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ott
e
x
interrot
mida una
definizione
dell
area
Comidere
une
[a,6]-IR
UMMARA.
I
b
=
Xn
i
1
1 1 1
1
I
I
Considero
la
suddivisione
di[a,6]
individuata
de a
=
xoxxx2x
< ... e
scelgo
;[tie,ti)
e apronimo
v(t)
=
v(25).
Lo
stozio tercorso
in
[t;-nit;]
=
w(2;)(ti-ti
LO SPAZIO PERCORSO
in
[0,
T
=
Ew(2;)(ti-tj-d) somma di
cauchy-rieman
Al
lascere o
in to
an ossimozione
sempre
migliore
spazio percorso
inEP,
tolt
Verificare
se una funzione
è
integrabile
usando la
definizione e
molto difficile
es.
[a,b]
1
:
f(x)
=
7,kx
=
[a,b]
Sn
=
6
f(2;)
=
Ed
=
Ed
n =
d)
=
1
=
d) =
Sg(x)d
tole limiteNON DIPENDE
dalla
sceltadi E;
A
me
ne
lità
delle
funzioni
Core
=
Se
[a,6]
R
en
intuth
i
funti
di
[a,b] allora e
INEGNABICE.
eintegrabile
osservazione-tole
I
è
AcoMATICAMENE UMITATA
per
ilteoremadi
WEERSTRASS
a
mangrcontinua
se 0X
<
1/
osservazione:
non
vole il
viceversa.es.
I:
20,
IR:
f(x)=
se 122x
1 E
non è
monoto
EMA:
Se
8 :2a,63-/R
eMATA e
Monzora allora è
integrabile
e
integrate
osservazione:il viceversa non è
valido. es.
[-e;1]
->1R:
f(x)
=
(x)
IMA:
Siano
fe:
[a,6]-IR
integrabile
su [a,6] e
[6,c]-R
integrabile
m [b,
c].
Allora:
x =
[a,b)
~
exs
E
xe
c6,
.
0
⑧
S
e INTEGAABICE
su [a,]
a
ta
e
integrabile
arbitrario valore
se
x
= b
Funzioninon
integrabili:
es.
Funzione diDirichlet
8 :20,
19: f(x)
=
{
None INEGmBILE
Sn
=
E8(2;)(X:
Xi -
- dave 2; [x;-1,
Xi]. Usando
il teorema di DENSITE
dilR,
scelgo
Eie Q, X,
=>
Sn,
f(2;)(X;-X;
=
(X;
Xi
)
=
1
ferche (X
x) +(X
x)
(X
x2)
...+(Xn
xn - )
=
xn
= 1
0
=
1
=GSn=
1 mentre ;ea,;-
Sn
=
E,(X;
x,
=
0
=
in
Sn
=
Conclusione
il limite
delle successione
di
Cauchy-Riemor difende
dalle
sceltedi
Z,
,
dunque,
la
sezione
Now e
INTEGRABICE
TreOPMETA
DEGU IMEGAU
=
Siano
f,
g
R [a,b](niemonn
integrabile
zu
a,6) allora:
osservazione
= se G(x) èunoltra
qualsiasi
primitiva
di
ho:(FCx-Gx)
=
Fx GCx
=
f(x) -f(x)
=
0
=>
f(x)
=
6(x)
= F(x)
c.NE:
data una
primitive
Foi
I,
tutte e sole
x = [a,6]
le
primitive
di
I
sono della
forma
FCx+c al vozione di CEIR
osservazione:
non tutte le funzioni
possiedono
primitiva. Infatti,
è
faribile
dimetroche se
I
ha una
discontinuitàa
colto, ollore Now
POSSIEDE PMMITIVA.
Cuttorie,
se
I
e
continuar
allora
ammette
primitive.
In
particolare,
Se
G
e DERIVABILEin Za,b
allate
AMETTE PMMILIVA
notazione: Rp[d,6]: (8 =R[a,6]:
8 foniede
una Primitiva.
In
particolare
ognifunzione
[d,6]- IR COMINUA
apartiene
ad Rp
[a,6]
~ne
ereFoDAMENTA
DEL
CORONAEx dx
=
F(6)
notazione
=
F(6) -F(a)
=F(x)
es.
Sx2o
=
I
=
I
Dir=
Suddivido
l'intervallo [a,6] in n sottointervalli
di
uguale ampiezza
attraverso
punti
No
=
a
< xxcX ...
F(Xi)
F(xj
=
f(2j)(Xj
xj
=>
F(6)
F(a)
=
[f(xj)
1)]
=
f(ai)(X;
xi
di
cauchy-rieman
(Sn)
x
IPonEs
Rm
Sn
f(x)
dx
=
F(6)
F(a)
=
mSn
=
fex)
dx
mene
FONDAMENTALE
DEL
CALCOLO INTEGRACE=
Sie
tR
[a,6]
e
via xot[d,6]. Comidero
la
funzione
integrale
orociatoad
F(x)
=
g(t)
ot,
alloca:
① F
ècontinua in
2a,6]
se
è continua
in 2a,b],
allora
F e DERIVABICE nu [a,6] e
F (x)
=
f(x),
Xxe
[a,b]
osservazione:
ogni
funzione
continua ammettePrimitiva
(la sua
funzione
integrotel
Dim:
TESI:
dato
x -> [ a,6]
vole him
F(x+ h) =F(x)
h
Siccome
f
R
[a,b]x
ipotesi
ne
segue
che
fe
UMITATA
=
7x0:18(t)12c Xt
[d,6]
1F(x)
h
F(x)
=
18(t)
dt
8t)
dt 1(stoprendendo ho). uso la
proprieta
dell additivital
x
h
I
-stalt
fast
otactist)
Fixte
Fdel
gelot
e
=>
lim[F(x+h)
=
0
=
lim F(x
=
F(x)
h
h
= 0
Analogamente, Rendendo
co si mantrache lim FCx+h)
=
FCx
h
0
Dir:
2) TESI:
him -
FC)
=
f(x),
Fxe [a,
Prendo h >
F(x
k(x)
=
j
y(t)dt
jet)dt
=
jy(t)dt
=
rx
=
18tdt
Siccome
I
econtinue in Sa,b I, per
iltexceme delle medie
integrale
I
gae
x, x
h]:
f(ya)=
got
F(x
F(x)
=
f(ya).
Onervo che
fer
h-sot ilpuro ya x. Essendo
o corn, f(ya)
f(x)
h
ht ot
eh
(x)
=
bnf(ya)
=
f(x)
=
Fi(x)
=
f(x).
analogamente
si matera che
E(x)
=
f(x)
=>
F(x)
=
f(x)
osservazione:come
consequenza
del
funto
& Abbiamo
che Federinobile con DERIVATA CONTINUA
F = c
[a,6]
(ederivabile con
derivata
continua). Inoltre,
se
le
Denivain2a,b], he
deducie,
no che FIDEMVABILE
2
VOLTE in [2,6].
Se
l'ECOMINUA
Allora F"e
COINUA.
Ricerca di
primitive:comideriamo and
J:
2a,6]
IR INTEGABICe
tole che
I
POSSIEDA
PM TIVA
Cquete
succede sicuramente
se
e continuar
notazione:Data
8tRp
[d,6] indichiamo
If(x)
dx L INSIEME
DI
CUITEe
SOLEEPRMITIVE
di
VAWTATEnel
funto
x
2a,6].
Tole invieme
fenole
more
di INTEGRALEINDEFINIZ
dif
