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I VALORI MEDI
È necessario sintetizzare le cifre grezze in un unico valore che sappia cogliere il sottofondo costante della molteplicità dei valori riguardanti un fenomeno collettivo I valori medi sono quei valori che riescono a esprimere sinteticamente l’ intensità di un fenomeno collettivo e sono valori caratteristici delle serie o delle distribuzioni statistiche Esprimiamo i valori osservati x 1 , x 2 , … , xN del carattere X in un collettivo di N elementi attraverso la funzione matematica ƒ (x 1 , x 2 , … , xN) Dicesi valore medio della X – al fine di lasciare immutata una determinata grandezza assunta come invariante ed espressa dalla funzione scelta ƒ (x 1 , x 2 , … , xN) – quel valore x tale che, sostituito alle x 1 , x 2 , … , xN, soddisfi l’eguaglianza → nel caso si una serie ƒ (x 1 , x 2 , … , xN) = ƒ (x, x, … , x) → nel caso di una distribuzione ƒ (x 1 , x 2 , … , xs) = ƒ (x, x, … , x) rispettando la condizione di Cauchy
x 1 ≤ x ≤ xN
Media aritmetica
x o è il valore che possiamo attribuire singolarmente a ciascuna unità
statistica del collettivo lasciando invariato l’ammontare complessivo del carattere ossia la media aritmetica indica la parte dell’ammontare complessivo del carattere X che spetterebbe a ciascun “individuo” nel caso che detto ammontare sia equidistribuito L’ intensità o ammontare globale del carattere sarà espresso dalla funzione additiva → nel caso di una serie AN = x 1 + x 2 + … + xN → nel caso di una distribuzione ove ni = N AN = x 1 n 1 + x 2 n 2 + … + xsns ƒ (x 1 , x 2 , … , xs) = x 1 n 1 + x 2 n 2 + … + xsns tenendo costante l’ammontare del carattere → nel caso di una serie
x 1 + x 2 + … + xN = x + x + … + x
PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA
I Proprietà - La somma algebrica degli scarti xi - è uguale a zero (xi - ) ni = 0 dimostrazione: x 1 n 1 + x 2 n 2 + … + xs ns = n 1 + n 2 + … + ns x 1 n 1 + x 2 n 2 + … + xs ns - n 1 - n 2 - … - ns = 0 (x 1 - ) n 1 + (x 2 - ) n 2 + … + (xs - ) ns = 0 (xi - ) ni = 0 c.v.d.
II Proprietà - La somma dei quadrati degli scarti xi - è un minimo
(xi - )^2 ni = minimo dimostrazione: S (a) = (xi - a)^2 ni a d = - a a = - d S (a) = (xi - + d)^2 ni = (xi - )^2 ni + d^2 ni + 2d (xi - ) ni S (a) = (xi - a)^2 ni = (xi - )^2 ni + d^2 ni (xi - )^2 ni = minimo c.v.d.
Media geometrica
x o Mg è il valore che possiamo attribuire singolarmente a ciascuna unità
statistica del collettivo lasciando invariato il prodotto o l’indice globale di variazione funzione che determina la Mg:
ƒ (x 1 , x 2 , … , xN) = x 1 ∙ x 2 ∙ … ∙ xN
media geometrica semplice
x 1 ∙ x 2 ∙ … ∙ xN = xN
x = Mg = xi
media geometrica ponderata
x 1 n1^ ∙ x 2 n2^ ∙ … ∙ xs ns^ = x n1 + n2 + …^ + ns
x = Mg = xi ni
Esempio: consumo di pasta Consumatori Durata di 1 Kg di pasta (in gg) Carlo 2 Augusto 4 Giovanna 3 Marcello 1 Anna 5 xi 15 = ---------- = ------- = 3 giorni N 5 Consumatori Consumo annuo di pasta (in Kg) Carlo 365 : 2 = 182, Augusto 365 : 4 = 91, Giovanna 365 : 3 = 121, Marcello 365 : 1 = 365, Anna 365 : 5 = 73, Totale 833,42 Kg consumo pro capite = 833,42 / 5 = 166,68 Kg per anno durata media di ogni Kilo = 365 / 166,68 = 2,19 giorni utilizzando la formula della Mar N 5 Mar = ----------- = ---------------------------------------- = 1 1 1 1 1 1 ------ ----- + ----- + ----- + ----- + ----- xi 2 4 3 1 5 5 5 = ----------------------------------- = --------- = 2, 0,5 + 0,25 + 0,33 + 1 + 0, 2 2,
Media quadratica La funzione che determina la Mq : ƒ (x 1 , x 2 , … , xN) = x 12 + x 22 + … + xN^2 media quadratica semplice
x 12 + x 22 + … + xN^2 = x^2 + x^2 + … + x^2
xi^2
x = Mq = ----------
N
media quadratica ponderata
x 12 n 1 + x 22 n 2 + … + xs^2 ns = x^2 n 1 + x^2 n 2 + … + x^2 ns
xi^2 ni
x = Mq = ----------
N
MEDIE LASCHE
Le medie lasche sono quei valori che si basano solo su alcuni valori dell’intera distribuzione e prevalentemente sull’ordine che gli elementi rilevati presentano rispetto alla caratteristica osservata I principali tipi di medie lasche sono: valore centrale mediana quartini o quantili moda Valore centrale Il valore centrale esprime il centro del campo di variazione della v.s. e si ricava calcolando la semisomma dei valori estremi:
x(1) + x(N)
V.C. =
Mediana La mediana o il valore mediano è il valore che bipartisce la distribuzione lasciando un ugual numero di termini da una parte e dall’altra della distribuzione.
Se il numero di termini è dispari, la mediana coincide con il valore che occupa la posizione centrale della distribuzione dei valori posti in graduatoria, ossia che occupa il posto esimo N . 2
- 1 mentre se N è pari, conviene assumere come mediana quel valore che è la media aritmetica dei due termini che occupano le posizioni centrali, ovvero che occupano, rispettivamente, i posti esimo N . 2 e esimo N
2
Se si indicano con x(1), x(2),….., x(N) i valori disposti in ordine non decrescente, la mediana sarà data da: = + 2 Me xN 1 se N è dispari 2 1 2 2 ^ + + = N N e x x M se N è pari Per le variabili statistiche divise in intervalli:
- (^1) ( (^) / 2 − − 1 ) − = + i i i i e i N N n x x M x dove xi è l’estremo inferiore, xi+1 l’estremo superiore, ni la frequenza assoluta ed Ni la frequenza accumulata della classe in cui cade la mediana, ossia della prima classe per la quale si ha Ni N/2 ed Ni- 1 è la frequenza accumulata della classe precedente
