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INTRODUZIONE ALLA DERIVATA
Supponiamo di voler trovare l’inclinazione della retta secante PQ
D!
D"
#(%
!
&'))#(%
!
)
(%
!
&'))(%
!
)
#(%
!
&'))#(%
!
)
'
: tale formula prende il nome di tasso medio di variazione della
funzione f tra x 0
e x 0
Se poi supponiamo di avvicinare quanto più possibile x 0
, otterremmo cosi tale funzione
lim
'→+
( % !
&'
) )#
( % !
)
'
il cui nome è tasso di variazione di f nel punto x 0 : se tale limite esiste, allora
chiameremo questo risultato DERIVATA di f nel punto x 0
, ed il suo significato geometrico è il
coefficiente angolare della retta tangente al punto x 0
DERIVATA
Derivata di funzioni elementari
FUNZIONE f(x) DERIVATA f’(x)
COSTANTE 0
x
a
ax
a- 1
(ricorda √𝑥 = x
1/
e 1/x = x
a
x
a
x
ln(a)
e
x
e
x
log a
(x)
𝑥 ln (a)
ln(x)
DERIVATA SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO, QUOZIENTE
FUNZIONE f(x) DERIVATA f’(x)
f(x) + g(x) f’(x) + g’(x)
f(x) - g(x) f’(x) - g’(x)
f(x) g(x) f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
,
[𝑔(𝑥)]
DERIVATA COMPOSIZIONE
f(g(x)) à f’(g(x))*g’(x)
àPRIMA DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA f MANTENEDO g(x) UGUALE
à DOPO MOLTIPLICO f’ PER LA DERIVATA g’
ESEMPIO
log (5x + x
3
à derivo logaritmo (funzione esterna f) mantenendo l’argomento (cioe g, in questo caso 5x + x
3
uguale.
La derivata del log (x) è
ma in questo caso, mantenendo uguale l’argomento, la derivata del logaritmo [f’(g(x))] è
5x + 𝑥
.
à a ciò moltiplico la derivata di g (in questo caso g’(x)= 5+3x
2
La derivata della funzione composta f(g(x)) è quindi
5x + 𝑥
.
COSA INDICA LA DERIVATA PRIMA?
La derivata prima matematicamente indica il coefficiente angolare della retta tangente del grafico
di f(x) in un punto (se voglio sapere l’effettiva equazione della retta passante per quel punto la
formula è y=f(x 0
) + f’(x 0
)*(x - x 0
Lo studio della derivata mi permette di capire dove la funzione f(x) è crescente (o strettamente
crescente) o decrescente (o strettamente decrescente) questo perché
SE f: Ià R (se la funzione ha dominio in un certo intervallo e codominio in R) e f è derivabile in I:
- Se f’(x) ³ 0 per ogni x appartenenti all’intervallo I Û f è crescente nell’intervallo (la freccia
va in entrambi i sensi, cioè posso dire che la funzione è crescente se la derivata è positiva,
oppure che la derivata è positiva poiché la funzione è crescente)
- Se f’(x) £ 0 per ogni x appartenenti all’intervallo I Û f è decrescente nell’intervallo (la
freccia va in entrambi i sensi, cioè posso dire che la funzione è decrescente se la derivata è
negativa, oppure che la derivata è negativa poiché la funzione è decrescente)
- Se f’(x) = 0 per ogni x appartenenti all’intervallo I Û f è costante (la freccia va in entrambi i
sensi, cioè posso dire che la funzione è costante se la derivata è 0, oppure che la derivata è
0 poiché la funzione è costante)
a punto interno di Dom f
f derivabile in a
a punto i massimo o minimo locale di f
ALLORA, se queste ipotesi sono vere, f’(a) = 0, cioè a è punto stazionario
STRATEGIA DI CALCOLO PER I PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO
Calcolare f’(x)
Risolvere f’(x) = 0 à cioè trova i punti stazionari (unici candidati per essere punti di
massimo o di minimo)
- Risolvi f’(x) ³ 0 à studia la monotonia della disequazione, cioè trova dove f’ è maggiore di
0 e dove f’ è minore di 0.
- Confronta i risultati trovati: se prima del punto stazionario f’>0 (cioè f cresce) e dopo il
punto stazionario f’<0 (cioè f decresce) allora il punto stazionario è punto di massimo; al
contrario se prima del punto stazionario f’<0 (cioè f decresce) e dopo il punto stazionario
f’>0 (cioè f cresce) allora il punto stazionario è punto di minimo; infine se sia prima del
punto stazionario che dopo f’> 0 (cioè f cresce) oppure f’<0 (cioè f decresce), tale punto
stazionario non è né di massimo né di minimo
CONCAVITÀ E CONVESSITÀ DI UNA FUNZIONE
CONVESSA CONCAVA
à f definita in un intervallo I (sottoinsieme di R) si dice COVESSA in I se presi due punti qualsiasi
sul grafico di f, il segmento che li unisce sta SOPRA oppure SUL grafico
à f definita in un intervallo I (sottoinsieme di R) si dice CONCAVA in I se presi due punti qualsiasi
sul grafico di f, il segmento che li unisce sta SOTTO oppure SUL grafico
à f è STRETTAMENTE CONVESSA in I se presi due punti qualsiasi sul grafico di f il segmento che li
unisce sta SOPRA al grafico (estremi esclusi)
à f è STRETTAMENTE CONCAVA in I se presi due punti qualsiasi sul grafico di f il segmento che li
unisce sta SOTTO al grafico (estremi esclusi)
TEOREMA
f: I à R derivabile 2 volte in I :
- f’’(x) ³ 0 per ogni x appartenente a I Û f’(x) è crescente in I Û f è convessa in I
- f’’(x) £ 0 per ogni x appartenente a I Û f’(x) è decrescente in I Û f è concava in I
- f’’(x) > 0 per ogni x appartenente a I Þ f è strettamente convessa in I
- f’’(x) < 0 per ogni x appartenente a I Þ f è strettamente concava in I
TEOREMA (LOCALE-GLOBALE)
- f: I à R concava in I, in tal caso ogni punto di massimo locale di f è anche punto di massimo
globale
- f: I à R convessa in I, in tal caso ogni punto di minimo locale di f è anche punto di minimo globale
TEOREMA CONDIZIONE SUFFICIENTE
- f: I à R concava in I e derivabile in I, allora ogni punto stazionario di f (f’ = 0) è un punto di
massimo globale
- f: I à R convessa in I e derivabile in I, allora ogni punto stazionario di f (f’ = 0) è punto di
minimo globale
TEOREMA
o f: I à R
o f derivabile in a
o a punto interno di I Þ a punto di MASSIMO GLOBALE di f in I
o f’(a) = 0
o f concava in I
o f: I à R
o f derivabile in a
o a punto interno di I Þ a punto di MINIMO GLOBALE di f in I
o f’(a) = 0
o f convessa in I
COROLLARIO
o f: I à R
o f derivabile 2 volte in I
o a punto interno di I Þ a punto di MASSIMO GLOBALE di f in I
o f’(a) = 0
o f’’(x) < 0
o f: I à R
o f derivabile 2 volte in I
o a punto interno di I Þ a punto di MINIMO GLOBALE di f in I
o f’(a) = 0
o f’’(x) > 0
TEOREMA
o f: I à R
o f derivabile 2 volte in I
o a punto interno di I Þ a punto di MASSIMO LOCALE STRETTO di f in
I
o f’(a) = 0
o f’’(x) < 0
Se il limite da destra lim
%→/
"
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) allora la funzione è continua da destra
Se il limite da sinistra lim
%→/
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) allora la funzione è continua da sinistra
Se la funzione è continua da destra e anche da sinistra f è continua.
Cioe: f è continua se lim
%→/
LIMITI A + ¥ E - ¥
DEFINIZIONE
à Intorno di +¥ (k, +¥)
à Intorno di - ¥ (-¥, k)
lim
%→&¥
𝑓(𝑥) = +¥ se per ogni intorno I di +¥ esiste un intorno J di +¥ tale che se x appartiene
a J, f(x) appartiene ad I
lim
%→)¥
𝑓(𝑥) = −¥ se per ogni intorno I di - ¥ esiste un intorno J di - ¥ tale che se x appartiene a
J, f(x) appartiene ad I
LIMITI NOTI
Tale tabella vale per tutti i casi in cui ci sia un numero reale fratto infinito (attenzione ai
segni!)
K
K
Alcuni limiti notevoli
Nello studio dei limiti possiamo incorrere in FORME INDETERMINATE:
Le forme che riteniamo essere più rilevanti sono
; oppure
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Sia f: [a, b] à R, f continua nell’intervallo chiuso [a, b], allora f ha massimo e minimo
nell’intervallo [a, b], ovvero f ha almeno un punto di massimo globale e almeno un punto di
minimo globale nell’intervallo
INTEGRALI INDEFINITI
Supponiamo di avere il grafico di una funzione e il grafico della sua derivata: al grafico della
derivata corrispondono infiniti grafici della funzione di partenza in quanto essi possono
differire per una sola costante (infatti f’=0)
TEOREMA
F’(x)=0 per ogni x appartenente a I Û F(x) = k è costante in tutto l’intervallo
COROLLARIO
F’(x)= G’(x) per ogni x appartenente a I Û F(x) e G(x) differiscono per una costante in I
DIMOSTRAZIONE
Se F’(x)=G’(x) in I Û F’(x) - G’(x)= 0 in I Û D (F(x)- G(x)) = 0 in I Û F(x)- G(x)= costante per
ogni x appartenente a I
Possiamo pensare all’integrale come alla funzione inversa della derivata, cioè data la
derivata, attraverso l’integrale ricavo la funzione di partenza: l’unico problema è che
poiche la derivata di una costante è 0, partendo dalla derivata per andare alla funzione di
partenza mi mancherà la costante della funzione, perciò dopo aver trovato la funzione di
partenza si dovrà aggiungere c o k.
DEFINIZIONE
TEOREMA
Data una funzione f: Ià R si dice che F: I à R è una PRIMITIVA di f se F’(x)= f(x) per ogni x
appartenente a I. L’insieme delle primitive si indica con
,
INTEGRALI NOTI
FUNZIONE f(x) PRIMITIVA F(x)
/
%
%"&
/& 3
ln|𝑥| + 𝑐
%
%
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO
PROPRIETÀ DI LINEARITÀ
INTEGRALI DEFINITI
f: [a, b] à R ; f continua; f(x) ³ 0 per ogni x appartenente a [a, b]
Supponiamo di voler calcolare l’area del grafico compresa tra a, b, l’asse x e il grafico di f(x)
Chiamiamo A(x) l’area colorata di rosso
Chiamiamo A(x+h) l’area colorata di rosso + l’area colorata di blu
Ma se volessimo calcolare solo l’area colorata di blu?
NOTA BENE: f in [x, x+h] è continua à per il teorema di weierstrass f ha almeno un punto di
max x max
e almeno un punto di min x min
[x min
, x max
].
L’area blu è quindi A(x+h)-A(x)
à per weierstrass
f(x min
) * h £ A(x+h)-A(x) £ f(x max
) * h à dividiamo tutto per h f(x min
4 ("& 5 )) 4 (")
'
£ f(x max
à facciamo il limite per xà0 di tutti e tre i membri
lim
'→+
f(𝑥
789
) £ lim
'→+
A(x + h) − A(x)
£ lim
'→+
f(𝑥
7/%
lim
'→+
f
789
= lim
%
'()
→%
f
789
= f(x) allo stesso modo lim
'→+
f
7/%
= lim
%
'%*
→%
f
7/%
= f(x)
A
a b
f(x)
a b
f(x)
x
x + h
COSA SUCCEDE SE f(x) £ 0?
Se il nostro obiettivo è quello di calcolare l’integrale indefinito, potremo continuare ad
effettuare i calcoli con la solita formula ∫ 𝑓
:
/
− 𝐹(𝑎) in quanto ciò che stiamo
cercando è semplicemente un numero.
Se il nostro obiettivo è quello di calcolare l’area, allora dovremo calcolare
:
/
= - F(b)+F(a)
PROPRIETÀ DI SCOMPOSIZIONE
:
/
;
/
:
;
ESEMPIO CONCRETO: supponiamo di voler trovare l’area di una funzione tra a e b; tale
funzione però dal punto a al punto c è minore di zero, e dal punto c al punto b è maggiore
di zero: ciò che dovremo fare sarà quindi
:
/
;
/
:
;
a
c
b
MATEMATICA FINANZIARIA
S
1
= S
0
+ I
1
S
t
= S
0
+ I
t
à I t
= S
t
- S
0
à
<
1
!
1
) 1
!
1
!
à
1
&
) 1
!
1
!
= tasso di interesse annuo = R = i
1
&
) 1
!
1
!
à 𝑆
3
à 𝑆
3
à 𝑆
3
In generale (t= tempo in anni)
=
( 1 + 𝑡𝑅) à REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE (formula banale, poco utilizzata in
matematica finanziaria)
Un altro regime di capitalizzazione è il seguente:
=
=
à REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
Tale formula è molto più utilizzata in ambito finanziario e attraverso semplici operazioni algebriche
si può ottenere il valore attuale di un’operazione in base a quanto avrò in futuro, ovvero
=
)=
( VALORE ATTUALE DELL’IMPORTO S
t
TASSI DI INTERESSE SU BASE DIVERSA DALL’ANNO
=
=
ma in questo caso t è espresso in mesi, quindi se io voglio sapere quanto avrò
dopo un anno dovrò fare
3-
3-
3-
Dove R n
indica l’interesse in base a quanti periodi è diviso un anno (n)
R
1
à tasso annuo (12 : 1 = 12 mesi cioè 1 anno)
R
2
à tasso semestrale (12 : 2 = 6 mesi)
R
3
à tasso quadrimestrale (12 : 3 = 4 mesi)
R
4
à tasso trimestrale (12 : 4 = 3 mesi)
R
6
à tasso bimestrale (12 : 6 = 2 mesi)
R
12
à tasso mensile (12 : 12 = 1 mese)
S
0
CAPITALE
INIZIALE AL
TEMPO t=
S
1
MONTANTE
DOPO 1
ANNO
+ I
1
