Logika dla opornych, Publikacje z Logika

Pobierz Logika dla opornych i więcej Publikacje w PDF z Logika tylko na Docsity!

Krzysztof A. Wieczorek

Logika dla opornych

Wszystko co powinniście wiedzieć o logice,

ale nie uważaliście na zajęciach

Ilustracje: Barbara Wieczorek

SPIS TREŚCI:

WSTĘP

1. KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ

Wstęp 1.1. Schematy zdań 1.1.1. Łyk teorii 1.1.2. Praktyka: budowanie schematów zdań języka naturalnego 1.1.3. Utrudnienia i pułapki 1.1.4. Często zadawane pytania 1.2. Tabelki zero-jedynkowe i ich zastosowanie 1.2.1. Łyk teorii 1.2.2. Praktyka: zastosowanie tabelek 1.3. Tautologie i kontrtautologie 1.3.1. Łyk teorii 1.3.2. Praktyka: sprawdzanie statusu formuł 1.4. Skrócona metoda zerojedynkowa 1.4.1. Łyk teorii 1.4.2. Praktyka: wykorzystanie metody skróconej 1.4.3. Utrudnienia i pułapki 1.4.4. Kontrtautologie 1.4.5. Często zadawane pytania 1.5. Prawda logiczna i zdania wewnętrznie sprzeczne 1.5.1. Łyk teorii 1.5.2. Praktyka: sprawdzanie czy zdanie jest prawdą logiczną lub fałszem logicznym 1.6. Wynikanie logiczne 1.6.1. Łyk teorii 1.6.2. Praktyka: sprawdzanie, czy z jednego zdania wynika drugie 1.6.3. Wykorzystanie pojęcia tautologii 1.7. Wnioskowania 1.7.1. Łyk teorii 1.7.2. Praktyka: sprawdzanie poprawności wnioskowań 1.7.3. Wykorzystanie pojęcia tautologii 1.7.4. Często zadawane pytania

3.3.1. Łyk teorii 3.3.2. Praktyka: wykazywanie, że formuła nie jest tautologią lub kontrtautologią 3.3.3. Utrudnienia i pułapki 3.3.4. Często zadawane pytania 3.4. Reguły w rachunku predykatów 3.4.1. Łyk teorii 3.4.2. Praktyka: wykazywanie zawodności reguł

4. NAZWY I DEFNICJE Wstęp 4.1.Nazwy i ich rodzaje 4.1.1.Łyk teorii 4.1.2.Praktyka. Klasyfikowanie nazw 4.1.3.Utrudnienia i pułapki 4.2.Stosunki między nazwami 4.2.1.Łyk teorii 4.2.2.Praktyka. Sprawdzanie zależności między nazwami 4.2.3.Praktyka. Zastosowanie diagramów Venna 4.2.4.Praktyka. Dobieranie innych nazw do nazwy podanej 4.3.Definicje 4.3.1.Łyk teorii 4.3.2.Praktyka. Badanie poprawności definicji sprawozdawczych 4.3.3.Utrudnienia i pułapki 5. ZBIORY Wstęp 5.1. Podstawowe wiadomości o zbiorach 5.1.1. Łyk teorii 5.2. Stosunki między zbiorami 5.2.1. Łyk teorii 5.2.2. Praktyka: określanie zależności między zbiorami 5.2.3. Utrudnienia i pułapki 5.3. Działania na zbiorach 5.3.1. Łyk teorii

5.3.2. Praktyka: wykonywanie działań na zbiorach 5.4. Prawa rachunku zbiorów typu bezzałożeniowego 5.4.1. Łyk teorii 5.4.2. Praktyka: wykrywanie praw rachunku zbiorów przy pomocy rachunku zdań 5.5. Założeniowe prawa rachunku zbiorów 5.5.1. Łyk teorii 5.5.2. Praktyka: sprawdzanie praw teorii zbiorów przy pomocy diagramów Venna 5.5.3. Utrudnienia i pułapki

6. RELACJE Wstęp 6.1. Co to jest relacja 6.1.1. Łyk teorii 6.2. Dziedziny i pole relacji 6.2.1. Łyk teorii 6.2.2. Praktyka: określanie dziedzin i pola relacji 6.3. Własności formalne relacji 6.3.1. Łyk teorii 6.3.2. Praktyka: określanie własności formalnych relacji 6.4. Działania na relacjach 6.4.1. Łyk teorii 6.4.2. Praktyka: wykonywanie działań na relacjach 6.5. Zależności między relacjami 6.5.1. Łyk teorii 6.5.2. Praktyka: określanie zależności pomiędzy relacjami 6.5.3. Praktyka: dobieranie relacji będących w różnych stosunkach do podanej ZADANIA ROZWIĄZANIA ZADAŃ SŁOWNICZEK

praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji. Żyjemy obecnie w czasach, w których liczy się przede wszystkim szybkość i skuteczność działania. Większość ludzi nie ma czasu na zgłębiane teoretycznych podstaw jakiejś dziedziny – interesują ich przede wszystkim praktyczne umiejętności, sposób w jaki teoria przejawia się w praktyce. Przykładowo użytkownik komputera nie musi znać zasad jego budowy ani języków pisania programów. Wystarczy mu, że potrafi kopiować pliki na dyskietkę, włączyć kilka ulubionych programów, wie, co zrobić, gdy komputer się zawiesi, a w razie większych komplikacji ma telefon do kogoś, kto zna się na tym lepiej. Również ucząc się obsługi potrzebnych programów, przeciętny człowiek nie musi korzystać ze specjalistycznych książek dla informatyków wyjaśniających wszelkie możliwe szczegóły techniczne. Wystarczy, że sięgnie on do popularnego podręcznika z serii „dla opornych”. Książki takie wiele spraw znacznie upraszczają, wiele trudnych problemów pomijają, ograniczając się do tego, co najważniejsze. Jeżeli jednak coś można ułatwić, przedstawić w sposób zrozumiały, nawet kosztem pewnej trywializacji, to dlaczego tego nie zrobić? Nie wszystko co ważne, musi być od razu trudne i opisane technicznym językiem. Z podobnym nastawieniem pisana jest niniejsza książka. Wiele spraw jest w niej uproszczonych. Starałem się posługiwać zrozumiałym językiem, unikając gdzie tylko się da technicznego żargonu. Może to sprawić, że przedstawiona w ten sposób logika wyda się komuś nadmiernie spłycona. Być może jest tak faktycznie, jednak, podkreślam to raz jeszcze, celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki, ale przede wszystkim pomoc w opanowaniu tego przedmiotu dla tych, którym wydaje się on niemal całkowicie niezrozumiały. Gdy stwierdzą oni, że logika nie jest wcale tak trudna, jak im się to początkowo wydawało, sięgną oni być może po podręcznik głębiej traktujący temat. Jednocześnie książka ta może stać się zachętą do zainteresowania się logiką przez osoby, które nigdy się z tym przedmiotem nie zetknęły. Korzystając z zawartych tu przykładów, czytając odpowiedzi na pytania zwykle zadawane przez początkujących, widząc często popełniane błędy, mogą one przyswoić sobie podstawy logiki samodzielnie, bez pomocy nauczyciela. Semestralny kurs logiki na wielu uniwersyteckich kierunkach trwa zwykle 60 godzin lekcyjnych. Jednakże zdarzają się kursy ograniczone do 30, 15, a nawet 10 godzin. W takim czasie doprawdy trudno jest nauczyć kogoś logiki. Można co najwyżej pokazać zarys tego przedmiotu. Studentom uczestniczącym w takich, z różnych względów skróconych, kursach,

niniejsza książka powinna przynieść szczególne korzyści. Może ona im pomóc w zrozumieniu tego, na wyjaśnienie czego nie starczyło czasu na wykładach lub ćwiczeniach, a jednocześnie pokazać, jak należy rozwiązywać zadania spotykane często na egzaminach i kolokwiach.

Jak korzystać z książki?

Celem tego podręcznika jest przede wszystkim wyrobienie u Ciebie, drogi Czytelniku, umiejętności rozwiązywania zadań spotykanych w standardowych podręcznikach do logiki. Najczęściej jednak rozwiązania przykładów wymagają pewnej podstawy teoretycznej. Potrzebna teoria, w formie bardzo okrojonej i uproszczonej, wprowadzana jest zwykle w początkowych partiach każdego rozdziału. Ponieważ, z uwagi na tę skrótowość, nie wszystko w części teoretycznej może wydać Ci się od razu zrozumiałe, proponuję przeczytanie tych paragrafów dwa razy: na początku dla zapoznania się z podstawowymi pojęciami, a następnie po przerobieniu części praktycznej, w celu dokładniejszego zrozumienia i utrwalenia sobie przerobionego materiału. Jestem przekonany, że po takim powtórnym przeczytaniu fragmentów teorii w pełni jasne staną się sprawy, które początkowo wydawały się nie do końca klarowne. W części teoretycznej przedstawiane są tylko konieczne podstawy – tyle, aby można było przystąpić do rozwiązywania pierwszych zadań. Wiele dalszych problemów omawianych jest później – gdy pojawiają się przy okazji praktycznych zadań. Rozwiązując te zadania, zapoznajesz się, niejako mimochodem, z kolejnymi elementami teorii. Niektóre wiadomości teoretyczne zawarte są również w sekcjach „Uwaga na błędy” oraz „Często zadawane pytania”. Zawarte w książce przykłady uszeregowane są w kolejności od najprostszych do coraz trudniejszych. Umiejętności nabyte przy rozwiązywaniu jednych wykorzystywane są często w kolejnych zadaniach. Dobrane są one również w taki sposób, aby każdy z nich wskazywał jakiś inny problem techniczny lub teoretyczny. Jeśli chcesz nauczyć się samodzielnego rozwiązywania zadań, nie powinieneś ograniczać się do śledzenia rozwiązań podanych przeze mnie krok po kroku. Doświadczenie wskazuje, że w takim momencie wydają się one banalnie proste; problemy pojawiają się jednak, gdy podobne rozwiązanie trzeba przedstawić samodzielnie. Dlatego po przerobieniu każdego działu spróbuj przepisać treść przykładów na osobną kartkę, rozwiąż je samodzielne i dopiero wtedy porównaj wynik z podręcznikiem. W wielu wypadkach zobaczysz wtedy, iż nawet w pozornie prostych przykładach bardzo łatwo popełnić błędy. Nie powinno to jednak

Rozdział I KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ. WSTĘP. Klasyczny rachunek zdań (w skrócie KRZ) jest jednym z najprostszych systemów logiki formalnej. W praktyce może on służyć do sprawdzania poprawności wnioskowań , czyli takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku). Dzięki znajomości KRZ każdy może się łatwo przekonać, że na przykład z takich przesłanek jak: Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała oraz Impreza udała się można wywnioskować iż: Na imprezie nie było Zdziśka lub Wacka. Posługując się metodami KRZ można również stwierdzić, iż nie rozumuje poprawne ten, kto z przesłanek: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zdziśka oraz Wacek jest w barze dochodzi do konkluzji: Wacek dostał wypłatę. 1.1. SCHEMATY ZDAŃ.

1.1.1. ŁYK TEORII.

Pierwszą czynnością, jaką należy przećwiczyć rozpoczynając naukę klasycznego rachunku zdań, jest budowanie logicznych schematów zdań. Budowanie takich schematów przyrównać można do przekładu wyrażeń „normalnego” języka, jakim ludzie posługują się na co dzień, na język logiki, w którym logicy sprawdzają poprawność danego rozumowania. Termin „ zdanie ” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować. Schematy pokazują nam położenie w zdaniach języka naturalnego zwrotów szczególnie istotnych z punktu widzenia logiki – niektórych z tak zwanych stałych logicznych : nieprawda, że; i; lub; jeśli... to; wtedy i tylko wtedy, gdy. Zwroty te noszą w logice nazwy negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności i będą w schematach zastępowane odpowiednimi symbolami: ~ (negacja),  (koniunkcja),  (alternatywa), → (implikacja), 

(równoważność). Wymienione zwroty są (przynajmniej w takich znaczeniach, w jakich przyjmuje je logika) spójnikami łączącymi zdania, dlatego nazywamy je spójnikami logicznymi. Zdania proste, łączone przez spójniki logiczne zastępować będziemy w schematach literami: p, q, r, s, t... itd. Litery p, q, r… nazywamy zmiennymi zdaniowymi (ponieważ zastępują zdania języka naturalnego). Do budowy schematów będziemy też często używali nawiasów, które pełnią rolę podobną do znaków przestankowych w piśmie – pokazują jak schemat należy odczytać, które jego części wiążą się ze sobą ściślej, a które luźniej. Rola nawiasów stanie się jaśniejsza po przerobieniu kilku zadań praktycznych. Przykładowe schematy logiczne zdań mogą wyglądać następująco: p → q, ~ (p  q), p  (r → ~ s), [p  (q → r)]  (s → z). Zdania wiązane przez spójniki logiczne nazywamy członami tych spójników. Człony równoważności niektórzy nazywają stronami równoważności, natomiast zdania wiązane przez implikację określamy najczęściej mianem poprzednika i następnika implikacji. Jak łatwo się domyśleć, poprzednik to zdanie znajdujące się przez „strzałką” implikacji, a następnik – zdanie po niej. Uwaga na błędy! Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nazywanie poprzednikiem i następnikiem zdań łączonych przez spójniki inne niż implikacja. Powtórzmy więc jeszcze raz: poprzednik i następnik występują wyłącznie przy implikacji.

DO ZAPAMIĘTANIA:

Poniższa tabelka pokazuje podstawowe znaczenia spójników logicznych oraz prawidłowy sposób, w jaki występują one w schematach. Nazwa spójnika Symbol Podstawowy odpowiednik w języku naturalnym Przykładowe zastosowanie Negacja ~ nieprawda, że ~ p (^) ~ (p  q) Koniunkcja (^)  I (^) p  q p  (~ q  r) Alternatywa (^)  Lub (^) p  q (p → q)  (r  ~ s) Implikacja (^) → jeśli..., to (^) p → q (p  q) → ~ r Równoważność  wtedy i tylko wtedy, gdy p  q (p  ~ q)  (~ r → ~ s)

1.1.2. PRAKTYKA: BUDOWANIE SCHEMATÓW ZDAŃ JĘZYKA

NATURALNEGO.

Jak już wiemy z teorii, schemat ma za zadanie pokazać położenie w zdaniu spójników logicznych. Dlatego pisanie schematu dobrze jest rozpocząć od wytropienia w zdaniu zwrotów odpowiadających poszczególnym spójnikom – nieprawda, że; i; lub; jeśli..., to; wtedy i tylko wtedy, gdy. Dla ułatwienia sobie dalszej pracy symbole spójników można wtedy zapisać nad tymi zwrotami. Całą resztę badanego wyrażenia stanowić będą łączone przez spójniki zdania proste, które będziemy zastępowali przez zmienne zdaniowe. Symbole tych zmiennych również możemy dla ułatwienia zapisać nad ich odpowiednikami. Przykład: p  q Leon czyści rewolwer i obmyśla plan zemsty. W zdaniu tym znajdujemy jedno wyrażenie odpowiadające spójnikowi logicznemu – i , oraz dwa zdania proste – Leon czyści rewolwer oraz (Leon) obmyśla plan zemsty. W tym momencie z łatwością możemy już zapisać właściwy schemat całego zdania: p  q.

Niektórzy wykładowcy mogą wymagać, aby po napisaniu schematu objaśnić również, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe. W takim wypadku piszemy: p  q, p – Leon czyści rewolwer, q – Leon obmyśla plan zemsty. ▲ Przykład: p → q Jeśli Marian zostanie prezesem, to Leszek straci pracę. W przypadku implikacji, której składniki „ jeśli” oraz „ to” znajdują się w różnych miejscach zdania, strzałkę piszemy zawsze nad to. Schemat powyższego zdania to oczywiście p → q p – Marian zostanie prezesem, q – Leszek straci. ▲ Uwaga na błędy! Pisząc, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe nie piszemy już wyrażeń, które zastąpiliśmy spójnikami. Często spotykanym błędem, w zadaniach takich jak powyższe, jest napisanie, że p oznacza zdanie jeśli Marian zostanie prezesem. Jednakże jeśli zostało już przecież zastąpione symbolem „→”. Po nabraniu pewnej wprawy można zrezygnować z pisania symboli spójników i zmiennych zdaniowych nad wyrażeniem, którego schemat budujemy. Jednakże trzeba wtedy zachować szczególną ostrożność w przypadku dłuższych zdań – łatwo jest bowiem „zgubić” jakiś spójnik lub zmienną.

1.1.3. UTRUDNIENIA I PUŁAPKI.

Czy to jest zdanie? Często zdania łączone przez spójniki występują w „skróconej” postaci.

Przykład: Józef nie przyszedł na zebranie. ~ p p – Józef przyszedł na zebranie. ▲ Przykład: Albo Antoni jest ślepy, albo zakochany. p  q p – Antoni jest ślepy, q – Antoni jest zakochany. Zauważmy, że pomimo dwukrotnego pojawienia się słowa „albo” mamy tu do czynienia tylko z jedną alternatywą. Zapis  p  q nie mógłby się pojawić – nie jest on poprawnym wyrażeniem rachunku zdań. ▲ DO ZAPAMIĘTANIA. Poniższa tabelka pomoże utrwalić sobie znaczenia i symbole poszczególnych spójników logicznych. Nazwa spójnika Symbol Podstawowy odpowiednik Inne odpowiedniki Negacja ~ nieprawda, że nie jest tak, że; nie Koniunkcja  i oraz; a także; lecz; a; ale Alternatywa (^)  lub albo... albo; bądź Implikacja (^) → jeśli..., to gdyby..., to; o ile..., to Równoważność (^)  wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze i tylko wtedy, gdy To nie jest spójnik! Bywa, że w zdaniu pojawi się wyrażenie pozornie odpowiadające któremuś ze spójników logicznych, ale użyte w innym znaczeniu (nie jako spójnik zdaniowy). W takim wypadku oczywiście nie wolno go zastępować symbolem spójnika.

Przykład: Stefan i Krystyna są małżeństwem. W zdaniu tym występuje wyrażenie i , ale nie łączy ono zdań. „Stefan” w tym wypadku nie jest zdaniem, ani też jego skrótem. Gdyby ktoś potraktował „Stefan” jako skrót zdania, otrzymałby bezsensowne wyrażenie: Stefan jest małżeństwem. Tak więc Stefan i Krystyna są małżeństwem to zdanie proste i jego schemat to tylko samo p. ▲ Więcej spójników. Często w zdaniu występuje więcej niż jeden spójnik. W takim wypadku należy na ogół skorzystać z nawiasów. Nawiasy wskazują, które zdania w sposób naturalny łączą się ze sobą bliżej, tworząc swego rodzaju całość. Jednocześnie nawiasy pokazują, który ze spójników pełni rolę tak zwanego spójnika głównego , czyli tego, który niejako spina całe zdanie, łączy ostatecznie wszystkie jego części. W każdym zdaniu złożonym musi być taki spójnik. Przykład: Jeżeli przeczytam podręcznik lub będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin. Prawidłowy schemat tego zdania to: (p  q) → r Nawiasy pokazują, że zdania oznaczone zmiennymi p oraz q tworzą pewną całość i dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji. Implikacja pełni w tym schemacie rolę spójnika głównego – łączy ona wyrażenie w nawiasie oraz zmienną r. Gdyby ktoś postawił nawiasy w złym miejscu i głównym spójnikiem uczynił alternatywę, czyli schemat wyglądałby: p  (q → r), to byłby to schemat następującego zdania: Przeczytam podręcznik lub jeśli będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin , a więc innego, niż to, którego schemat mieliśmy napisać. ▲ Przykład: Nieprawda, że jeśli dopadnę drania, to od razu się z nim policzę. Prawidłowy schemat to: ~ (p → q)

wprowadzać. Jedynym wyjątkiem jest stosowana dotąd bez wyjaśnienia, jednakże intuicyjnie oczywista zasada dotycząca negacji, mówiąca że jeśli nie ma nawiasów, to negacja odnosi się tylko do zmiennej, przed którą się znajduje. Na przykład w wyrażeniu ~ p  q zanegowane jest tylko zdanie p; nie ma zatem potrzeby zapisywania schematu w formie: ~ (p)  q, choć nie byłoby to błędem. Gdzie dać ten nawias? Czasami mogą powstać wątpliwości, gdzie należy postawić nawias, nawet gdy zdanie, którego schemat piszemy, na pewno nie jest amfibolią. Przykład: Jeżeli spotkam Wojtka, to o ile nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo. W powyższym zdaniu mamy dwie implikacje (oddane przez „ jeżeli ” oraz „ o ile ”), łączące trzy zdania (w tym jedno zanegowane): p → ~ q → r. W schemacie takim musimy jednak przy pomocy nawiasów określić, która z implikacji stanowi główny spójnik zdania – czy schemat ma wyglądać: (p → ~ q) → r, czy też p → (~ q → r). Aby ten problem rozwiązać przyjrzyjmy się bliżej naszemu zdaniu – mówi ono, co się wydarzy, jeśli „ spotkam Wojtka ”, a więc poprzednikiem głównej implikacji jest zdanie proste. Natomiast następnikiem sformułowanego w tym zdaniu warunku jest pewna implikacja „ o ile nie będzie zbyt późno, skoczymy na małe piwo ”. Tak więc mamy do czynienia z implikacją prowadzącą od zdania prostego do kolejnej implikacji, czyli prawidłowy jest schemat: p → (~ q → r) To, że ten właśnie schemat jest właściwy, nie dla wszystkich może od razu być jasne. Jeśli ktoś nie jest o tym przekonany, niech spróbuje wypowiedzieć zdanie oparte na schemacie (p → ~ q) → r, wstawiając odpowiednie zdania proste za zmienne. Wyszłoby wtedy coś w rodzaju: „ jeżeli jeśli spotkam Wojtka to nie będzie zbyt późno, to skoczymy na małe piwo ”. ▲ Więcej nawiasów. Czasem w zdaniu musi występować większa ilość nawiasów. Wskazują one niejako hierarchię wyrażeń.

Przykład: Nie jest prawdą, że jeśli skończę studia i prestiżowy kurs językowy to znajdę dobrze płatną pracę. Poprawny schemat tego zdania to: ~ [(p  q) → r] Nawias kwadratowy wskazuje, że negacja odnosi się do całego zdania złożonego i pełni rolę spójnika głównego. Natomiast nawias okrągły pokazuje, iż zdania p oraz q dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji. ▲ Uwaga na błędy! Pominięcie w powyższym przykładzie nawiasu kwadratowego: ~ (p  q) → r sprawiłoby, że negacja odnosiłaby się jedynie do wyrażenia (p  q); zdanie, z implikacją jako głównym spójnikiem, musiałoby brzmieć wtedy: Jeżeli nie ukończę studiów i prestiżowego kursu językowego, to znajdę dobrze płatną pracę. Natomiast pominięcie nawiasu okrągłego: ~ [p  q → r] sprawiłoby, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym stałoby się amfibolią. Przykład: Jeżeli wybory wygra lewica to znów wzrosną podatki i spadnie tempo rozwoju gospodarczego, ale jeśli wygra prawica lub tak zwana centroprawica, to powstanie bardzo słaby rząd i albo będziemy przez cztery lata świadkami gorszących skandali, albo za rok będą nowe wybory. Schemat tego zdania to: [p → (q  r)]  {(s  t) → [ u  (w  z)]} Głównym spójnikiem zdania jest koniunkcja oddana przy pomocy słowa „ale”. Napisanie schematu pierwszego członu koniunkcji nie powinno sprawić nikomu większych trudności. Większej uwagi wymaga schemat wyrażenia ujętego w nawias klamrowy. Głównym spójnikiem tej części jest implikacja – zdanie to mówi bowiem, co się wydarzy jeśli nastąpi warunek ujęty symbolicznie jako s  t. Gdy się to stanie, to po pierwsze będziemy mieli do czynienia z sytuacją opisaną przez zdanie u, a po drugie z alternatywą w  z. Zarówno u, jak i (w  z) są więc, wzięte razem, następnikiem głównej implikacji.