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Tre teoremi fondamentali riguardanti i limiti delle funzioni: Teorema dell'unicità del limite, Teorema della permanenza del segno e Teoremi del confronto I e II. Questi teoremi sono utili per capire come comportano le funzioni quando i loro argomenti tendono a valori finiti o infiniti.
Tipologia: Sintesi del corso
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TEOREMI FONDAMENTALI SUI LIMITI I teoremi e le proprietà che seguono sono relativi a funzioniche ammettono limite (sia finito che infinito) per
x^ che tende
ad un numero finito
oppure per
x^ che tende ad infinito. Per
semplicità, li enunceremo e li dimostreremo nel caso in cui lafunzione
f^ (
x) considerata ammetta limite finito per
x^
che
tende ad un numero finito
Teorema di unicità del limite Sia^
f^ (x) definita in un intervallo I (limitato o non limitato) fatta eccezione al più per un punto
∈ ᠵ. Se esiste il limite di
f^ (x
per
⡨
tale limite
è unico.
DIM. Supponiamo per assurdo che la funzione ammetta due limitidiversi per
⡨
lim
け→け
e^ lim
け→け
con
䙦ᡤ − –, ᡤ + –䙧 ∩ 䙦ᡥ − –, ᡥ + –䙧 = ∅se
allora
ᡥ^ +^
L'assurdo deriva dall'aver supposto che
quindi deve essere
Dim.
Per ipotesi sappiamo che
lim け→けㄖ
Per definizione di limite
⡨
in particolare poiché
-^ è scelto arbitrariamente possiamo
porre
e quindi la definizione di limite diventa
-^ se
e quindi ∃‒ > 0: ∀ᡶ ∈ 䙦ᡶ
⡨
-^ se
e quindi
∃‒ > 0: ∀ᡶ ∈ 䙦ᡶ
⡨
Dim.
Per ipotesi sappiamo che
lim け→けㄖ
ᡘ䙦ᡶ䙧 = lim
け→け
Dalla definizione di limite si ha^ •^ ∀– > 0∃‒
⡨
⡨
valgono entrambe le condizioni
Teorema del confronto II Analogamente per
. Se
⡨
lim け→けㄖ
䚃 ⇒ lim
け→け
⡨
lim け→けㄖ
䚃 ⇒ lim
け→け
