Teorema dell'unicita' del limite
Il teorema dell'unicita' del limite dice che il limite, quando esiste, e' unico, cioe' una funzione
non puo' assumere al limite due valori diversi.(in pratica significa che stringendo l'intervallo
l'intervallo stesso non si suddivide ma resta tutto unito anche quando diventa piccolissimo; cosa
d'altra parte necessaria se vogliamo sostituire il concetto di intervallo al concetto di punto)
Per dimostrarlo basta ragionare per assurdo: supponiamo che non sia vero il risultato e
mostriamo che non e' vero il teorema.
se non fosse vero che abbiamo un solo valore ne avremmo due diversi, ma allora questi due
valori sarebbero due punti ad una certa distanza, allora se prendiamo epsilon minore di quella
distanza l'intervallo non potra' contenere entrambe i limiti e quindi non vale il concetto di limite.
In termini matematici sembra un po' piu' complicato, ma e' la stessa cosa
Supponiamo esistano due limiti e dimostriamo che in tal caso non puo' esistere nessun limite.
I due limiti siano
limx->x0 f(x)=l1
limx->x0 f(x)=l2 con l1<l2
Essendo i due limiti diversi la loro differenza in modulo sara' la distanza
distanza=|l1-l2 |
ora pongo
= | l1-l2 | /2
cioe' scelgo uguale alla meta' della distanza ed il gioco e' fatto: ho creato una coperta troppo
corta che non puo' coprire contemporaneamente i due limiti
Ora e' impossibile avere contemporaneamente
|f(x)-l 1 |<
|f(x)-l 2 |<
Perche' l'intervallo non puo' coprire contemporaneamente l 1 ed l 2 in quanto la loro distanza e'
maggiore di ed allora non puo' esistere il limite. Come volevamo dimostrare
Teorema della permanenza del segno
