Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Program nauczania MATeMAtyka, Notatki z Matematyka

Część wstępna podstawy programowej dla gimnazjum i liceum ... 2) myślenie matematyczne – umiejętność wykorzystania narzędzi matematyki w życiu codziennym ...

Typologia: Notatki

2022/2023

Załadowany 24.02.2023

stevie_k
stevie_k 🇵🇱

4.5

(108)

325 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Program nauczania MATeMAtyka i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity! Dorota Ponczek MATeMAtyka Program nauczania matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych kończących się maturą MATeMAtyka. Program nauczania 2 Spis treści Podstawa programowa nauczania matematyki na III i IV etapie edukacyjnym 3 Wstęp do programu nauczania 14 Obudowa dydaktyczna programu 16 Ogólne cele kształcenia 17 Cele wychowawcze 18 Procedury osiągania celów 19 Podział treści nauczania i wymagania szczegółowe w poszczególnych klasach 20 Propozycja metod kontroli i osiągnięć 47 Osiągnięcia konieczne absolwenta szkoły ponadgimnazjalnej 51 Ramowy rozkład materiału 53 Propozycja szczegółowego rozkładu materiału 55 MATeMAtyka. Program nauczania 5 Wiadomości i umiejętności, które uczeń zdobywa na III i IV etapie edukacyjnym opisane są, zgodnie z ideą europejskich ram kwalifikacji, w języku efektów kształcenia. Cele kształcenia sformułowane są w języku wymagań ogólnych, a treści nauczania oraz oczekiwane umiejętności uczniów sformułowane są w języku wymagań szczegółowych. Działalność edukacyjna szkoły jest określona przez: 1) szkolny zestaw programów nauczania, który uwzględniając wymiar wychowawczy, obejmuje całą działalność szkoły z punktu widzenia dydaktycznego; 2) program wychowawczy szkoły, obejmujący wszystkie treści i działania o charakterze wychowawczym; 3) program profilaktyki dostosowany do potrzeb rozwojowych uczniów oraz potrzeb danego środowiska, obejmujący wszystkie treści i działania o charakterze profilaktycznym. Szkolny zestaw programów nauczania, program wychowawczy szkoły oraz program profilaktyki tworzą spójną całość i muszą uwzględniać wszystkie wymagania opisane w podstawie programowej. Ich przygotowanie i realizacja są zadaniem zarówno całej szkoły, jak i każdego nauczyciela. Szkoła oraz poszczególni nauczyciele podejmują działania mające na celu zindywidualizowane wspomaganie rozwoju każdego ucznia, stosownie do jego potrzeb i możliwości. Nauczanie uczniów z niepełnosprawnościami, w tym uczniów z upośledzeniem umysłowym w stopniu lekkim, dostosowuje się do ich możliwości psychofizycznych oraz tempa uczenia się. Na III i IV etapie edukacyjnym wymaga się od uczniów także wiadomości i umiejętności zdobytych na wcześniejszych etapach edukacyjnych. Strategia uczenia się przez całe życie wymaga umiejętności podejmowania ważnych decyzji – poczynając od wyboru szkoły ponadgimnazjalnej, kierunku studiów lub konkretnej specjalizacji zawodowej, poprzez decyzje o wyborze miejsca pracy, sposobie podnoszenia oraz poszerzania swoich kwalifikacji aż do ewentualnych decyzji o zmianie zawodu. Łącznie III i IV etap edukacyjny zapewniają wspólny i jednakowy dla wszystkich zasób wiedzy w zakresie podstawowym. Na IV etapie edukacyjnym możliwe jest ponadto kształcenie w zakresie rozszerzonym o istotnie szerszych wymaganiach w stosunku do zakresu podstawowego. MATeMAtyka. Program nauczania 6 IV etap edukacyjny Cele kształcenia – wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Uczeń rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. III. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. Uczeń buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia. IV. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. Uczeń tworzy strategię rozwiązania problemu. V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. MATeMAtyka. Program nauczania 7 Treści nauczania – wymagania szczegółowe ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); 3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; 4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; 5) wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką); 6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; 7) oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia; 8) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; 9) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: |x – a| = b, |x – a| < b, |x – a| ≥ b; 2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. MATeMAtyka. Program nauczania 10 liniowej; 10) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; 11) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 12) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje); 13) wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; 14) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym); 15) szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi; 16) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw; 17) posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. 5. Ciągi. Uczeń: 1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 2) bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; 3) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym; 2) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; 3) rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy. MATeMAtyka. Program nauczania 11 6. Trygonometria. Uczeń: 1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°; 2) korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora); 3) oblicza miarę kąta ostrego, dla którego funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną); 4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin² α + cos² α = 1, α αα cos sin tg = oraz sin (90° – α) = cos α; 5) znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie; 2) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego); 3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych; 4) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu sin x > a, cos x ≤ a, tg x > a); 5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów; 6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu: sin 2x = ½, sin 2x + cosx = 1, sin²x + cos²x =1, cos 2x < ½. 7. Planimetria. Uczeń: 1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym; 2) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych; 3) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów; 4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu; 2) stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych; 3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.); 4) rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności; MATeMAtyka. Program nauczania 12 5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń: 1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); 2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych; 3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 5) wyznacza współrzędne środka odcinka; 6) oblicza odległość dwóch punktów; 7) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu. spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności; 2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych; 3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza odległość punktu od prostej; 5) posługuje się równaniem okręgu (x – a)² + (y – b)² = r² oraz opisuje koła za pomocą nierówności; 6) wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu; 7) oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach; 8) stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji. 9. Stereometria. Uczeń: 1) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów; 2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów; 3) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną; 2) określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. MATeMAtyka. Program nauczania 15 przeznaczone są zagadnienia uzupełniające. W podręcznikach znajdują się także zadania typu maturalnego, które oswajają ucznia z formułą egzaminu maturalnego. Dla nauczyciela matematyki pracującego z omawianym programem istotny jest fakt, że autorzy programu położyli nacisk na następujący zapis z Podstawy Programowej: ,,W przypadku uczniów zdolnych, można wymagać większego zakresu umiejętności, jednakże wskazane jest podwyższenie trudności stopnia zadań, a nie poszerzenie tematyki”. Ponadto w prezentowanym programie uwzględniono zastosowanie nowoczesnych technologii (kalkulatora graficznego, komputera, tablicy multimedialnej). Dzięki programowi MATeMAtyka nauka matematyki, kojarzona przez niektórych uczniów tylko z liczeniem zadań, może stać się fascynującym i twórczym doświadczeniem, które daje satysfakcję zarówno uczniowi, jak i nauczycielowi. MATeMAtyka. Program nauczania 16 Obudowa dydaktyczna programu W skład serii wchodzą: • podręczniki z płytami CD-ROM dla każdej klasy w dwóch zakresach: podstawowym oraz podstawowym i rozszerzonym • zeszyty ćwiczeń • zbiory zadań • książki nauczyciela • sprawdziany z płytami CD-ROM • materiały dydaktyczne w wersji elektronicznej, dostępne na stronie www.nowaera.pl Budowa podręcznika dla ucznia Każdy dział podręcznika rozpoczyna się stroną działową ze zdjęciem i ciekawostkami nawiązującymi do rzeczywistości. Poszczególne tematy wprowadzane są w sposób przejrzysty: na początku przedstawiane są wyróżnione kolorem twierdzenia i definicje, dalej następują rozwiązane przykłady oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązywania. Każdy temat kończy się serią różnorodnych zadań, ułożonych zgodnie ze stopniem trudności – od najłatwiejszych do najtrudniejszych (odpowiedzi do większości zadań znajdują się na końcu podręcznika). Na końcu każdego działu są zamieszczone dwa zestawy powtórzeniowe utrwalające zdobytą wiedzę oraz zestaw zawierający zadania typu maturalnego podzielone na trzy kategorie: zamknięte, krótkiej odpowiedzi i rozszerzonej odpowiedzi (odpowiedzi do zadań z zestawów znajdują się na końcu podręcznika). Dla uczniów chcących pogłębić wiedzę zostały przygotowane zagadnienia uzupełniające. Mogą być one wykorzystane w pracy z uczniem zdolnym. Dodatkowo w podręcznikach dla klasy trzeciej znajdują się zestawy egzaminacyjne. Budowa książki dla nauczyciela Książka nauczyciela ma formę podręcznika obudowanego m. in. odpowiedziami do zadań i ćwiczeń, rozwiązaniami trudniejszych zadań, wskazówkami ułatwiającymi pracę z podręcznikiem. Dodatkowo zawiera materiały dydaktyczne przydatne w pracy nauczyciela, w tym szczegółowy rozkład materiału z podziałem na jednostki lekcyjne przewidziane w danym roku nauki. MATeMAtyka. Program nauczania 17 Ogólne cele kształcenia Ważnym celem nauczania matematyki w liceum i technikum jest wyposażenie przyszłego absolwenta w umiejętności matematyczne niezbędne do sprostania wymogom egzaminu maturalnego z matematyki na wybranym przez niego poziomie. Dodatkowo zakres podstawowy powinien dać absolwentowi umiejętności przydatne w codziennym życiu, zaś zakres rozszerzony – stworzyć solidny fundament do kontynuowania nauki na wymagających tego wyższych studiach. Nauczanie matematyki w sposób szczególny stymuluje rozwój intelektualny ucznia, między innymi wykształca: • umiejętność czytania tekstu ze zrozumieniem, w tym również tekstu zawierającego dane statystyczne prezentowane w różny sposób; • umiejętność logicznego myślenia i argumentowania; • nawyku krytycznej analizy informacji; • umiejętność formułowania hipotez i ich uzasadniania; • wyobraźnię przestrzenną; • umiejętność planowania strategii rozwiązania problemu; • postawę wykorzystywania narzędzi matematycznych w życiu codziennym, budowania modelu matematycznego dla danego kontekstu praktycznego z uwzględnieniem ograniczeń i zastrzeżeń z niego wynikających. MATeMAtyka. Program nauczania 20 Podział treści nauczania i wymagania szczegółowe w poszczególnych klasach W poniższych tabelach: Pogrubieniem oznaczono te hasła i wymagania, które wykraczają poza podstawę programową (dla zakresu podstawowego są to najczęściej treści rozszerzone zawarte w podstawie programowej. Nauczyciel może je realizować jedynie wtedy, gdy nie przeszkodzi to w opanowaniu przez uczniów materiału obowiązkowego. Opanowanie tych treści nie jest konieczne do kontynuowania nauki w klasach wyższych, ma na celu jedynie uzupełnienie wiedzy i umiejętności związanych z omawianym zagadnieniem z podstawy programowej. Kursywą wyróżniono hasła i wymagania realizowane na wcześniejszych etapach kształcenia, które należy utrwalić przed wprowadzeniem nowego materiału, aby umożliwić uczniowi łagodne przejście do IV etapu nauczania matematyki i zniwelować różnice. Materiał nauczania jest ujęty w główne działy określone w podstawie programowej: 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne 3. Równania i nierówności 4. Funkcje. 5. Ciągi. 6. Trygonometria. 7. Planimetria. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. 9. Stereometria. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. 11. Rachunek różniczkowy (tylko w zakresie rozszerzonym). MATeMAtyka. Program nauczania 21 ZAKRES PODSTAWOWY Klasa I (100 h) Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Liczby rzeczywiste • Liczby naturalne • podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych; • stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3, 5, 9; • wypisuje dzielniki danej liczby naturalnej; • wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych; • oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych; • przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb, np.: „Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9.” • Liczby całkowite, liczby wymierne • rozpoznaje wśród podanych liczb liczby całkowite i liczby wymierne; • oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych). • Liczby niewymierne • wskazuje wśród podanych liczb liczby niewymierne; • szacuje wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających liczby niewymierne; • wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie musi być liczbą niewymierną. • Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej • wskazuje wśród podanych liczb w postaci dziesiętnej liczby wymierne oraz niewymierne; • wyznacza rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych; • wyznacza wskazaną cyfrę po przecinku liczby podanej w postaci rozwinięcia dziesiętnego okresowego; • przedstawia liczbę podaną w postaci ułamka dziesiętnego (skończonego lub nieskończonego okresowego) w postaci ułamka zwykłego. MATeMAtyka. Program nauczania 22 • Pierwiastek z liczby nieujemnej • oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej; • wyłącza czynnik przed znak pierwiastka; • włącza czynnik pod znak pierwiastka; • wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach. • Pierwiastek nieparzystego stopnia • oblicza wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej; • wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb rzeczywistych, stosując prawa działań na pierwiastkach. • Potęga o wykładniku całkowitym • oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym; • stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do obliczania wartości wyrażeń; • stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych. • Notacja wykładnicza • zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej; • wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej. • Liczby rzeczywiste • przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg). • Reguła zaokrąglania • zaokrągla liczbę z podaną dokładnością; • oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, jakie jest to przybliżenie – z nadmiarem czy niedomiarem. • Procenty • wykonuje obliczenia procentowe: oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent, zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent; • interpretuje pojęcia procentu i punktu procentowego; • oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). • Wartość bezwzględna • oblicza wartość bezwzględną danej liczby. • Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej • rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną, elementarne równania i nierówności z wartością bezwzględną. MATeMAtyka. Program nauczania 25 • wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie; • interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; • wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). • Funkcja kwadratowa • szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; • wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; • interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje); • wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; • wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). 5. Planimetria • Kąty w trójkącie • klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów; • stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do rozwiązywania zadań. • Trójkąty przystające • rozpoznaje trójkąty przystające oraz stosuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania różnych problemów. • Trójkąty podobne • rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów. • Wielokąty podobne • wykorzystuje zależności między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań. MATeMAtyka. Program nauczania 26 • Twierdzenie Talesa • stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych. • Trójkąty prostokątne • stosuje twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań, wyprowadza zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwadratu i długości wysokości trójkąta równobocznego. 6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej • Równanie prostej na płaszczyźnie • wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); • bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych; • wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; • oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych. ZAKRES PODSTAWOWY Klasa II (100 h) Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Liczby rzeczywiste • Potęga o wykładniku wymiernym • oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. • Potęga o wykładniku rzeczywistym • upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach; • porównuje liczby przedstawione w postaci potęg; • wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych MATeMAtyka. Program nauczania 27 z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką). • Logarytm • wykorzystuje definicję logarytmu; • stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. 2. Równania i nierówności • Proste równania wielomianowe • korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu 83 −=x ; • korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu ( )( ) 071 =−+ xxx . • Wyrażenia wymierne • określa dziedzinę wyrażenia wymiernego; • mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; • dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne. • Równania wymierne • rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np. .2 1 ,2 3 1 x x x x x =+= + + 3. Funkcje • Proporcjonalność odwrotna • wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne; • wyznacza współczynnik proporcjonalności. • Funkcja f(x) = a/x • podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu; • szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a; • korzysta ze wzoru i wykresu funkcji f(x) = a/x do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. • Funkcja wykładnicza • szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw; • posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. MATeMAtyka. Program nauczania 30 ZAKRES PODSTAWOWY Klasa III (100 h) Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka • Reguła mnożenia, reguła dodawania • zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa • oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. 2. Statystyka • Średnia arytmetyczna, mediana i dominanta • oblicza średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę; • wykorzystuje średnią arytmetyczną, medianę i dominantę do rozwiązywania zadań. • Średnia ważona, odchylenie standardowe • oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. 3. Stereometria • Proste i płaszczyzny w przestrzeni • wskazuje w wielościanach proste prostopadłe, równoległe i skośne; • wskazuje w wielościanach rzut prostokątny danego odcinka. • Graniastosłupy • sporządza rysunek graniastosłupa wraz z oznaczeniami; • oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego. • Ostrosłupy • sporządza rysunek ostrosłupa wraz z oznaczeniami; • oblicza pole powierzchni i objętość ostrosłupa. • Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach • wskazuje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, MATeMAtyka. Program nauczania 31 krawędziami i przekątnymi itp.), oblicza miary tych kątów; • wskazuje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów. • Kąt dwuścienny • wskazuje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami. • Przekroje prostopadłościanów • określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. • Bryły obrotowe • oblicza pola powierzchni i objętości brył obrotowych. • Kąty w walcach i stożkach • rozpoznaje w walcach i w stożkach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów. • Zastosowania trygonometrii w stereometrii • stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości wielościanów i brył obrotowych. ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY Klasa I (160 h) Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Liczby rzeczywiste • Liczby naturalne • podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych; • stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3, 5, 9; • wypisuje dzielniki danej liczby naturalnej; • wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych; • oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych; • przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb, np.: „Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9.” MATeMAtyka. Program nauczania 32 • Liczby całkowite, liczby wymierne • rozpoznaje wśród podanych liczb liczby całkowite i liczby wymierne; • oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych). • Liczby niewymierne • wskazuje wśród podanych liczb liczby niewymierne; • szacuje wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających liczby niewymierne; • wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie musi być liczbą niewymierną. • Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej • wskazuje wśród podanych liczb w postaci dziesiętnej liczby wymierne oraz niewymierne; • wyznacza rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych; • wyznacza wskazaną cyfrę po przecinku liczby podanej w postaci rozwinięcia dziesiętnego okresowego; • przedstawia liczbę podaną w postaci ułamka dziesiętnego (skończonego lub nieskończonego okresowego) w postaci ułamka zwykłego. • Pierwiastek z liczby nieujemnej • oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej; • wyłącza czynnik przed znak pierwiastka; • włącza czynnik pod znak pierwiastka; • wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach. • Pierwiastek nieparzystego stopnia • oblicza wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej; • wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb rzeczywistych, stosując prawa działań na pierwiastkach. • Potęga o wykładniku całkowitym • oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym; • stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do obliczania wartości wyrażeń; • stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych. • Notacja wykładnicza • zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej; • wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej. MATeMAtyka. Program nauczania 35 własności wartości bezwzględnej; • rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną o poziomie trudności nie wyższym, niż: ||x + 1|– 2|= 3, |x + 3|+|x – 5|>12. • Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi • rozwiązuje układ równań metodą podstawiania i przeciwnych współczynników; • określa, czy dany układ równań jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny; • układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią. • Graficzna metoda rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi • rozwiązuje układ równań metodą graficzną; • wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu równań a położeniem dwóch prostych. • Równania kwadratowe z jedna niewiadomą • rozwiązuje równanie kwadratowe przez rozkład na czynniki; • rozwiązuje równania kwadratowe korzystając ze wzorów; • interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego. • Wzory Viète’a • stosuje wzory Viète’a. • Nierówności kwadratowe z jedna niewiadomą • stosuje związek między rozwiązaniem nierówności kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniej funkcji kwadratowej do rozwiązuje nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą. • Równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem • przeprowadza analizę zadań z parametrem; • zapisuje założenia, aby zachodziły warunki podane w treści zadania i wyznacza te wartości parametru, dla których są one spełnione. • Układy równań drugiego stopnia • rozwiązuje układy równań prowadzące do równań kwadratowych; • stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej. 4. Funkcje • Sposoby opisywania funkcji • określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego. • Wartość funkcji • oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu; • posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego MATeMAtyka. Program nauczania 36 argumentu funkcja przyjmuje daną wartość. • Własności funkcji • odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca, rosnąca, ma stały znak; argumenty dla, których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą). • Przekształcenia wykresów funkcji • na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = –f(x), y = f(–x). • na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = |f(x)|, y = c · f(x), y = f(cx); • szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu. • Funkcja liniowa • rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru; • wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie; • interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; • wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). • Funkcja kwadratowa • szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; • wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; • interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje); • wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; • wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). 5. Planimetria i trygonometria • Kąty w trójkącie • klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów; MATeMAtyka. Program nauczania 37 • stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do rozwiązywania zadań. • Trójkąty przystające • rozpoznaje trójkąty przystające oraz stosuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania różnych problemów. • Trójkąty podobne • rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów. • Wielokąty podobne • wykorzystuje zależności między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań. • Twierdzenie Talesa • stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych. • Trójkąty prostokątne • stosuje twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań, wyprowadza zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwadratu i długości wysokości trójkąta równobocznego. • Definicje funkcji trygonometryczne kąta ostrego • wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów ostrych; • korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora); • oblicza miarę kąta ostrego, dla którego funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną). • Związki między funkcjami trygonometrycznymi • stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin² α + cos² α = 1, α αα cos sin tg = oraz sin (90° – α) = cos α; • znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. • Zastosowania trygonometrii w planimetrii • korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. • Pola czworokątów • oblicza pola i obwody równoległoboku, rombu, trapezu; MATeMAtyka. Program nauczania 40 2. Równania i nierówności • Równania wielomianowe • korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu 83 −=x ; • korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu ( )( ) 071 =−+ xxx ; • stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a; • stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych; • rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych; • stosuje twierdzenie Bézouta. • Nierówności wielomianowe • rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe. • Równania wymierne • rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np. .2 1 ,2 3 1 x x x x x =+= + + • Nierówności wymierne • rozwiązuje proste nierówności wymierne typu: . 45 31 74 23 , 4 2 16 3 ,2 3 1 22 x x x x xx x x x x x − −≤ − − − < − +> + + 3. Funkcje • Proporcjonalność odwrotna • wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne; • wyznacza współczynnik proporcjonalności. • Funkcja f(x) = a/x • podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu; • szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a; • korzysta ze wzoru i wykresu funkcji f(x) = a/x do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. • Funkcja homograficzna • szkicuje wykresy funkcji homograficznych i określa ich własności; MATeMAtyka. Program nauczania 41 • wyznacza równania asymptot wykresu funkcji homograficznej; • rozwiązuje zadania z paametrem dotyczące funkcji homograficznej. 3. Trygonometria • Kąt obrotu • zaznacza w układzie współrzędnych kąt o danej mierze; • wyznacza kąt, mając dany punkt należący do jego końcowego ramienia i odwrotnie – bada, czy punkt należy do końcowego ramienia danego kąta. • Miara łukowa kąta • stosuje miarę łukową kąta; • zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie. • Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta • wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego). • Funkcje okresowe • odczytuje okres podstawowy funkcji na podstawie jej wykresu; • szkicuje wykres funkcji okresowej; • stosuje okresowość funkcji do wyznaczania jej wartości. • Wykresy funkcji trygonometrycznych • szkicuje wykres funkcji trygonometrycznych; • posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu sin x > a, cos x ≤ a, tg x > a); • wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych. • Tożsamości trygonometryczne • stosuje zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin² α + cos² α = 1, α αα cos sin tg = oraz sin (90° – α) = cos α; • znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta. • Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, suma i różnica sinusów i cosinusów • stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów, w tym do przekształcania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne (również do uzasadniania tożsamości trygonometrycznych). • Równania i nierówności trygonometryczne • rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin 2x = ½, MATeMAtyka. Program nauczania 42 sin 2x + cosx = 1, sin²x + cos²x =1, cos 2x < ½. 4. Ciągi • Pojęcie ciągu • wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego początkowych wyrazów; • wyznacza wyrazy ciągu opisanego słownie; • szkicuje wykres ciągu; • wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. • Monotoniczność ciągu • wyznacza wyraz 1+na ciągu określonego wzorem ogólnym; • bada monotoniczność ciągu, korzystając z definicji; • wyznacza wartość parametru tak, aby ciąg był ciągiem monotonicznym. • Ciągi określone rekurencyjnie • wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym. • Ciąg arytmetyczny • bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny; • stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. • Ciąg geometryczny • bada, czy dany ciąg jest geometryczny; • stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. • Granica ciągu • oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 2 1 , 1 nn oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów. • Szereg geometryczny • rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy. 5. Rachunek różniczkowy • Granica funkcji • oblicza granice funkcji w punkcie i w nieskończoności; • oblicza granice jednostronne; • korzysta z twierdzeń o działaniach na granicach. • Ciągłość funkcji • bada ciągłość funkcji w punkcie; • korzysta z własności funkcji ciągłych. MATeMAtyka. Program nauczania 45 3. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka • Reguła mnożenia, reguła dodawania • zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. • Permutacje, wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami, kombinacje • wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji bez powtórzeń i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa • oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. • Rozkład prawdopodobieństwa • podaje rozkład prawdopodobieństwa dla rzutów kostką, monetą; • oblicza wartość oczekiwaną gry. • Własności prawdopodobieństwa • oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego; • stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń; • stosuje własności prawdopodobieństwa w dowodach twierdzeń. • Prawdopodobieństwo warunkowe • oblicza prawdopodobieństwo warunkowe. • Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym • korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym w rozwiązywaniu zadań. 4. Statystyka • Średnia arytmetyczna, mediana i dominanta • oblicza średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę; • wykorzystuje średnią arytmetyczną, medianę i dominantę do rozwiązywania zadań. • Średnia ważona, odchylenie standardowe • oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. MATeMAtyka. Program nauczania 46 5. Stereometria • Proste i płaszczyzny w przestrzeni • wskazuje w wielościanach proste prostopadłe, równoległe i skośne; • wskazuje w wielościanach rzut prostokątny danego odcinka. • Graniastosłupy • sporządza rysunek graniastosłupa wraz z oznaczeniami; • oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego. • Ostrosłupy • sporządza rysunek ostrosłupa wraz z oznaczeniami; • oblicza pole powierzchni i objętość ostrosłupa. • Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach • rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów; • rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów. • Kąt dwuścienny • rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami. • Przekroje prostopadłościanów • określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. • Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów • określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa bądź ostrosłupa płaszczyzną. • Bryły obrotowe • obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych. • Kąty w walcach i stożkach • rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów. • Przekrój sfery • określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery. • Zastosowania trygonometrii w stereometrii • stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości wielościanów i brył obrotowych. • Bryły podobne • wyznacza skalę podobieństwa brył podobnych; • wykorzystuje podobieństwo brył do obliczania objętości. MATeMAtyka. Program nauczania 47 Propozycja metod kontroli i oceny osiągnięć Systematyczne ocenianie efektów pracy zarówno ucznia, jak i nauczyciela, jest koniecznym oraz nieodłącznym elementem każdego programu szkolnego, mającego przynosić zaplanowane i oczekiwane wyniki. Każda szkoła, zależnie od realiów, w których funkcjonuje, musi jednak najpierw odpowiedzieć sobie na pytanie, jakich wyników się spodziewa. Odpowiedzi te w przypadku szkół pracujących w zupełnie odmiennych warunkach regionalnych i środowiskowych mogą być diametralnie rożne. Proponowana koncepcja zakłada ujednolicenie szkolnej metody prezentacji oceny semestralnej oraz statutowe przyznanie nauczycielom wolności wyboru sposobu oceniania śródsemestralnego. W proponowanej koncepcji zakłada się, że uczeń poddawany jest ocenianiu trojakiego rodzaju: systemowemu, szkolnemu i nauczycielskiemu. Wszystkie te trzy rodzaje oceniania są ze sobą powiązane i sobie podporządkowane. • Ocenianie systemowe jest niezależne od szkoły. Zewnętrzny system edukacji wyznacza jednak cele pracy z uczniem, gdyż oczekuje od niego zdawania rożnego rodzaju egzaminów stanowiących przepustkę do szkół wyższych szczebli. Praca szkoły jest postrzegana przez wyniki uczniów na egzaminach. Zależnie od tego, czy i w jakim stopniu dana dziedzina jest obecna na obowiązujących aktualnie egzaminach zewnętrznych, ocenianiu systemowemu podporządkowane są w mniejszym lub większym stopniu dwa pozostałe rodzaje oceniania. • Ocenianie szkolne sytuuje się pomiędzy ocenianiem nauczycielskim a systemowym. Ma na celu przygotowanie ucznia do oceniania zewnętrznego, a jednocześnie jest syntezą stosowanych w szkole nauczycielskich metod oceniania i wpływa na każdy nauczycielski system wystawiania ocen. Wykorzystuje przyjęte w szkole sposoby informowania rodziców i uczniów o wynikach nauki oraz metody szkolnego analizowania i porównywania wyników uczniów, zmierzające do jak najlepszej prognozy wyników oceniania zewnętrznego. • Ocenianie nauczycielskie odbywa się w klasie lub grupie szkolnej według reguł ustalonych przez nauczyciela na podstawie własnych pomysłów i wiedzy. Cele oceniania nauczycielskiego Cel I. Informowanie Ocena nauczycielska jest przede wszystkim informacją formułowaną na potrzeby: ucznia, rodziców, nauczyciela, szkoły oraz systemu edukacji. Komunikat kierowany do ucznia musi być dla niego zrozumiały. Postępy każdego ucznia musza być na bieżąco i w sposób jasny dokumentowane dla potrzeb szkoły (m. in. na wypadek zmiany nauczyciela, zastępstw itp.), jako instytucji odpowiedzialnej za jego kształcenie. Swoje wymogi ma też system edukacji. W wypadku zmiany szkoły przez ucznia ważne jest przekazanie odpisu jego arkusza ocen. MATeMAtyka. Program nauczania 50 3. W czasie semestru stawiane mogą być również plusy i minusy. Trzy plusy dają ocenę bardzo dobrą, trzy minusy – ocenę niedostateczną. Plusami i minusami oceniane mogą być: • praca ucznia na lekcji – wypowiedzi ustne, aktywność i zaangażowanie; wyróżniająca się wypowiedź – plus, kompletny brak zaangażowania, niewykonywanie poleceń – minus • prace domowe – wyróżniające się wykonanie zadania domowego – plus, brak pracy domowej – minus • prowadzenie zeszytu – zeszyt jest kontrolowany 2–3 razy w trakcie semestru; wyjątkowo dobrze prowadzony zeszyt – plus; brak zeszytu na lekcji – minus • zadania dodatkowe – bardzo dobre wykonanie – plus 4. Na podstawie otrzymanych w trakcie semestru stopni wystawiana jest łączna ocena za cały semestr. Zadaniem każdego nauczyciela jest opracowanie na początku roku szkolnego Przedmiotowego Systemu Oceniania zgodnego z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania. Obydwa dokumenty, zatwierdzone przez Radę Pedagogiczną, powinny uwzględniać specyfikę szkoły, środowisko uczniów, profil klasy itp. Szczegółowe zasady oceniania wewnątrzszkolnego określa statut szkoły, z uwzględnieniem przepisów rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 19 kwietnia 1999 r. (z późniejszymi zmianami). W następnej sekcji zaprezentowano katalog osiągnięć koniecznych absolwenta szkoły ponadgimnazjalnej – dla zakresu podstawowego oraz zakresu podstawowego i rozszerzonego. MATeMAtyka. Program nauczania 51 Osiągnięcia konieczne absolwenta szkoły ponadgimnazjalnej Zakres podstawowy Uczeń powinien znać następujące pojęcia, własności i algorytmy: • w klasie I dotyczące: liczb rzeczywistych, przedziałów liczbowych, funkcji, funkcji liniowej i funkcji kwadratowej, równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, równań i nierówności kwadratowych, układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, równoległości i prostopadłości prostych, podobieństwa trójkątów; • w klasie II dotyczące: wielomianów, funkcji f(x) = a/x, prostych równań wymiernych, ciągów, funkcji wykładniczych i logarytmów, funkcji trygonometrycznych kąta wypukłego, kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku, stycznej do okręgu i okręgów stycznych, odległości między punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej oraz współrzędnych środka odcinka, symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych; • w klasie III dotyczące: prawdopodobieństwa, statystyki i stereometrii. Uczeń powinien umieć posługiwać się w/w pojęciami, własnościami i algorytmami, a ponadto: • stosować posiadaną wiedzę do rozwiązywania zadań praktycznych, np.: ‒ korzystać z procentów w zagadnieniach związanych z podatkami, ubezpieczeniami, inflacją, lokatami bankowymi, kredytami itp., ‒ dokonywać obliczeń miarowych: obwodów, pól, objętości i przybliżać wyniki z zadaną dokładnością, ‒ odczytywać i analizować informacje z tabel, diagramów i wykresów, wyznaczać i interpretować liczby charakteryzujące zestawy danych; • dobrać odpowiedni model matematyczny czy algorytm do prostej sytuacji problemowej z uwzględnieniem niezbędnych ograniczeń i zastrzeżeń oraz krytycznie ocenić uzyskane wyniki; • stosować definicje i twierdzenia w rozwiązywaniu problemów; • przeprowadzić proste rozumowanie, dobierając odpowiednie argumenty potwierdzające jego poprawność; • wykorzystywać w różnych sytuacjach urządzenia techniczne, takie jak: kalkulator, kalkulator graficzny, komputer. MATeMAtyka. Program nauczania 52 Zakres podstawowy i rozszerzony Uczeń powinien znać następujące pojęcia, własności i algorytmy: • w klasie I dotyczące: liczb rzeczywistych, przedziałów liczbowych, funkcji, funkcji liniowej i funkcji kwadratowej, równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, równań i nierówności kwadratowych, układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, układów równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi, wielokątów podobnych, twierdzenia Talesa i twierdzenia odwrotnego do niego, funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, odległości między punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej oraz współrzędnych środka odcinka, wektorów, równania okręgu, jednokładności; • w klasie II dotyczące: wielomianów, wyrażeń wymiernych, równań i nierówności wymiernych, funkcji trygonometrycznych, ciągów, ciągłości i pochodnej funkcji, czworokątów wpisanych w okrąg i czworokątów opisanych na okręgu, twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów; • w klasie III dotyczące: funkcji wykładniczych i funkcji logarytmicznych, prawdopodobieństwa, statystyki i stereometrii. Uczeń powinien umieć posługiwać się w/w pojęciami, własnościami i algorytmami, a ponadto: • posługiwać się pojęciami, własnościami i algorytmami dotyczącymi: liczb rzeczywistych, przedziałów liczbowych, funkcji, równań, nierówności i układów równań, ciągów, prawdopodobieństwa i figur geometrycznych wynikające z treści programu w zakresie rozszerzonym; • stosować posiadaną wiedzę do rozwiązywania zadań praktycznych, np.: ‒ korzystać z procentów w zagadnieniach związanych z podatkami, ubezpieczeniami, inflacją, lokatami bankowymi, kredytami itp., ‒ dokonywać obliczeń miarowych: obwodów, pól, objętości i przybliżać wyniki z zadaną dokładnością, ‒ odczytywać i analizować informacje z tabel, diagramów i wykresów, wyznaczać i interpretować liczby charakteryzujące zestawy danych; • formułować zależności, wyciągać wnioski i uzasadniać ich prawdziwość; • dobrać odpowiedni model matematyczny czy algorytm do sytuacji problemowej i weryfikować uzyskane wyniki; • stosować definicje i twierdzenia w rozwiązywaniu problemów; • argumentować i przeprowadzać rozumowanie dedukcyjne oraz uzasadniać jego poprawność; • wykorzystywać urządzenia techniczne, jak kalkulator, kalkulator graficzny, komputer w różnych sytuacjach. MATeMAtyka. Program nauczania 55 Propozycja szczegółowego rozkładu materiału Program zakłada powtórzenie i utrwalenie wiadomości i umiejętności z wcześniejszych etapów edukacyjnych, niezbędnych w dalszym toku kształcenia (np. działania na liczbach, rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, wiadomości dotyczące wielokątów i brył). Warto sprawdzić na początku pierwszej klasy, jakie wiadomości i umiejętności posiadają uczniowie rozpoczynający naukę w szkole ponadgimnazjalnej. Pozwoli to na optymalne wykorzystanie czasu zajęć. W klasie trzeciej przewidziano odpowiednią liczbę godzin na powtórzenie materiału i przygotowanie uczniów do egzaminu maturalnego. ZAKRES PODSTAWOWY Klasa I (100 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 3. Liczby niewymierne 1 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 1 5. Pierwiastek z liczby nieujemnej 1 6. Działania na pierwiastkach 1 7. Pierwiastek nieparzystego stopnia 1 8. Potęga o wykładniku całkowitym 1 9. Notacja wykładnicza 1 10. Przybliżenia 1 MATeMAtyka. Program nauczania 56 11. Procenty 2 12. Powtórzenie wiadomości 1 13. Praca klasowa i jej omówienie 2 2. Język matematyki 15 1. Zbiory 1 2. Działania na zbiorach 1 3. Przedziały 1 4. Działania na przedziałach 1 5. Rozwiązywanie nierówności 2 6. Mnożenie sum algebraicznych 1 7. Wzory skróconego mnożenia 1 8. Zastosowanie przekształceń algebraicznych 2 9. Wartość bezwzględna 1 10. Błąd bezwzględny i błąd względny 1 11. Powtórzenie wiadomości 1 12. Praca klasowa i jej omówienie 2 3. Funkcja liniowa 14 1. Sposoby opisu funkcji 1 2. Wykres funkcji liniowej 2 3. Własności funkcji liniowej 1 4. Równanie prostej na płaszczyźnie 1 5. Współczynnik kierunkowy prostej 1 MATeMAtyka. Program nauczania 57 6. Warunek prostopadłości prostych 1 7. Układy równań liniowych 2 8. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych 1 9. Funkcja liniowa – zastosowania 1 10. Powtórzenie wiadomości 1 11. Praca klasowa i jej omówienie 2 4. Funkcje 13 1. Dziedzina i miejsca zerowe funkcji 1 2. Szkicowanie wykresów funkcji 1 3. Monotoniczność funkcji 1 4. Odczytywanie własności funkcji z wykresu 2 5. Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych 2 6. Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych 2 7. Funkcje – zastosowania 1 8. Powtórzenie wiadomości 1 9. Praca klasowa i jej omówienie 2 5. Funkcja kwadratowa 19 1. Wykres funkcji f (x) = ax2 1 2. Przesunięcie wykresu funkcji f (x) = ax2 wzdłuż osi układu współrzędnych 2 3. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej 2 MATeMAtyka. Program nauczania 60 4. Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej 1 5. Logarytm 2 6. Własności logarytmów 3 7. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne – zastosowania 3 8. Powtórzenie wiadomości 2 9. Praca klasowa i jej omówienie 2 3. Ciągi 20 1. Pojęcie ciągu 1 2. Sposoby określania ciągu 2 3. Ciągi monotoniczne 2 4. Ciąg arytmetyczny 2 5. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 2 6. Ciąg geometryczny 2 7. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 2 8. Procent składany 3 9. Powtórzenie wiadomości 2 10. Praca klasowa i jej omówienie 2 4. Planimetria (1) 16 1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 2 2. Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego 1 MATeMAtyka. Program nauczania 61 3. Trygonometria – zastosowania 2 4. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych 1 5. Związki między funkcjami trygonometrycznymi 2 6. Pole trójkąta 2 7. Czworokąty wypukłe 1 8. Pole czworokąta 2 9. Powtórzenie wiadomości 1 10. Praca klasowa i jej omówienie 2 5. Planimetria (2) 15 1. Wzajemne położenie dwóch okręgów 1 2. Wzajemne położenie okręgu i prostej 1 3. Długość okręgu i pole koła 1 4. Kąty w okręgu 2 5. Okrąg opisany na trójkącie 1 6. Okrąg wpisany w trójkąt 1 7. Odległość między punktami w układzie współrzędnych 1 8. Środek odcinka 1 9. Symetria osiowa. Symetria środkowa 2 10. Powtórzenie wiadomości 2 11. Praca klasowa i jej omówienie 2 Godziny do dyspozycji nauczyciela 11 Razem 100 MATeMAtyka. Program nauczania 62 ZAKRES PODSTAWOWY Klasa III (100 h) Temat Liczba godzin 1. Rachunek prawdopodobieństwa 13 1. Reguła mnożenia. Reguła dodawania 2 2. Rozwiązywanie zadań z kombinatoryki 2 3. Zdarzenia losowe 1 4. Prawdopodobieństwo klasyczne 4 5. Powtórzenie wiadomości 2 6. Praca klasowa i jej omówienie 2 2. Statystyka 8 1. Średnia arytmetyczna 1 2. Mediana i dominanta 1 3. Odchylenie standardowe 2 4. Średnia ważona 1 5. Powtórzenie wiadomości 1 6. Praca klasowa i jej omówienie 2 MATeMAtyka. Program nauczania 65 3. Przedziały 1 4. Działania na przedziałach 1 5. Rozwiązywanie nierówności 2 6. Wzory skróconego mnożenia 3 7. Zastosowanie przekształceń algebraicznych 2 8. Wartość bezwzględna 1 9. Własności wartości bezwzględnej 1 10. Równania i nierówności z wartością bezwzględną 4 11. Błąd bezwzględny i błąd względny 1 12. Powtórzenie wiadomości 2 13. Praca klasowa i jej omówienie 2 3. Funkcja liniowa 19 1. Sposoby opisu funkcji 1 2. Wykres funkcji liniowej 2 3. Własności funkcji liniowej 1 4. Równanie prostej na płaszczyźnie 1 5. Współczynnik kierunkowy prostej 1 6. Warunek prostopadłości prostych 2 7. Układy równań liniowych 2 8. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych 2 9. Układy nierówności liniowych 1 MATeMAtyka. Program nauczania 66 10. Funkcja liniowa – zastosowania 2 11. Powtórzenie wiadomości 2 12. Praca klasowa i jej omówienie 2 4. Funkcje 19 1. Dziedzina i miejsca zerowe funkcji 2 2. Szkicowanie wykresów funkcji 1 3. Monotoniczność funkcji 1 4. Odczytywanie własności funkcji z wykresu 2 5. Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych 2 6. Wektory w układzie współrzędnych 1 7. Przesuwanie wykresu o wektor 1 8. Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych 1 9. Inne przekształcenia wykresu funkcji 2 10. Funkcje – zastosowania 2 11. Powtórzenie wiadomości 2 12. Praca klasowa i jej omówienie 2 5. Funkcja kwadratowa 28 1. Wykres funkcji f (x) = ax2 1 2. Przesunięcie wykresu funkcji f (x) = ax2 o wektor 1 3. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej 3 MATeMAtyka. Program nauczania 67 4. Równania kwadratowe 4 5. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej 1 6. Równania sprowadzalne do równań kwadratowych 2 8. Nierówności kwadratowe 2 9. Układy równań 1 10. Wzory Viète’a 2 11. Równania kwadratowe z parametrem 4 12. Funkcja kwadratowa – zastosowania 3 13. Powtórzenie wiadomości 2 14. Praca klasowa i jej omówienie 2 6. Planimetria 23 1. Miary kątów w trójkącie 1 2. Trójkąty przystające 1 3. Trójkąty podobne 1 4. Wielokąty podobne 1 5. Twierdzenie Talesa 2 6. Trójkąty prostokątne 2 7. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 2 8. Trygonometria – zastosowania 2 9. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych 1 10. Związki między funkcjami trygonometrycznymi 2 MATeMAtyka. Program nauczania 70 2. Funkcje wymierne 23 1. Proporcjonalność odwrotna 1 2. Wykres funkcji f(x) = a/x 1 3. Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor 2 4. Funkcja homograficzna 2 5. Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej 1 6. Wyrażenia wymierne 1 7. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych 1 8. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych 2 9. Równania wymierne 2 10. Nierówności wymierne 2 11. Funkcje wymierne 1 12. Równania i nierówności z wartością bezwzględną 2 13. Funkcje wymierne – zastosowania 2 14. Powtórzenie wiadomości 1 15. Praca klasowa i jej omówienie 2 3. Funkcje trygonometryczne 29 1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta 1 2. Kąt obrotu 1 MATeMAtyka. Program nauczania 71 3. Miara łukowa kąta 1 4. Funkcje okresowe 1 5. Wykres funkcji sinus 1 6. Wykres funkcji cosinus 1 7. Wykres funkcji tangens i cotangens 1 8. Przesunięcie wykresu funkcji trygonometrycznej o wektor 2 9. Przekształcenia wykresu funkcji trygonometrycznej (1) 2 10. Przekształcenia wykresu funkcji trygonometrycznej (2) 2 11. Przekształcenia wykresu funkcji trygonometrycznej (3) 2 12. Tożsamości trygonometryczne 2 13. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów 2 14. Wzory redukcyjne 2 15. Równania trygonometryczne 3 16. Nierówności trygonometryczne 2 17. Powtórzenie wiadomości 1 18. Praca klasowa i jej omówienie 2 4. Ciągi 27 1. Pojęcie ciągu 1 2. Sposoby określania ciągu 2 MATeMAtyka. Program nauczania 72 3. Ciągi monotoniczne 2 4. Ciągi określone rekurencyjnie 1 5. Ciąg arytmetyczny 2 6. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 2 7. Ciąg geometryczny 2 8. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 2 9. Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne – zadania 2 10. Procent składany 2 11. Granica ciągu 1 12. Granica niewłaściwa ciągu 1 13. Obliczanie granic ciągów 2 14. Szereg geometryczny 2 15. Powtórzenie wiadomości 1 16. Praca klasowa i jej omówienie 2 5. Rachunek pochodnych 29 1. Granica funkcji w punkcie 1 2. Obliczanie granic funkcji w punkcie 2 3. Granice jednostronne 1 MATeMAtyka. Program nauczania 75 5. Własności funkcji wykładniczej 2 6. Logarytm 2 7. Własności logarytmów 2 8. Funkcje logarytmiczne 2 9. Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej 1 10. Zmiana podstawy logarytmu 2 11. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne – zastosowania 2 12. Powtórzenie wiadomości 2 13. Praca klasowa i jej omówienie 2 2. Rachunek prawdopodobieństwa 29 1. Reguła mnożenia. Reguła dodawania 2 2. Permutacje 1 3. Wariacje bez powtórzeń 1 4. Wariacje z powtórzeniami 1 5. Kombinacje 2 6. Kombinatoryka - zadania 2 7. Zdarzenia losowe 2 8. Prawdopodobieństwo klasyczne 2 9. Rozkład prawdopodobieństwa 1 10. Własności prawdopodobieństwa 3 11. Doświadczenia wieloetapowe 2 MATeMAtyka. Program nauczania 76 12. Prawdopodobieństwo warunkowe 2 13. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń 1 14. Prawdopodobieństwo całkowite 2 15. Powtórzenie wiadomości 2 16. Praca klasowa i jej omówienie 3 3. Statystyka 8 1. Średnia arytmetyczna 1 2. Mediana i dominanta 1 3. Odchylenie standardowe 2 4. Średnia ważona 1 5. Powtórzenie wiadomości 1 6. Praca klasowa i jej omówienie 2 4. Stereometria 27 1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni 1 2. Graniastosłupy 1 3. Odcinki w graniastosłupach 1 4. Objętość graniastosłupa 2 5. Ostrosłupy 1 6. Objętość ostrosłupa 3 7. Kąt między prostą a płaszczyzną 1 MATeMAtyka. Program nauczania 77 8. Kąt dwuścienny 2 9. Przekroje wielościanów 2 10. Walec 2 11. Stożek 2 12. Kula 2 13. Bryły podobne 2 14. Powtórzenie wiadomości 2 15. Praca klasowa i jej omówienie 3 5. Powtórzenie przed maturą 62 Godziny do dyspozycji nauczyciela 10 Razem 160