1
Limiti e continuità
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Limiti e continuità delle funzioni, Slide di Matematica Generale
Una trattazione approfondita dei concetti di limite e continuità delle funzioni. Vengono introdotti i teoremi fondamentali sui limiti, come il teorema dell'unicità del limite, il teorema del confronto e il teorema del limite per funzioni monotone. Inoltre, vengono analizzate le proprietà delle funzioni continue, le diverse tipologie di discontinuità e i concetti di asintoto orizzontale, verticale e obliquo. Una panoramica completa e dettagliata degli argomenti relativi ai limiti e alla continuità, con numerosi esempi e approfondimenti matematici. Questo materiale potrebbe essere particolarmente utile per studenti universitari di corsi di analisi matematica, algebra lineare e calcolo differenziale e integrale.
Tipologia: Slide
2022/2023
1 / 26
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Limiti e continuità
a.a. 2023- 2024
Limiti di funzioni reali
Siano una funzione e punto di accumulazione per
Il limite è uno strumento matematico che permette di descrivere il
comportamento di quando la variabile indipendente assume
valori vicini ad un punto cioè, quando tende a ( )
Se è illimitato (superiormente od inferiormente) l’insieme
ambiente che sarà utilizzato è con la relativa
topologia
I limiti quindi sono legati al dominio della funzione
0
𝐴 𝑓: 𝐴 ⊆ ℜ → ℜ
0
𝐴
0
0
Per esempio:
eccetera..
lim ( )
c
→
f x L
x
lim ( )
c
→
f x
x
0 0 : c− x c + , x c , L − f ( x ) L +
lim ( )=
→ +
f x L
x
0 0 : c− x c + , x c , f ( x )−
0 0 : x L− f ( x ) L +
lim ( )=+
→ −
f x
x
0 0 : x − f ( x )
lim ( )
c
→
f x
x
0 0 : c x c + , x c , f ( x )
Osservazione: sono simboli, non rappresentano
numeri ed hanno senso solo nelle relazioni di limite
+, − ,
5
f
1 ) lim
𝑥→𝑥
0
0
f
2 ) lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = +∞ −∞
+∞, −∞
3 ) lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑓
lim
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = 𝐿 ∈ ℜ
𝑦 = 𝐿
𝑥
0
∈ ℜ e lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = ∞ 𝑥 = 𝑥
0
4 ) lim
𝑥→𝑥
0
=+ ( −)
→
5 ) lim ( ) f x
x x
f
f
Teoremi sui limiti
1) Teorema dell’unicità del limite
Se esiste , allora è unico
lim
𝑥→𝑥
0
𝐿
2 ) Teorema della permanenza del segno
Se con , allora esiste un intorno di in cui
ha lo stesso segno di
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = 𝐿 ∈ ℜ
𝐿 ≠ 0
0
x
𝐿
3) Teorema del confronto
Siano tre funzioni tali che
Se allora
Osservazione: 𝑓 limitata e infinitesima
𝑔 𝑥 , 𝑓 𝑥 , ℎ 𝑥
𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
lim
𝑥→𝑥
0
𝑔 (𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
ℎ (𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = 𝐿
⇒ lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = 0
𝑔
4) Teorema del limite per funzioni monotone
Sia monotona crescente (decrescente) in un intorno destro di
escluso allora:
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = inf 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼
Sia monotona crescente (decrescente)in un intorno sinistro di
escluso allora:
f
0
x
0
x
( lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = sup 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼
)
0
x
f
0
x
lim
𝑥→𝑥
0
−
𝑓 (𝑥) = sup 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼
−
( lim
𝑥→𝑥
0
−
𝑓 (𝑥) = inf 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼
−
)
10
Limiti delle funzioni elementari
- Funzioni potenza con
- Funzioni irrazionali con
- Funzioni esponenziali con
- Funzioni logaritmiche con
- Funzioni trigonometriche e con
f ( x ) = x n
n
−
-
=
→−
lim
senèdispari
senè pari
x
n
x
=+
→+
n
x
lim x
n n
x c
x = c
→
lim
f ( x ) = x n
n
)
-
=
0 ,
senè dispari
senè pari
D
f
=
f
D
x senè dispari
n
x
lim =−
→−
lim =+
→+
n
x
x lim
n n
x c
x = c
→
f ( x )= a a 0, a 1
x
=
f
D
+
=
→ − 0 1
0 1
lim
sea
se a
a
x
x
+
=
→ + 1
0 0 1
lim
sea
se a
a
x
x
x c
x c
a = a
→
lim
f ( x )= log x a 0, a 1
a
f
D
−
+
=
→ 1
0 1
lim log
0 sea
se a
x
a
x
+
−
=
→ + 1
0 1
lim log
sea
se a
x
a
x
x c
a a
x c
lim log =log
→
f ( x ) = cos x =
f
f ( x )= senx D
lim cos =non esiste
→ −
x
x
lim =non esiste
→ −
senx
x
lim cos =non esiste
→+
x
x
lim =non esiste
→ +
senx
x
senx sen ( c )
x c
=
→
lim
x ( c )
x c
lim cos =cos
→
11
Algebra dei limiti
Siano , , e di accumulazione
l’uguaglianza perde di significato se uno dei due limiti è e l’altro è
forma di indecisione:
l’uguaglianza perde di significato se uno dei due limiti è e l’altro è
forma di indecisione:
l’uguaglianza perde di significato se i limiti sono entrambi oppure
forme di indecisione:
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→𝑥
0
𝑔 (𝑥) = 𝑀
𝑎) lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀
𝑏) lim
𝑥→𝑥
0
𝑐) lim
𝑥→𝑥
0
-
0
𝐿, 𝑀 ∈ ℜ
−
0
0
𝑀 ≠ 0
+ −
13
1 ) lim 1
0
→
x
senx
x
3 ) lim 1
0
x
tgx
x
1 cos
lim
1 cos 1
2 ) lim
2
0
2
0
→ →
x
x
x
x
x x
ln ; 0 , 1
1 , lim
4 ) lim
0 0
→ →
a a a
x
a
x
e
x
x
x
x
Limiti notevoli
( )
( )
ln
log
log 1
1 , lim
ln 1
5 ) lim
0 0
→ →
a a
a
e
x
x
x
x
a
a
x x
( )
log
6) lim =+
→ +
a n k
x
x
k
a
n
x
14
k
x
x
x
x
e
x
k
e
x
→ →
lim 1
8 ) lim 1
→+
→ +
x
a
a
a
x
x
x
x
x
9 ) lim 0 , 1 , ; lim
( 1 , 0 , )
log
- lim =+
→ +
a n k
x
x
k
a
n
x
log
10 ) lim =
→ +
a
x
x
a
x
11 ) lim (log ) 0 , 0
0
→
x x
a
x
( )
k
x
x
k
x
=
- −
→
1 1
12 ) lim
0
Confronto locale tra e
Siano e entrambe infinitesime o entrambe infinite per
● : in tal caso si dice che è - piccolo di e si
scrive per , intendendo con ciò che è trascurabile,
nella somma, rispetto a
● : in tal caso si dice che è asintotica a e si
scrive per , intendendo con ciò che e si
comportano allo stesso modo in un intorno di
g
f
f g
f
g
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 = 𝑜(𝑔)
0
x → x
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 1
f g
0
x → x
f
g
f
g
0
x → x
f
g
0
L’introduzione dei concetti di funzione trascurabile e di funzione
asintotica (equivalente) ad un’altra, consente di semplificare
alcuni calcoli di limite
Principio di eliminazione dei termini trascurabili
Principio di sostituzione con funzioni equivalenti
f
Se allora
Se e allora
e
lim
𝑥→𝑥
0
= lim
𝑥→𝑥
0
g
h
k
lim 𝑔, 𝑘 ≠ 0
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥)ℎ(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
Continuità
lim ( ) ( )
0
0
f x f x
x x
=
→
Sia e punto di accumulazione per.
La funzione è continua in se
e questo significa che e che
Inoltre:
● se è punto isolato, allora è continua in per definizione
● è continua in un insieme quando è continua in ogni punto di
tale insieme
f : A →
0
x
A
0
x
f x L
x x
=
→
lim ( )
0
( )
0
L = f x
0
x
0
x
f
f
f
● Se vale solo si dice che è continua a sinistra di
● Se vale solo , si dice che è continua a destra di
● Posto , è continua in quando
o equivalentemente se
x = x + h
0
lim ( ) ( )
0 0
0
f x h f x
h
- =
→
lim ( ) ( ) 0
0 0
0
→
f x h f x
h
● Una funzione composta da funzioni continue è continua
● La funzione inversa di una funzione monotona è monotona nello
stesso verso
● Una funzione continua e monotòna in è invertibile in
● Una funzione continua e invertibile in è monotona in
● Tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio
lim ( ) ( )
0
0
f x f x
x x
→
0
x
a , b
a , b
a , b a , b
0
x
lim ( ) ( )
0
0
f x f x
x x
−
→
f
0