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LO STUDIO DI UNA FUNZIONE
LE FUNZIONI
Si definisce funzione, dati due insiemi A e B, la relazione che lega A e B tale che ad elementi X di A corrispondono elementi Y di B.
La relazione è indicata con ƒ: A → B , dove x → y = ƒ(x).
X è la variabile indipendente, mentre y è la variabile dipendente perché il suo valore dipende da quello di x, e si dice che “y è in funzione di x”.
L'insieme A, quello di partenza, è detto "dominio", mentre l'insieme B, di arrivo, si chiama "codominio".
PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI
● iniettiva ● suriettiva ● biunivoca ● pari ● dispari
Funzione iniettiva
Dati due insiemi
ƒ: A → B
una funzione è iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.
⩝ x 1 , x 2 ∊A, 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 →𝑓𝑥 1
2
Funzione non iniettiva
Dati due insiemi
ƒ: A → B
una funzione non è iniettiva se ad elementi distinti di A NON corrispondono elementi distinti di B.
𝑓 =ℜ −−> ℜ
Funzione suriettiva
Dati due insiemi
ƒ: A → B
una funzione è suriettiva quando ad ogni elemento y di B corrisponde almeno un elemento x di A.
ƒ: A → B
ƒ: B → A y → x
Funzione dispari
Una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Una funzione dispari è espressa dalla relazione ƒ(-x) = -ƒ(x).
Questo significa che, sostituendo "-x" ad x, ottengo la funzione di partenza ma preceduta dal segno opposto.
CLASSIFICAZIONE FUNZIONI
Le funzioni matematiche si dividono in due gruppi principali:
- le funzioni algebriche , caratterizzate dalla presenza di sole operazioni algebriche elementari.
A loro volta, le funzioni algebriche si dividono in:
● razionali intere (funzioni polinomiali) ● razionali fratte (con l’incognita al denominatore) ● irrazionali intere (con i radicali) ● irrazionali fratte (radicali fratti con l'incognita al denominatore)
- le funzioni trascendenti , ulteriormente classificabili in:
● funzioni trigonometriche (Seno, coseno, tangente ecc) ● funzioni logaritmiche ● funzioni esponenziali
DOMINIO
Il dominio di una funzione, detto anche campo di esistenza, è l’insieme di tutti quei valori reali assegnabili a x per i quali la funzione y = ƒ(x) è definita. Dunque è l’insieme di verificabilità della funzione.
- per una funzione ALGEBRICA RAZIONALE INTERA, il Dominio corrisponde a ℜ (insieme dei numeri reali)
𝐷 = ℜ
- per una funzione ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA, dobbiamo imporre il denominatore diverso da zero; il Dominio quindi è ℜeccetto il punto o i punti esclusi dal denominatore
𝐷 = ℜ − {... } oppure𝐷 = {𝑥 ∈ ℜ : 𝑥 ≠ ...}
- per una funzione ALGEBRICA IRRAZIONALE INTERA E FRATTA distinguiamo in due casi:
● quando l’indice di radice è dispari , il dominio corrisponde ad ℜ, in quanto il radicando può essere sia positivo che negativo.
Quindi 𝐷 = ℜ
Se l’indice è dispari ma presenta l’incognita al denominatore, bisogna imporre il denominatore diverso da zero: il Dominio quindi è ℜeccetto il punto o i punti esclusi dal denominatore
Quindi 𝐷 = ℜ − {... }
ORIZZONTALE
È una retta parallela all'asse delle ascisse e si trova quando questa condizione è rispettata:
(Per X che tende ad infinito, se il limite è uguale ad un numero finito l allora la retta y = l è un asintoto orizzontale)
OBLIQUO
Qualora non si trovi l'asintoto orizzontale, si va alla ricerca dell'asintoto obliquo, ovvero una retta che non è parallela né all'asse delle ascisse, né all'asse delle ordinate. Per trovare tale retta (y= mx + q) dobbiamo individuare il valore di m e q.
L'asintoto obliquo è valido se m risulta essere finito e diverso da zero, e q risulta essere un numero finito.
TEORIA LIMITI (IN FUNZIONE DEGLI ASINTOTI)
I LIMITI
Il limite di una funzione è un'operazione che permette di studiare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto, e grazie al quale possiamo stabilire a quale valore tende la funzione man mano che i valori della variabile indipendente si approssimano a quel punto.
INTORNO
Completo: si definisce intorno completo di un punto 𝑥 0 un qualsiasi intervallo contenente il
punto 𝑥 0 stesso.
L'ampiezza dell'intorno viene indicata con δ ( δ 1 + δ 2 ), cioè la distanza tra il punto e uno dei
due estremi. Quando coincidono, allora l'intorno si dirà circolare: La distanza tra il punto e l'estremo sinistro è uguale a quella tra il punto e l'estremo destro.
Sinistro: un intervallo che ha come estremo destro il punto 𝑥 0.
𝐼(𝑥0)−^ = (𝑥 0 − δ; 𝑥 0 )
Destro: un intervallo che ha come estremo sinistro il punto 𝑥 0.
𝐼(𝑥0)+^ =(𝑥 0 ; 𝑥 0 + δ)
(Se unisco l'intorno sinistro e l'intorno destro ottengo l'intorno completo)
Intorno di meno infinito: un qualsiasi intervallo illimitato aperto inferiormente, del tipo: 𝐼 (^) (−∞) = (− ∞; 𝑎)
Intorno di più infinito: un qualsiasi intervallo illimitato aperto superiormente del tipo: 𝐼 (^) (+∞) = (𝑎; + ∞)
(Se unisco l'intorno di meno infinito e l'intorno di più infinito ottengo tutto ℜ)
TIPI DI LIMITI Esistono quattro tipi di limiti: -Limite finito per X che tende a un numero finito (=NO ASINTOTI)
0
-Limite finito per X che tende ad infinito (=ASINTOTO ORIZZONTALE)
-Limite infinito per X che tende a un numero finito (=ASINTOTO VERTICALE)
0
-Limite infinito per X che tende a infinito (=NO ASINTOTI)
VERIFICA DEI SEGUENTI LIMITI:
- Limite finito per X che tende a un numero finito (=NO ASINTOTI)
0
- Limite finito per X che tende ad infinito (=ASINTOTO ORIZZONTALE)
- Esiste finito il valore di 𝑓(𝑥0); questo significa che, sostituendo nella funzione il valore
di 𝑥 0 , questo sarà un numero finito.
- Esiste finito il limite 𝑙𝑖𝑚𝑥−>𝑥 0
𝑓(𝑥)= 𝑙
- Il valore di 𝑓(𝑥0) e 𝑙 coincidono, quindi 𝑓(𝑥0) =𝑙𝑖𝑚𝑥−>𝑥 0
𝑓(𝑥)
(Quando il dominio è tutto ℜ, la funzione è sempre continua) Quando almeno 1/3 di queste condizioni decade, la funzione è definita discontinua. La funzione è continua quando i due limiti destro e sinistro esistono finiti ed hanno lo stesso valore.
FUNZIONE DEFINITA PER PARTI
Una funzione definita per parti è una funzione definita mediante espressioni diverse, su intervalli diversi. Più precisamente, essa è definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti. Dati una funzione 𝑓(𝑥)e i sottodomini A e B, la funzione definita per parti si rappresenterà in
questo modo:
Come si risolvono gli esercizi? Per verificare la continuità di una funzione per parti bisogna verificare che il limite destro e il limite sinistro della funzione coincidano. Per farlo, è necessario studiare la continuità nel punto di raccordo tra i due sottodomini. Es. in questo caso, studieremo la continuità nel punto 1, che è il punto di raccordo tra i due
sottodomini. In altre parole, devo verificare se il limite che tende a 1 +da destra sia uguale al
limite che tende a 1 −da sinistra. Se il valore dei limiti risulta uguale, la funzione è continua. Se i valori dei limiti sono diversi, la funzione sarà discontinua nel punto 1.
Quindi:
-devo verificare che 𝑙𝑖𝑚𝑥−>1+ 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚𝑥−>1− 𝑓(𝑥)
- la funzione, però, risulta essere diversa per 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥< 1. Quindi risolvo i due limiti separatamente con la rispettiva funzione.
- sostituisco 1 nella prima e nella seconda funzione e trovo i rispettivi limiti.
- se coincidono, la funzione è continua, altrimenti, la funzione è discontinua nel punto 1. Nell’esercizio svolto in classe la Mirabile ci ha anche fatto fare la verifica dei due limiti. Quindi:
-verifichiamo il limite di 1 +trovando l’intorno DX (quando andiamo a fare i calcoli, a sinistra togliamo quello che c’è e mettiamo 1)
- verifichiamo il limite di 1 −trovando l’intorno SX (quando andiamo a fare i calcoli, a destra togliamo quello che c’è e mettiamo 1) In questo modo troviamo i due intorni destro e sinistro della funzione
0
[^ 𝑓 (𝑥) · 𝑔(𝑥)] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) · 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
3° TEOREMA: LIMITE DEL QUOZIENTE DI FUNZIONI
Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti.
Da aggiungere al quoziente:
- 𝑙 1 = ∞, 𝑙 2 = 0 →∞
- 𝑙 1 ≠ 0, 𝑙 2 = ∞→ 0
COME RISOLVERE LE INDETERMINAZIONI:
Abbiamo 4 casi:
- 0/0 (per le funzioni algebriche razionali fratte, in cui x tende a 𝑥 0 )
- (per le funzioni algebriche razionali fratte in cui x tende a )
- Per risolvere + ∞ - ∞, devo mettere in evidenza l'incognita con l'esponente maggiore. In questo modo, alcuni dei termini dentro la parentesi verranno uguali a zero (perché un numero finito fratto infinito fa zero)
- Se x tende a 𝑥 0 e si verifica una forma indeterminata di tipo 0/0, bisogna scomporre numeratore e denominatore.
- Se x tende ad infinito e si verifica una forma indeterminata di tipo , devo, sia al
numeratore che al denominatore, mettere in evidenza la x con l'esponente maggiore (come nel punto 1).
INFINITI E INFINITESIMI
1.INFINITI
CONFRONTO TRA DUE INFINITI: serve per determinare quale delle tue funzioni tende ad infinito più rapidamente
… X che tende a C
CONFRONTO TRA INFINITESIMI
● Il confronto tra infinitesimi permette di capire quale delle due funzioni tende più velocemente a 0
DISCONTINUITA’ DI UNA FUNZIONE
- DI PRIMA SPECIE (o ‘A SALTO’): se esistono finiti il limite destro e sinistro ma sono diversi (spia: c’è il valore assoluto)
Tali limiti assumono valori reali, o sono numeri reali l 1 e l 2. La loro differenza posta in valore assoluto dà origine ad un salto della funzione in tale punto.
DI SECONDA SPECIE: se almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, è infinito o non esiste.
DI TERZA SPECIE: se il limite destro e quello sinistro esistono finiti e sono uguali tra di loro ma non coincidono con la valutazione della funzione nel punto X0.
spia: c’è la forma indeterminata, che deve essere sciolta
Dunque data una funzione y = f (x), si definisce derivata prima della funzione nel punto x0 il limite del rapporto incrementale.
Essa si indica con y’ oppure f(x)’ e geometricamente corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente la funzione.
Nel calcolo delle derivate, ci sono alcuni teoremi e alcune derivate fondamentali. Per ricavarle, basta applicare la definizione.
TEOREMI
- SOMMA ALGEBRICA
La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate.
- PRODOTTO
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata, più il prodotto tra la prima funzione non derivata e la derivata della seconda funzione.
Tuttavia c'è un caso particolare: quando una delle due funzioni corrisponde ad un termine noto (costante), la derivata sarà equivalente al prodotto tra il termine noto e la derivata dell’altra funzione.
- QUOZIENTE
La derivata del quoziente di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata della prima e la seconda non derivata, meno il prodotto tra la prima non derivata per la derivata della seconda, tutto fratto la seconda funzione al quadrato.
Derivata della funzione reciproca:
- FUNZIONE DI FUNZIONE
Il teorema della derivata della funzione composta, detto anche chain-rule, stabilisce che la derivata di una funzione composta si calcola come prodotto tra la derivata della funzione esterna e la derivata della funzione interna; nel caso in cui ci siano più funzioni le une interne alle altre, si inizia dalla più esterna fino alla più interna.
