Appunti sul calcolo della risposta libera 𝒙(𝒕)=𝒆𝑨𝒕𝒙(𝟎)
Sia dato il sistema dinamico lineare , tempo invariante Σ={𝑥(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡)+𝐵𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)
A matrice reale nxn
Un vettore 0
ui Cn tale che Aui = ui
i per qualche
i C è detto autovettore destro di A associato
all’autovalore
i.
Gli autovalori di A sono tutte e sole le soluzioni
1, …,
n C dell’equazione
det(
I –A) = P(
)=
n + a1
n-1 + …. + an (
0) = 0 (1)
Il polinomio P(
) prende il nome di polinomio caratteristico della matrice A e dunque gli autovalori sono le
radici di P(
).
CASO 1 - Autovalori distinti
Supponiamo che A abbia n autovalori distinti (cioè che l’equazione (1) abbia n soluzioni di molteplicità 1 in C)
1, …,
n C.
Gli autovettori associati u1, …, un Cn sono linearmente indipendenti (formano una base di Cn).
Possiamo scrivere 𝐴[𝑢1… 𝑢𝑛]=𝐴𝑈=𝑈[𝜆10 0
… … …
0 0 𝜆𝑛]=𝑈Λ (1)
e di conseguenza vale anche la relazione
𝑈−1𝐴=[𝑣1𝑇
…
𝑣𝑛𝑇]𝐴=[𝜆10 0
… … …
0 0 𝜆𝑛]𝑈−1=Λ𝑈−1
Poiché 𝑣𝑖𝑇𝐴 = 𝜆𝑖𝑣𝑖𝑇, i vettori vi vengono detti autovettori sinistri di A.
Osserviamo che, poiché P(
) è un polinomio a coefficienti reali, se
i = ai + jbi è un autovalore complesso (parte
immaginaria bi
0) di A, anche il complesso coniugato
i* = ai - jbi è un autovalore di A. Se ui è autovettore
destro associato a
i, avremo ui = uai + jubi e l’autovettore ui* = uai - jubi è associato a
i*.
Dalla relazione (1) si ha 𝐴=𝑈[𝜆10 0
… … …
0 0 𝜆𝑛]𝑈−1=𝑈Λ𝑈−1 e di conseguenza
𝑒𝐴𝑡=𝑒𝑈Λ𝑈−1𝑡=∑1
𝑘!(𝑈Λ𝑈−1)𝑘𝑡𝑘
+∞
𝑘=0 =
=𝐼+(𝑈Λ𝑈−1)𝑡+1
2!(𝑈Λ𝑈−1)(𝑈Λ𝑈−1)𝑡2+1
3!(𝑈Λ𝑈−1)(𝑈Λ𝑈−1)(𝑈Λ𝑈−1)𝑡3 +⋯=
=𝐼+(𝑈Λ𝑈−1)𝑡+1
2!(𝑈Λ2𝑈−1)𝑡2+1
3!(𝑈Λ3𝑈−1)𝑡3+⋯=
=𝑈(∑1
𝑘!Λ𝑘𝑡𝑘
+∞
𝑘=0 )𝑉𝑈−1=𝑈
[
∑1
𝑛!𝜆1
𝑘𝑡𝑘
+∞
𝑘=0 0 0
… … …
0 0 ∑1
𝑘!𝜆1
𝑘𝑡𝑘
+∞
𝑘=0
]
𝑈−1=𝑈[𝑒𝜆1𝑡0 0
… … …
0 0 𝑒𝜆𝑛𝑡]𝑈−1
Tornando al calcolo della risposta si ha dunque
