Test di verifica d'ipotesi nella statistica inferenziale, Dispense di Statistica Medica

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VERIFICA DI IPOTESI

STATISTICA – INFERENZA

Sperimentazione dell’orario flessibile per ridurre l’assenteismo: in un

campione di dipendenti il numero medio di giorni di assenza è di 5,5 contro

6,3 in passato  la sperimentazione ha effetti positivi?

Standard di produzione = confezioni di 200 g: in un campione il peso medio

è 207,75 g  il processo è fuori controllo?

Obiettivo di mercato = 10%: quota stimata in un campione di consumatori =

9,3%  l’obiettivo è stato mancato?

Parametro ignoto dell’universo ( , )

Informazioni campionarie  l’obiettivo non è una stima numerica del

parametro ma la verifica di una congettura su di esso (ad es. se è variato

rispetto al passato)  test

Verifica d’ipotesi

PROVA DA EFFETTUARE

 quali valori di X (numero di risposte esatte) conducono a ritenere che lo studente sia effettivamente preparato? Distribuzione campionaria di X Se X ~ B(10, 0,25) (risposte a caso):

 E(X) = 2,5: in media ci possiamo aspettare 2 o 3 risposte esatte per il solo effetto del caso

 Riteniamo lo studente preparato se X è “sufficientemente maggiore” di 2,5 (ad es: X  6) : o si è verificato un evento raro (lo studente, pur impreparato, è molto fortunato), o lo studente è effettivamente preparato

 Cosa si intende per "sufficientemente maggiore" di 2,5? Probabilità di errore nota dalla distribuzione campionaria di X: nell’esempio P(X  6) = 1,98%

FORMALIZZAZIONE DI UN TEST STATISTICO

  = parametro ignoto dell’universo (ad es.: ,  )

 T = indice campionario (ad es: , P)  statistica test

 Prima dell’ estrazione: T è una variabile aleatoria

 H 0 = ipotesi nulla ipotesi da sottoporre a verifica

H 0 :  =  0

  0 = valore fissato a priori in base al problema (non dipende dai dati)

 Esempio: ipotesi nulla = lo studente risponde a caso H 0 :  = 0,

X

Distribuzione campionaria di T  suddivisa in 2 zone:  zona di rifiuto di H 0 ( "regione critica" ) = insieme di valori di T a cui è associata una piccola probabilità di verificarsi se H 0 è vera;  zona di accettazione di H 0 = comprende i restanti valori di T. Esempio: T = X =n. di risposte esatte

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X = numero di risposte esatte

P(X = s)

Zona di rifiuto:

X  6

In pratica si osserva lo specifico valore T = t

Se:

 t cade nella zona di rifiuto  si ritiene H 0 falsa (e H 1 vera)

 t cade nella zona di accettazione  non si può ritenere H 0 falsa ( accetto H 0 )

Esempio:

 Almeno 6 risposte esatte  si ritiene lo studente preparato

 (rifiuto H 0 : lo studente risponde a caso

cioè rifiuto H 0 :  = 0,25)

 Meno di 6 risposte esatte  non si può ritenere lo studente preparato

(accetto H 0 )

Obiettivo del test: attraverso un campione di osservazioni stabilire, con un certo

grado di attendibilità, se poter rifiutare o meno l’ipotesi nulla a favore

dell’ipotesi alternativa.

RIASSUMENDO:

Ipotesi statistica : una congettura riguardante un parametro della popolazione.

Si distinguono due ipotesi contrapposte:

• ipotesi nulla, indicata con H 0
• ipotesi alternativa, indicata con H 1

L’ipotesi nulla è pre-esistente all’osservazione dei dati campionari, ritenuta vera

fino a prova contraria.

Esempio:

Secondo il costruttore di un certo tipo di batterie per autovetture, la durata media è di 3400 ore. Un cliente, per verificarne la durata, osserva un campione di 30 batterie:

H 0 : le batterie hanno durata media di almeno 3400 ore H 1 : le batterie hanno durata media inferiore a 3400 ore

è lo spazio parametrico, ossia l’insieme di tutti i possibili valori che può assumere e sono i sottospazi che formano una partizione dello spazio parametrico. Indichiamo le due ipotesi con il seguente sistema:

   0  1

Formulazione delle ipotesi

1 1

0 0 



H :

H :

1

0 



H :

H :

Un test statistico è una regola che permette di discriminare i campioni che

portano all’accettazione dell’ipotesi nulla da quelli che portano al suo rifiuto.

Il test si basa sul valore assunto da una statistica test.

La statistica test è una statistica campionaria la cui distribuzione deve essere

completamente nota sotto l’ipotesi nulla.

L’insieme dei valori della statistica test che portano all’accettazione dell’ipotesi

nulla è chiamata regione di accettazione.

L’insieme dei valori della statistica test che portano al rifiuto dell’ipotesi nulla è

chiamata regione di rifiuto.

REGIONE DI ACCETTAZIONE E DI RIFIUTO

I DUE POSSIBILI ERRORI IN UN TEST

Realtà

Conclusioni

Accetto H 0 Rifiuto H 0

H 0 è vera Decisione corretta prima specieErrore di

H 0 è falsa seconda specieErrore di Decisione corretta

Esempio: Supponiamo che la popolazione sia Normale con media incognita e varianza nota. Si vuole verificare:

Considerando come statistica test la media campionaria sappiamo che sotto l’ipotesi nulla questa si distribuisce come una Normale con media e varianza

1 0

0 0

H :

H :

^2

X

   0

^2 n

Dalla figura si può vedere che i valori critici definiscono la zona di accettazione e che dipendono dal livello di significatività  : maggiore è il suo valore, più ampia sarà la regione di rifiuto

P-VALUE (APPROCCIO INVERSO)

 Livello di significatività osservato ( P - value) = probabilità che la v.a. T assuma valori più estremi di quello osservato nel campione ( t ) quando H 0 è vera.

t

Area sottesa = P ( T  t )

• E’ una quantità che misura l’evidenza fornita dai dati contro l’ipotesi nulla: minore è il valore del p-value, più è forte l’evidenza contro l’ipotesi nulla.
• In pratica: se il p-value è <  rifiuto H 0

H 1 unilaterale destra: P-value = P {T  t, dato  =  0 }

errore del I tipo: si rifiuta l’ipotesi nulla mentre questa è vera.

errore del II tipo: si accetta l’ipotesi nulla mentre questa è falsa

ERRORI DI I E II TIPO

Decisione Accetto H 0 Rifiuto H 0 H 0 è vera Corretta 1 - 

Errore del I tipo  H 0 è falsa Errore del II tipo 

Corretta 1 - 

•  è la probabilità di commettere l’errore del I tipo. E’ detto livello del test.
• 1 -  è detto coefficiente di confidenza del test.
•  è la probabilità di commettere l’errore del II tipo.
• 1 -  viene detto potenza del test e corrisponde alla probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando questa è falsa.