Teoria della funzione e derivata, Sintesi del corso di Matematica

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TECLA

SPELGATTI

TEORIA MATEMATICA

per la classe 5°

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che significa che la ݕ, chiamata anche VARIABILE DIPENDENTE , è funzione della ݔ, chiamata anche VARIABILE

INDIPENDENTE.

Dunque, riassumendo, possiamo dire che la funzione lega tra loro due elementi:

 La variabile indipendente x, appartenente all’insieme X, chiamato dominio.

 La variabile dipendente y, appartenente all’insieme Y, chiamato codominio.

Ricorda che sull’ asse x , chiamato anche asse delle ascisse, si legge la variabile ࢞ , chiamata anche solo

variabile, mentre sull’ asse y , chiamato anche asse delle ordinate, si legga la variabile ݕ, chiamata funzione ,

poiché la ݕ è uguale a tutta l’espressione matematica, indicata con ݂ (ݔ).

qui si legge la variabile x

q

u

i

s

i

l

e

g

g

e

l

a

f

u

n

z

i

o

n

e

y

Ricorda quindi che quando si parla di funzione si intende tutta l’espressione matematica contenente la ݔ

oppure si intende la ݕ (tanto sono la stessa cosa).

Ad esempio, la retta:

è una funzione. La variabile è la ݔ, che si legge sull’asse orizzontale; la funzione è la ݕ che è uguale a 2 ݔ +

3 , e si legge sull’asse verticale.

A volte, quando si ha a che fare con più funzioni in uno stesso esercizio, si utilizzano altre lettere, oltre alla

݂ per indicare la funzione. Ad esempio:

dove ℎ(ݔ) è un espressione matematica e ݂ (ݔ) è un’altra espressione matematica.

Lo studio delle funzioni e tutto ciò che ne consegue prende il nome di ANALISI MATEMATICA.

Il programma della classe 5° prevede lo studio di una certa categoria di funzioni, chiamate funzioni reali di

variabile reale.

Sono cioè quelle funzioni in cui gli insiemi Y e X sono sottoinsiemi dei numeri reali. Esistono anche funzioni

in cui le variabili sono numeri complessi, ma questo non è programma delle scuole superiori.

In questa sezione studieremo dunque l’analisi di funzione ݕ reale di variabile ݔ reale.

Lo studio di funzione prevede il calcolo analitico (cioè è necessario trovare i numeri partendo

dall’espressione matematica della funzione) di alcune cose:

 Dominio

 Simmetrie

 Intersezioni con gli assi

 Segno

 Asintoti

 Massimi, minimi e monotonia

 Flessi e concavità

Ognuna di queste cose può essere trovata tramite dei metodi matematici a partire dall’espressione

matematica della funzione.

Prima di studiare analiticamente una funzione dovremo però imparare a farne lo studio grafico, cioè

dobbiamo determinare le caratteristiche della lista precedente dall’osservazione del grafico.

Inoltre, prima di poter affrontare lo studio analitico, sarà necessario imparare ad utilizzare due importati

strumenti della matematica: il limite e la derivata.

1.2. Caratteristiche delle funzioni

In questo paragrafo cercheremo di capire cosa sono e come si individuano graficamente le caratteristiche

elencate nel paragrafo precedente.

1.2.1. Dominio e codominio

Il dominio e il codominio sono tra le cose più importanti da capire per lo studio delle funzioni.

Spendiamo dunque due parole su questi due insiemi.

Il dominio

Il dominio, o campo di esistenza di una funzione, è il sottoinsieme di ℝ nel quale la funzione è definita. In

pratica è l’insieme dei valori che si possono dare alla ݔ.

Su un grafico, il dominio è quella porzione dell’asse ݔ in cui la funzione esiste. Osserviamo ad esempio il

grafico della funzione seguente:

Dominio: ( 0 ; +∞)

Codominio: [ 0 ; +∞)

Attenzione: il punto ݔ = 0 è escluso dal dominio poiché il logaritmo non può mai avere argomento nullo. Il

codominio invece comprende lo zero poiché quando ݔ = 1 , il logaritmo è ln

Esempio 2 :

ݕ = 2 sin( 3 ݔ)

Dominio: (−∞; +∞)

Codominio: [− 2 ; + 2 ]

Esempio 3 :

௫

Dominio: (−∞; +∞)

Codominio: ( 1 ; +∞)

Attenzione: il codominio non è mai inferiore a ݕ = 1. Infatti questa funzione, pur avvicinandosi alla retta

tratteggiata, non scende mai sotto di essa. Vedremo più avanti che una retta di questo tipo si chiama

asintoto orizzontale.

Esempio 4 :

Dominio: [− 1 ; +∞)

Codominio: [ 0 ; +∞)

Attenzione: gli estremi dell’intervallo sono compresi. Infatti la radice può anche avere argomento nullo (in

questo caso ݔ = − 1 ).

Esempio 5:

Il punto P e il punto P’ appartengono entrambi alla funzione e sono simmetrici rispetto all’asse ݕ. Infatti le

loro coordinate ݔ sono una opposta all’altra:

௉

௉ᇱ

E le loro coordinate ݕ sono uguali:

Infatti:

Risulta anche:

Affinché una funzione sia simmetrica rispetto all’asse ݕ questa proprietà deve valere per tutti i punti, cioè

per qualunque valore di ݔ. E’ quindi necessario trovare un modo per indicare questa proprietà:

UNA FUNZIONE SI DICE PARI SE

che si legge: per ogni ݔ appartenente a ℝ la funzione calcolata in ݔ assume lo stesso valore della funzione

calcolata in −ݔ.

Funzioni dispari

Da un punto vista matematico, affinché una funzione sia dispari è necessario che sia verificata la seguente

uguaglianza:

Graficamente si vede che una funzione simmetrica rispetto alla retta ݕ = ݔ assume valori uguali e opposti

(cioè con segno cambiato) per ogni coppia di punti la cui coordinata ݔ è simmetrica.

Cioè, scelto un punto P la cui coordinata ݔ sia ݔ

௉

, il suo simmetrico di coordinata ݔ

௉ᇱ

௉

deve avere

coordinata ݕ pari a ݕ ௉

௉

Osserviamo ad esempio la funzione seguente:

ଷ

Infatti si può calcolare che:

E anche

Bisogna però scrivere questa proprietà in modo che sia rispettata in ogni punto ݔ.

Dunque, UNA FUNZIONE È DISPARI SE

che si legge: per ogni ݔ appartenente a ℝ la funzione calcolata in ݔ assume valore uguale e opposto a

quello della funzione calcolata in −ݔ.

Riassumendo:

UNA FUNZIONE SI DICE PARI SE ∀߳ݔ ℝ → ݂

UNA FUNZIONE SI DICE DISPARI SE ∀߳ݔ ℝ → ݂

1.2.3. L’intersezione con gli assi

Su questo punto non ci soffermeremo a lungo poiché si tratta di cose già viste nella prima parte del corso.

L’intersezione con l’asse ݔ si fa risolvendo il seguente sistema:

Quello che si ottiene sono dei punti (che possono essere più di uno o possono anche non esserci) nei quali

la funzione (cioè la ݕ) assume valore zero.

L’intersezione con l’asse ݕ si fa risolvendo il seguente sistema:

Esempio 3 :

1.2.5. Gli asintoti

Gli asintoti sono delle rette a cui la funzione si avvicina sempre di più, senza mai toccarle. Essendo rette, gli

asintoti possono essere di tre tipi:

 Orizzontali

 Verticali

 Obliqui

Una funzione può avere uno di questi tipi di asintoto, può avere sia degli asintoti verticali che orizzontali, o

verticali e obliqui, ma non può mai avere sia gli asintoti obliqui che quelli orizzontali perché altrimenti ad un

valore della x corrisponderebbero due valori della y.

Per il calcolo analitico degli asintoti è necessario utilizzare uno strumento matematico, chiamato limite, che

impareremo ad usare nel prossimo capitolo.

Esempio 1 :

Asintoto orizzontale di equazione ݕ = 2 :

Asintoto verticale di equazione: ݔ = − 3

Esempio 2 :

y = 2

୶

Asintoto orizzontale di equazione: ݕ = 1

Esempio 3 :

ଶ

Asintoto verticale di equazione: ݔ = − 2

Asintoto obliquo di equazione: ݕ = ݔ − 2

Se invece la funzione può anche rimanere costante, oltre che crescere, si dice che è crescente, ma non

strettamente. Matematicamente, si dice che una funzione è crescente se

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

Invece un esponenziale con base minore di 1 decresce sempre:

In termini matematici, una funzione è strettamente decrescente se

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

Una funzione che oltre a decrescere può anche rimanere costante si dice che è decrescente, ma non

strettamente se

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

Se una funzione non è monotona, cioè un po’ cresce e un po’ decresce, ci deve essere un punto in cui passa

dall’essere una funzione crescente ad essere una funzione decrescente, o viceversa.

Osserviamo ad esempio la seguente funzione:

ଶ

Nel punto ݔ = 1 questa funzione passa dall’essere decrescente all’essere crescente.

Questo punto è quello che ha ordinata più piccola, è cioè un PUNTO DI MINIMO , un punto cioè in cui la

funzione ݂ (ݔ) assume il più piccolo valore possibile.

Si dice anche che la funzione è limitata inferiormente.

La curva seguente invece è esattamente il contrario:

ଶ

Nel punto ݔ = − 1 questa funzione passa dall’essere crescente all’essere decrescente.

Questo punto è quello che ha ordinata più grande, è cioè un PUNTO DI MASSIMO , un punto cioè in cui la

funzione ݂ (ݔ) assume il più grande valore possibile.

Si dice anche che la funzione è limitata superiormente.

Osserviamo infine una curva che ha sia un punto di massimo che un punto di minimo:

ଷ

Nel punto ݔ = − 1 questa funzione passa dall’essere crescente all’essere decrescente. Siamo quindi in

presenza di un punto di massimo.

Nel punto ݔ = 1 la funzione passa dall’essere decrescente all’essere crescente. Siamo quindi in presenza di

un punto di minimo.

La funzione non è limitata: i due punti di massimo e minimo non sono assoluti. Infatti al di sopra del punto

di massimo ci sono altri valori. Si tratta quindi di un PUNTO DI MASSIMO LOCALE (cioè è il massimo rispetto ai

punti circostanti.)

Dominio

Simmetrie: ne pari ne dispari

Intersezione con l’asse y: ܣ( 0 ; − 1 )

Intersezione con l’asse x: ܤ

ି ଷି √

ହ

ଶ

ି ଷା √

ହ

ଶ

Segno: ݂ (ݔ) > 0 →

ି ଷି √ହ

ଶ

ି ଷା√ହ

ଶ

Asintoti: nessuno

Massimi e minimi: ܲ

௠௜௡

ି ଶା√ଵ଴

ଷ

ଶହି ଶ଴√ଵ଴

ଶ଻

௠௔௫

ି ଶି √ଵ଴

ଷ

ଶହାଶ଴√ଵ଴

ଶ଻

Flessi: ܲ ி

ଶ

ଷ

ଶହ

ଵ଻

Esempio 2 :

Dominio

Simmetrie: ne pari ne dispari

Intersezione con l’asse y: ܣ

Intersezione con l’asse x: ܤ ቀ−

ଵ

ଶ

Segno: ݂ (ݔ) > 0 → ݔ < −

ଵ

ଶ

Asintoto verticale in ݔ = 1

Asintoto orizzontale in ݕ = 2

Massimi e minimi: nessuno

Flessi: nessuno

1.4. Studio della funzione

Lo studio di una funzione consiste nel disegnare il grafico data l’espressione matematica di una funzione.

Esiste un procedimento da seguire per arrivare a disegnare la funzione ed esistono degli strumenti

matematici, che vedremo nei prossimi capitoli, per calcolare quello che ci serve.

Uno studio di funzione inizia con l’espressione matematica di una funzione:

E’ quindi necessario:

 Calcolare il dominio

 Trovare eventuali simmetrie

 Trovare le intersezioni con gli assi

 Studiare il segno della funzione

 Trovare eventuali asintoti

 Studiare la monotonia della funzione

 Studiare la concavità della funzione

 Fare il grafico

Nei prossimi capitoli impareremo a calcolare tutte queste cose.