Teoremi di confronto
Siano fegdue funzioni definite in Xe sia x
0
∈Run punto di accumulazione di X. Si
vede che:
Proposizione (Proposizione) Se esistono i limiti di f e g in x
0
e si ha:
lim
x→x
0
fx>lim
x→x
0
gx,1 #
allora esiste un intorno I di x
0
tale che
fx>gx∀x∈I∩X∖x
0
.2 #
Dimostrazione Supponendo verificata la (1), indichiamo con ℓeλrispettivamente il limite di
f e il limite di g in x
0
. Osserviamo che, assegnato un numero reale a ∈λ,ℓ,
l’intervallo a,+∞contiene un intorno di ℓe l’intervallo − ∞,acontiene un
intorno di λ. Pertanto, esistono due intorni I
1
e I
2
di x
0
tali che:
fx∈a,+∞∀x∈I
1
∩X∖x
0
,
gx∈− ∞,a∀x∈I
2
∩X∖x
0
.
Consegue che, posto I =I
1
∩I
2
, si ha:
fx>a>gx∀x∈I∩X∖x
0
e quindi la tesi.
Segue da questa proposizione che:
Proposizione (Proposizione) Se esiste il limite di f in x
0
e si ha
lim
x→x
0
fx>λ,lim
x→x
0
fx<λλ∈R,
allora esiste un intorno I di x
0
tale che
fx>λfx<λ∀x∈I∩X∖x
0
.
In particolare si ha:
Teorema (Teorema della permanenza del segno) Se esiste il limite di f in x
0
e si ha:
lim
x→x
0
fx>0lim
x→x
0
fx<0,
allora esiste un intorno I di x
0
tale che:
fx>0fx<0∀x∈I∩X∖x
0
.
Dimostrazione Anche se tale risultato e’ la Proposizione precedente per λ=0, preferiamo
darne una dimostrazione diretta.
Indichiamo con ℓil limite di f in x
0
. Se ℓ > 0ℓ < 0, si ha che R
+
R
−
contiene un
intorno di ℓ, e quindi esiste I ∈I
x
0
tale che:
fx∈R
+
fx∈R
−
∀x∈I∩X∖x
0
;
se ne deduce evidentemente la tesi.
Come ovvia conseguenza del teorema della permanenza del segno si ha:
Proposizione (Proposizione) Se esiste il limite di f in x
0
e se per ogni intorno I di x
0
esistono due punti x
1
,x
2
∈I∩X∖x
0
tali che:
