Teorema di Lagrange
Il teorema di Lagrange, anche noto come teorema del valor medio o dell’incremento finito,
è uno dei più importanti risultati a cui è giunta l’analisi matematica. Si applica alle funzioni
di variabile reale (ossia che si presenta come definita sul dominio R o un suo sottoinsieme
e a valori sempre reali) e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una
funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela
alla secante passate per gli estremi.
Cenni su Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Luigi Lagrangia (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi,
10 aprile 1813), è stato un matematico e astronomo italiano attivo, nella sua maturità
scientifica, per ventuno anni a Berlino e per ventisei a Parigi. Viene unanimemente
considerato tra i maggiori e più influenti matematici europei del XVIII secolo. La sua più
importante opera è la Mécanique analytique, pubblicata nel 1788, con cui nasce
convenzionalmente la meccanica razionale. In matematica, è ricordato per i contributi dati
alla teoria dei numeri, per essere tra i fondatori del calcolo delle variazioni, deducendolo
nella "Mecánique", per aver delineato i fondamenti della meccanica razionale, nella
formulazione nota come meccanica lagrangiana, per i risultati nel campo delle equazioni
differenziali e per essere stato uno dei pionieri della teoria dei gruppi. Nel settore della
meccanica celeste condusse ricerche sul fenomeno della librazione lunare e, in seguito,
sui movimenti dei satelliti del pianeta Giove; indagò con il rigore del calcolo matematico il
problema dei tre corpi e del loro equilibrio dinamico.
Enunciato
Sia
f
(
x
)
una funzione continua nell’intervallo chiuso
[
a ; b
]
e derivabile nell’intervallo aperto
(
a ; b
)
. Esiste almeno un punto
c∈
(
a ; b
)
in cui risulta:
f
'
(
c
)
=f
(
b
)
−f(a)
b−a
Le ipotesi sono:
f(x)
continua in
[a ; b]
f(x)
derivabile in
(a ; b)
La tesi è:
∃c∈
(
a; b
)
∨f
'
(
c
)
=f
(
b
)
−f(a)
b−a
1.
f
(
b
)
−f(a)
è l’incremento che la funzione subisce quando si passa dall’estremo
sinistro dell’intervallo all’estremo destro;
2. al denominatore abbiamo
b−a
che è l’incremento della variabile indipendente,
ossia l’ampiezza dell’intervallo
(
a ; b
)
Questo rapporto rappresenta l’incremento medio che la funzione subisce nell’intervallo
[a ; b]
, per questo motivo il teorema di Lagrange lo chiamiamo anche teorema del valore
medio.
Dimostrazione
Per dimostrare il teorema di Lagrange si usa il teorema di Rolle, che richiede un ipotesi
non presente nel teorema di Lagrange, cioè l’uguaglianza dei valori della funzione agli
