Pobierz Logika implikacji i więcej Notatki w PDF z Logika tylko na Docsity!
Dlatego potraktowaliśmy model jako punkt wyjścia i uzupełnialiśmy go o sumę dwóch poprawek, wyznaczanych na podstawie dnia tygodnia i liczby testów. Przykładowo, jeśli testów było mało, to poprawka wynosiła −10%, jeśli dużo, to +10%, a w przeciwnym wypadku +5%. Analogicznie reagowaliśmy w drugim przypadku. Choć obiecaliśmy sobie, że nie będziemy modyfikować modelu ani jego wyników w trakcie hackathonu, to ze względu na niespodziewane pojawienie się nowego ogniska choroby na Śląsku wzbogaciliśmy zestaw poprawek o dodatkowy parametr z tym związany, co poprawiło jakość prognoz.
Komentarz kibica W imieniu Komisji Konkursowej hackathonu, której miałem zaszczyt przewodniczyć, gratuluję zwycięskim zespołom odwagi zmierzenia się z obu wyzwaniami: prognozowaniem tego, co nieprzewidywalne i... pisaniem do Delty. Bardzo byłem ciekaw ich rozwiązań i, zapewne jak wielu Czytelników rubryki, podświadomie oczekiwałem, że najlepsze przewidywania będą efektem użycia spektakularnego modelu matematycznego, być może wymagającego nietrywialnej implementacji. Tymczasem okazało się, że najlepsza prognoza była najzwyczajniej w świecie wynikiem działania trzech, równolegle działających, wszechstronnych sieci neuronowych, trenowanych przez ostatnie 20+ lat: to znaczy mózgów zwycięskiej trójki. Pracujących w szczególnym trybie, który nazywamy na różne sposoby: przeczuciem , intuicją , zdrowym rozsądkiem. Czy naprawdę powinniśmy się temu dziwić? Przewidywane zjawisko było bardzo skomplikowane, m.in. przez wpływ najróżniejszych zewnętrznych szumów: nieznanej i zmiennej liczby testów, sprawozdawczości, nowych ognisk choroby itp. Nie było czasu na długotrwałe analizy i studia epidemiologiczne; z oczywistych powodów nie można było też zapytać specjalistów... W takiej sytuacji chyba każdy miałby silne przeczucie, że postawienie na intuicję jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem. Aby jednak nie nadawać intuicji znaczenia większego, niż zasługuje, warto zauważyć, że całkowicie odmienna strategia – bezrefleksyjna i nad wyraz leniwa (na którą wszakże nikt się nie zdecydował): jutro będzie tak samo jak dziś , dawałaby... drugie miejsce w naszym konkursie. Piotr KRZYŻANOWSKI
Logika implikacji
* Wydział Matematyki, Informatyki Aleksy SCHUBERT*
i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski †Dlaczego w ogóle zajmować się czymś Na początek zajmijmy się czymś zupełnie bez sensu†. Na przykład zdaniem: bez sensu? Na przykład dlatego, że czasem ktoś poda nieprawidłowe rozwiązanie zadania, ale stwierdzenie błędu wymaga sporego wysiłku.
( A ) Jeśli na Merkurym w tej chwili znajduje się człowiek, to na Merkurym znajdują się ślady człowieka. To zdanie jednak bylibyśmy gotowi uznać za „bardziej prawdziwe” niż wypowiedź: ( B ) Jeśli na Merkurym w tej chwili znajduje się człowiek, to autor tego artykułu jest Czyngis-chanem. Tymczasem na gruncie logiki klasycznej zdania te są równie prawdziwe. W logice tej jeśli pierwszy człon implikacji (np. na Merkurym w tej chwili znajduje się człowiek ) jest fałszywy albo jeśli drugi człon implikacji (np. autor tego artykułu jest Czyngis-chanem ) jest prawdziwy, to całe zdanie jest prawdziwe. Wielu uczniów i studentów burzy się, gdy poda im się taką interpretację wynikania. Jednak w systemie nastawionym wyłącznie na określanie, czy coś jest prawdą, czy fałszem, a takim systemem jest logika klasyczna, wyjścia specjalnie nie mamy. Gdy uprzemy się, że implikacja jest spójnikiem, jak i czy lub, oraz że
człony zdania mogą być tylko prawdziwe lub fałszywe, to pozostaje nam jedynie przyjąć jak w logice klasycznej: prawda implikuje tylko prawdę (bo inaczej być nie może), ale fałsz implikuje cokolwiek (bo gdy doszliśmy do fałszu, to jest nam naprawdę wszystko jedno). Taka „teoria prawdy” jest bardzo eleganckim systemem matematycznym, który spodobał się ogromnej liczbie ludzi.
Powyższe podejście ignoruje na przykład fakt, że może aktualnie nie być wiadomo, czy dany człon implikacji jest prawdziwy. Jak zatem mogą sobie poradzić ci niezadowoleni z tego rozwiązania? Czym różni się powyższe zdanie A Wielkim orędownikiem pewnej pierwotnej, od B? Otóż za zdaniem A kryje się wyraźna intuicja na temat tego, jak z faktu, apriorycznej intuicji w rozumowaniach matematycznych na gruncie matematyki był słynny L. E. J. Brouwer.
że na Merkurym znajduje się człowiek, wydedukować, że znajdują się tam ślady człowieka.
Za zdaniem B nie kryje się żadna taka podpowiedź, natomiast ewidentna fałszywość drugiego członu sugeruje nam po cichu, że całe to zdanie musi być jakoś „nieprawidłowe”.
Kłopotliwe jednak w tym podejściu jest to, że w zasadzie nie wiadomo, czym jest intuicja. Matematycy na początku XX wieku (m.in. A. Heyting, A. Church, S. Kleene) doszli do przekonania, że wystarczająco dobrym przybliżeniem pojęcia intuicji będzie pojęcie funkcji rozumianej jako przepis na przetworzenie założonych argumentów w wynik. Jak jednak mogą wyglądać takie przepisy? Opisany w tekście formalizm definiowania Oznaczmy określany przez nas przepis jako M. Oto potrzebne cegiełki: funkcji nazywany jest rachunkiem lambda. (^) • Musimy mieć do dyspozycji mechanizm wprowadzania do obiegu składnika, który może być używany przy dalszym pisaniu przepisu na obliczenie funkcji. Polegający na takiej operacji przepis M można zapisać w postaci wyrażenia M = λx.N , gdzie N jest tą częścią przepisu, w której można używać składnika x , zwykle w tym kontekście zwanego argumentem x. Takie wyrażenie będziemy nazywać lambda abstrakcją x w N.
- Drugi potrzebny mechanizm to używanie wprowadzonego do obiegu argumentu. Nasz przepis M , jeśli polega właśnie na takim użyciu, można zapisać jako M = x. Takie wyrażenie będziemy nazywać użyciem zmiennej x.
- Jest jeszcze trzeci mechanizm – to mechanizm zastosowania, inaczej aplikacji, funkcji do zadanego argumentu. Jeśli nasz przepis M ma na tym polegać, to możemy go zapisać jako M = M 1 M 2 , gdzie M 1 jest wcześniej opisanym przepisem na funkcję, a M 2 argumentem (który też może być funkcją). Takie wyrażenie będziemy nazywać aplikacją M 1 do M 2. Można się teraz takimi wyrażeniami pobawić i napisać sobie „przepis” λx.x. Ta
Rozwiązanie zadania F 1016. Najmniej energii zużywamy, gdy maksymalnie wykorzystujemy siłę grawitacji podczas poruszania nogami. Wówczas kolejne kroki polegają na swobodnym, wahadłowym ruchu nóg – na przemian lewej i prawej, a jeden krok wykonujemy w czasie połowy okresu wahadła utworzonego z naszej nogi. Okres wahadła fizycznego wynosi
T = 2 π
I mgd , gdzie I jest momentem bezwładności, m masą nogi, a d odległością jej środka ciężkości od osi obrotu – w tym przypadku od stawu biodrowego. Przyjmijmy, że noga jest w przybliżeniu jednorodnym prętem o długości l i masie m. Wówczas I = ml^2 / 3 , a d = l/ 2. Otrzymujemy
T = 2 π
2 l 3 g i oszacowanie prędkości spaceru: v = s π
3 g 2 l . Dla podanych wartości l = 0 , 9 m i s = 0 , 7 m otrzymujemy v ≈ 0 , 91 m/s≈ ≈ 3 , 3 km/godz. Podawana zwykle „prędkość piechura” równa około 5 km/godz. dotyczy szybkiego marszu wymagającego sporego wysiłku. Noga nie jest jednorodnym prętem, bo udo jest zwykle grubsze od łydki, co zmniejsza moment bezwładności I i „podnosi” środek ciężkości nogi, czyli zmniejsza d. Przybliżenie „ratuje” masa skupiona w stopie znajdującej się na końcu nogi. Zachęcamy Czytelników Dociekliwych do wykonania własnych pomiarów i sprawdzenia poprawności przyjętego tu modelu.
prosta definicja określa funkcję, która dla zadanego argumentu x daje w wyniku właśnie ten argument. W ten sposób zdefiniowaliśmy funkcję identycznościową f , taką że f ( x ) = x. Inny ciekawy przepis to λx.λy.xy. Wbrew pozorom nie jest to mnożenie! Zgodnie z przyjętą przez nas notacją przepis ten oznacza, że funkcję, która jest podana jako pierwszy argument, zastosujemy do drugiego argumentu. Tutaj możemy pójść za ciosem i podać cały ciąg podobnych przepisów: λx.λy.xy, λx.λy.x ( xy ) , λx.λy.x ( x ( xy )) ,... gdzie argument x jest powtarzany w kolejnych wyrażeniach coraz większą liczbę razy. I tu mamy niespodziankę, bo tym sposobem zbudowaliśmy w naszym języku odpowiedniki liczb naturalnych. Mając do dyspozycji „przepisoliczby” n i m, możemy je dodać za pomocą następującego przepisu na dodawanie: λn.λm.λx.λy. ( nx )(( mx ) y ) (zaznaczmy jeszcze, że n i m to przepisy, a nx i mx to aplikacje tych przepisów do argumentu x ).
Rozszyfrowanie, że powyższe wyrażenie reprezentuje dodawanie, jest niezłą łamigłówką. Jednak wszystko stanie się dużo jaśniejsze, jeśli spostrzeżemy, że dla wyrażenia ( λx.M ) N , polegającego na użyciu przepisu λx.M do argumentu N , ostateczny wynik jest taki sam jak dla wyrażenia, w którym w przepisie M na każde wystąpienie argumentu x wstawimy faktyczną treść N. Proszę popatrzeć (w każdym wierszu podkreśliliśmy argumenty, które biorą udział
