probabilita che appartenga alla fascia ad alto rischio? Soluzione: (a) Definiamo gli eventi A =“il cliente ha almeno un incidente in un periodo di un anno”, B 1 =“cliente a basso rischio”, B 2 =“cliente a medio rischio” e B 3 =“cliente ad alto rischio”. Si ha che P (A|B 1 ) = 0.05, P (A|B 2 ) = 0.15, P (A|B 3 ) = 0.30, P (B 1 ) = 0.20, P (B 2 ) = 0.50 e P (B 3 ) = 0.30. Per la legge delle probabilita totali si trova
P (A) = P (A|B 1 )P (B 1 ) + P (A|B 2 )P (B 2 ) + P (A|B 3 )P (B 3 ) = 0. 05 · 0 .20 + 0. 15 · 0 .50 + 0. 30 · 0 .30 = 0. 175.
Perci`o P ( A¯) = 1 − P (A) = 0. 825
(b)Per il Teorema di Bayes si ha
P (B 3 | A¯) =
P ( A¯|B 3 )P (B 3 )
P ( A¯)
Domanda 3 (4 punti) I seguenti istogrammi rappresentano la distribuzione di frequenza del Valore Aggiunto (Euro x1000) delle 100 principali aziende (A) nell’industria delle telecomunicazioni, (B) nell’industria delle costruzioni e (C) nell’industria delle attivit`a immobiliari.
A = telecomunicazioni
A
frequenza relativa
0 20 40 60 80 100
0.^ 0.^ 0.^
B = costruzioni
B
frequenza relativa
0 20 40 60 80 100
0.^ 0.^ 0.^
C = attività immobiliari
C
frequenza relativa
0 20 40 60 80 100
0.^ 0.^ 0.^
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dove ¯x = 326 = 5.33 e ¯y = 1106 = 18.33. Si trova allora b 1 = 644195 −−^6 · 618 ·(5.^33. 33 ·^52.^33 ) = 2.35 e b 0 = 18. 33 − 2. 35 · 5 .33 = 5.80.
(c) Per valutare la bont`a (adattamento ai dati) del modello di regressione lineare semplice occorre calcolare il coefficiente di determinazione R^2 :
R^2 =
SSR
SST
Dove:
SST =
∑^6
i=
y^2 i − ny¯^2 = 159. 97
SSR = b 0
∑^ n
i=
yi + b 1
∑^ n
i=
xiyi −
∑n i=1 yi)
2
n
In questo caso R^2 e pari all’ 0.8422, ovvero il modello in esame consente di spiegare una quota di variabilita pari all’84.22% della variabilit`a osservata per la variabile dipendente. Il modello evidenzia quindi un buon adattamento.
Domanda 5 (4 punti) Un quotidiano afferma che in citt´a la percentuale di utilizzatori di auto elettrica ´e in crescita e pari al 10%. Un’ agenzia campiona casualmente un campione di 1000 auto- mobilisti e rileva, calcolando un intervallo di confidenza al 95%, che la percentuale di utilizzatori di auto elettrica ´e compresa tra il 5.5% ed il 8.5%. (a) Qual ´e il valore della proporzione di utilizzatori di auto elettrica sui 1000 automo- bilisti? (b) Si proponga un test e, fissando un α = 0.05, valutare se l’affermazione del quotidiano ´e vera. Cosa si pu´o concludere? Soluzione: (a) Ipotizzando una distribuzione simmetrica attorno al valore centrale dell’intervallo di confidenza, la proporzione media di utilizzatori di auto elettrica rilevata nel campione di 1000 persone `e pari a 5 .5+8 2.^5 = 7%.
(b) Il test ´e sulla proporzione campionaria. Data l’elevata numerosit´a campionaria, viene scelto un test Z (approssimato). Il sistema di ipotesi sar´a il seguente:
H 0 : p = 10%
Na : p 6 = 10% L’intervallo di confidenza ha lo stesso livello α del test (5%); posso concludere che il valore 10% non ´e contenuto nell’intervallo di confidenza, pertanto rifiuto l’ipotesi nulla, la proporzione di utilizzatori ´e diversa dal 10%.
Domanda 6 (6 punti) All’interno di un’azienda, si vuole determinare se le richieste di permessi sono legate all’eta. A tale scopo, si considera un campione di 200 richieste. I risultati, classificati secondo l’eta del richiedente e la causa della richiesta sono i seguenti:
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Eta Causa Meno di 30 30 a 50 Piu di 50 Totale Malattia 30 48 42 120 Altro 20 36 24 80 Totale 50 84 66 200
(a) Indicare chiaramente le ipotesi da verificare per stabilire se la causa dei permessi e legata all’ eta. Qual `e la distribuzione della statistica test da utilizzare?
(b) Calcolare il valore osservato della statistica test.
(c) Considerando un livello di significativita di α = 0.1, quale la conclusione del test? Soluzione: (a) Le ipotesi da verificare in questo caso sono: H 0 : Le due variabili (Eta e Causa) sono indipendenti; H 1 : Le due variabili (Eta e Causa) sono dipendenti. La statistica test da utilizzare `e
χ^2 =
i
j
(fij − eij )^2 eij
∼ χ^2 (r−1)(c−1)
In questo caso, r = 2 e c = 3, quindi la statistica ha una distribuzione Chi Quadrato con 2 gradi di libert`a.
(b)Prima si calcolano le frequenze attese in ipotesi di indipendenza:
eij =
(totale della riga i) × (totale della colonna j) dimensione del campione
ottenendo le seguenti quantita: Eta Causa Meno di 30 30 a 50 Pi`u di 50 Totale Malattia 30 50.4 39.6 120 Altro 20 33.6 26.4 80 Totale 50 84 66 200 Il valore della statistica test risulta:
χ^2 oss =
(30 − 30)^2
(24 − 26 .4)^2
(c) Si rifiuta l’ipotesi nulla se χ^2 oss > χ^22 , 1 −α. Dalla tabella della distribuzione χ^2 si trova che il quantile 1−α e χ^22 , 0. 1 = 4. 6052 > 0 .6494. A questo livello di significativita, l’evidenza empirica non ci permette di rifiutare l’ipotesi nulla di indipendenza tra le due variabili.
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