Teorema della maggiorante e della minorante
(Teorema dei "carabinieri")
Il nome esatto sarebbe quello sopra, ma anche in alcuni testi
scolastici ho visto chiamare questo teorema col secondo nome, che
rende bene l' idea del teorema stesso:
il teorema dice questo
Se abbiamo tre funzioni, la prima
maggiore delle altre due (maggiorante)
e la terza minore delle altre due
(minorante) allora se sia la prima che la
terza funzione tendono ad un limite
finito l allora anche la seconda deve
tendere allo stesso limite
Inutile dire che la prima e la terza funzione fanno da carabinieri e
prendono in mezzo la seconda per portarla in prigione nel limite
Dirlo in forma matematica e' un po' piu' laborioso
Se abbiamo tre funzioni:
y=f(x) y=g(x) y=h(x)
tali che
f(x)≥g(x)≥h(x)
se abbiamo inoltre che
limx->x0 f(x)=l e limx->x0 h(x)=l
allora vale anche
limx->x0 g(x)=l
Per un accenno di dimostrazione posso dire che prendendo un
intorno completo che contenga l per f(x) e prendendo un altro
intorno completo che contenga l per h(x) siccome g(x) e' compresa
fra le due funzioni bastera' considerare l'intervallo intersezione dei
due intorni per avere un intorno completo di l per la funzione g(x)
