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Variabile casuale Normale^ La var. casuale Normale (o
Gaussiana ) è considerata la più importante “distribuzione” Statistica per le innumerevoliApplicazioni e per le rilevanti proprietà di cui godeL'importanza di tale v.c. risiede negli indubbi vantaggi formali,ma anche nel fatto che moltissimi fenomeni empirici possonoessere rappresentati con un modello di tipo gaussiano
Carl F. Gauss
-^ <x<+∞^ ∞ funzione di densità
È una v.c. continua chepuò assumere valori sututto l’asse reale
2 1 x-μ - 12 σ
f(x)=^
-^ e σ 2π
<x<+ ∞ ∞ e=2,71π=3,
Si dimostra che la f(X) è una funzione di densità perché^ f(x)^0
+∞f(X)dx=1 ≥ ∫ −∞ ^
IMPORTANZA DELLA NORMALE • DIVERSI FENOMENI CONTINUI SEMBRANOSEGUIRE, ALMENO APPROSSIMATIVAMENTEUNA DISTRIBUZIONE NORMALE. • Può ESSERE UTILIZZATA PER APPROSSIMARE• Può ESSERE UTILIZZATA PER APPROSSIMARE NUMEROSE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITàDISCRETE. • E’ ALLA BASE DELL’
INFERENZA STATISTICA
CLASSICA^ IN VIRTU’ DEL
TEOREMA DEL LIMITE
CENTRALE
PROPRIETA’ DELLA NORMALE • HA UNA FORMA CAMPANULARE E SIMMETRICA • LE SUE MISURE DI POSIZIONE CENTRALE (VALORE ATTESO, MEDIANA,MODA, MIDRANGE, MEDIA INTERQUARTILE) COINCIDONO. • IL SUO^ RANGE^ INTERQUARTILE
è^ PARI^ A^ 1.33^ VOLTE
LO^ SCARTO QUADRATICO MEDIO, CIOè COPRE UN INTERVALLO COMPRESO TRA : • LA V. ALEATORIA CON DISTRIBUZIONE NORMALE ASSUME VALORI SUTUTTO L’ASSE REALE
2 / 3^ ,^ 2 / 3 μ σ^ μ^
σ −^ +
Il parametro μ (valore atteso) Al variare di μ il grafico resta inalterato nella sua forma ma si modifica solo lasua localizzazione: al crescere di μ la funzione di probabilità si sposta a destra,al diminuire di μ la funzione di probabilità si sposta a sinistra 0,45^ 0,
μμμμ^ μμμμ^ μμμμ^ μμμμ^ μμμμ=0^ =1^ =2^ =^
μμμμ=4^ = 0,15 0,00^ -1,5^ 0,^
1,5^ 3,0^ 4,^
6,0^ 7, La distribuzione normale è simmetrica rispetto al suo centro (
valore atteso ):
a tale valore centrale corrisponde anche quello più probabile (
valore modale )
La funzione di ripartizione^ La funzione di ripartizione della v.c. Normaleè data formalmente da^ Non è facile risolvere questo integrale, tanto
2
x^ 1 t-μ-^12 σ F(x)= e^ -
^ ^ ^ ^ dt σ 2π
∫^ ∞
f(x) Non è facile risolvere questo integrale, tanto che la funzione normale è citata in letteraturacome esempio di^ funzione non elementare Possiamo però descrivere completamente ladistribuzione di X attraverso i due parametri^2 μ e σ: noti questi valori è possibile calcolarela corrispondente F(x)Per semplificare il calcolo è possibile far usodi tabelle particolari riconducendo i valori Xad una forma standard
F(x)
La variabile normale standardizzata^ Se la v.c. X ha una distribuzione normale con parametri μ e σ
2 , allora la v.c. Z
è ancora una v.c. Normale con media nulla e varianza unitaria
X^ -^ μ Z = σ 2 0,45 zz − (^) − 1 1 2 0,30 e)z(f = 2 π 0,15 0, -1,96^ 0,^ 0,95 1, E Z^0 =^ (^ )
V Z^1 =(^ )
Le tre Normali riportate quidi fianco possono essere difatto ricondotte a una soladistribuzione, attraverso latrasformazione dei valori xin unità standardLe aree sottese a X^ ∼^ N (μ, σ
2 ) sono identiche a quelle della Z∼N(0,1)
σ=2σ=2σ=2σ=2σ=1σ=1σ=1σ=
σ=1σ=1σ=1σ=
Generalizziamo… Z∼N(0,1)
Esempio
Esempio
