tablice matematyczne, Egzamin maturalny z Matematyka

Pobierz tablice matematyczne i więcej Egzamin maturalny w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Spis treści

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

• 1. Wartość bezwzględna liczby
• 2. Potęgi i pierwiastki
• 3. Logarytmy
• 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy
• 5. Wzór dwumianowy Newtona
• 6. Wzory skróconego mnożenia
• 7. Ciągi
• 8. Funkcja kwadratowa
• 9. Geometria analityczna
• 10. Planimetria
• 11. Stereometria
• 12. Trygonometria
• 13. Kombinatoryka
• 14. Rachunek prawdopodobieństwa
• 15. Parametry danych statystycznych
• 16. Granica ciągu..........................................................................................................................................
• 17. Pochodna funkcji
• 18. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych
  • Warszawa Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

3. LOGARYTMY

Logarytmem log (^) a c dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a , aby otrzymać c :

log (^) ac = b wtedy i tylko wtedy, gdy a b = c

Równoważnie:

a log a^^ c = c

Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:

log (^) a ( x ⋅ y (^) ) = log (^) a x + log (^) a y log (^) axr = r ⋅ log (^) ax log aa x a a y

= log x −log y

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to

log log b log a a

c c b

Logarytm log 10 x można też zapisać jako log x lub lg x.

4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie:

n! = 1 2⋅ ⋅ ...⋅ n

Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej zachodzi związek:

( n^ +^1 )^!^ =^ n !⋅^ ( n +^1 )

Dla liczb całkowitych n , k spełniających warunki definiujemy współczynnik dwumianowy n k

(symbol Newtona):

n k

n k n k

 =^ ( − )

Zachodzą równości:

n k

n n k

 =^  −

n n 0 n

 =^ 

 =^1

( 1 )(^2 )^ ...^ ( 1 ) !

n n n n n k k (^) k

 ^ −^ −^ ⋅^ ⋅^ −^ +

5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a , b mamy:

a b n^ a n^ a b n k

a b n n

( + ) n^ =  n^ n^ n^ k^ k 

 +^ + 

0 1 −^1 ...^ ^ − +^ ...^ +^  − 11 1

ab −  n n

n (^) bn

6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Dla dowolnych liczb a , b :

( a + b ) 2 = a^2 + 2 ab + b^2 ( a + b ) 3 = a^3 + 3 a b 2 + 3 ab^2 + b^33 ( a^ − b^ )^2 =^ a^^2 −^2 ab^ +^ b^^2 ( a^ − b^ )^3 =^ a^^3 −^3 a b^2^ +^3 ab^2 −−^ b^3

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a , b zachodzi wzór:

a n^ − b n^ = (^) ( a − b (^) ) (^) ( a n^ −^1 + a n^ −^2 b^ + ... + a n^ −^ k^ b k^ −^1 + ...+ ab n^ −^2 + bn −^1 )

W szczególności:

a b a b a b a a a b

2 2 2 3 3

− = (^) ( − ) ( + ) − 1 = (^) ( − (^1) ) ( + (^1) ) −

a == (^) ( − ) ( + + ) − = (^) ( − ) ( + + )

• = (^) ( + )

a b a ab b a a a a b a b a

2 2 3 2 3 3

a 1 1 1 ( 22 −^ ab^ + b^^2 ) a^3 +^1 =^ (^ a^ +^1 )^ ( a^^2 −^ a +^1 ) a n^ − 1 = (^) ( a − (^1) ) (^) ( a n^ −^1 + an −^2 +.... + a + (^1) )

7. CIĄGI

• Ciąg arytmetyczny Wzór na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego (^) ( an ) o pierwszym wyrazie a 1 i różnicy r :

a (^) n = a 1 (^) + ( n − 1 ) r

Wzór na sumę S (^) n = a 1 (^) + a (^) 2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

S a^ a^ n

a n r n^ =^ +^ n ⋅^ =^ n

• (^) ( − ) (^1 1) ⋅ 2

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

a (^) n = a^ n^ −^1 + a^ n +^1 n 2

dla 2

• Ciąg geometryczny Wzór na n -ty wyraz ciągu geometrycznego (^) ( an ) o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q :

a (^) n = a 1 ⋅ q n −^1 dla n 2

Wzór na sumę S (^) n = a 1 (^) + a (^) 2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

a (^) n^2 = a (^) n − 1 ⋅ a (^) n + 1 dla n 2

• Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy K (^) n wyraża się wzorem:

K K

p n

n = ⋅  + 



 

(^1 100) 

• Wektory

Współrzędne wektora AB

AB x (^) B x (^) A y (^) B yA

= (^) [ − , − ]

Jeżeli u u u v v v

= [ 1 , (^2) ] , = [ 1 , (^2) ]są wektorami, zaś a jest liczbą, to u v u v u v a u a u a u

• = (^) [ 1 + 1 , 2 + 2 ] ⋅ = (^) [ ⋅ 1 , ⋅ 2 ]]

• Prosta Równanie ogólne prostej:

Ax + By + C = 0,

gdzie A^2 + B^2 ≠ 0 (tj. współczynniki A , B nie są równocześnie równe 0).

Jeżeli A = 0, to prosta jest równoległa do osi Ox ; jeżeli B = 0, to prosta jest równoległa do osi Oy ; jeżeli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy , to ma ona równanie kierunkowe:

y = ax + b

Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:

a = tg α

Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a , która przechodzi przez punkt P = ( x (^) 0 , y 0 ):

y = a x ( − x 0 (^) ) + y 0

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty :

( y^ −^ y^ A )( x^ B −^ x^ A )−^ ( y^ B − y^ A ) ( x^ − xA ) =^0

• Prosta i punkt

Odległość punktu P = ( x (^) 0 , y 0 )od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:

Ax By C A B

0 0 2 2

• Para prostych Dwie proste o równaniach kierunkowych:

y = a x 1 + b 1 (^) y = a x 2 + b 2

spełniają jeden z następujących warunków:

• są równoległe, gdy a 1 (^) = a 2
• są prostopadłe, gdy a a 1 2 = − 1
• tworzą kąt ostry φ i tg = −

a a a a

1 2 (^11 )

φ

x

y

O

b

y = ax + b

α

Dwie proste o równaniach ogólnych:

A x 1 + B y 1 + C 1 (^) = 0 A x 2 + B y 2 + C 2 = 0

• są równoległe, gdy A B 1 2 (^) − A B 2 1 = 0
• są prostopadłe, gdy A A 1 2 (^) + B B 1 2 = 0
• tworzą kąt ostry φ i tg = −

A B A B

A A B B

1 2 2 1 1 2 1 2

φ

• Trójkąt

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x (^) A , y (^) A ) , B = ( x (^) B , y (^) B ) , C = ( x (^) C , yC ), jest dane wzorem:

P ∆ (^) ABC = (^12) ( x (^) B − x (^) A ) ( yC − y (^) A ) − (^) ( yB − y (^) A ) ( x (^) C − xA )

Środek ciężkości trójkąta ABC , czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:

^ x^ A +^ x^ B +^ xC^ y^ A +^ y^ B + yC ^

• Przekształcenia geometryczne
• przesunięcie o wektor u a b

= [ , (^) ]przekształca punkt A = ( x y , (^) )na punkt A ' = (^) ( x + a y , + b )

• symetria względem osi Ox przekształca punkt A = ( x y , (^) )na punkt A ' = (^) ( x ,− y )
• symetria względem osi Oy przekształca punkt A = ( x y , (^) )na punkt A ' = (^) ( − x , y )
• symetria względem punktu (^) ( a b , ) przekształca punkt A = ( x y , (^) )na punkt A ' = (^) ( 2 a − x , 2 b − y )
• jednokładność o środku w punkcie O i skali s ≠ 0 przekształca punkt A na punkt A ' =taki, że (^) ( − x y , ) OA ' s OA

= ⋅ , a więc, jeśli O = ( x (^) 0 , y 0 ), to jednokładność ta przekształca punkt A = ( x y , (^) )na punkt A ' = (^) ( sx + (^) ( 1 − s x ) 0 (^) , sy + (^) ( 1 − s (^) ) y 0 )

• Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie S = ( a b , (^) )i promieniu r > 0 :

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r^2

lub

10. PLANIMETRIA

• Cechy przystawania trójkątów

A B

C

D E

F

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC :

a , b , c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A , B , C 2 p = a + b + c – obwód trójkąta α , β , γ – miary kątów przy wierzchołkach A , B , C ha , hb , hc – wysokości opuszczone z wierzchołków A , B , C R , r – promienie okręgów opisanego i wpisanego

• Twierdzenie sinusów

α β γ

A

C

B

b a

c

γ

α β

A

C

c D

b h a c

B

α β

γ

• Twierdzenie cosinusów a b c bc b a c ac c a b ab

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos

cos γ

• Wzory na pole trójkąta

P R ⋅ ⋅

P a h b h c h

P a b a c

ABC a b c

ABC

∆

∆

sin sin 1 2 1 2

2 2 2

b c

P (^) ABC a b c

= ⋅^ = ⋅^ =

sin sin sin sin

sin sin sin

si ∆

nn sin sin

sin sin

P = abc = ⋅ ∆ ABC (^) 4 R ∆ABC 2^2 ssin

P∆ (^) ABC = rp P∆ (^) ABC = p (^) ( p − a (^) ) ( p − b (^) ) ( p − c )

α

α

α γ α γ

β β

β γ

α β γ

γ β

• Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a^2 + b^2 = c^2.
• Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: h AD DB

h abc a c c a b b

R c r

c

c

2

sin cos tg tg aa + b − c (^) = p − c 2

α β α β

• Trójkąt równoboczny a – długość boku h – wysokość trójkąta

h a^ R h

P a^ r h

2 ∆

• Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) Różne proste AC i BD przecinają się w punkcie P , przy czym spełniony jest jeden z warunków:
• punkt A leży wewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży wewnątrz odcinka PD lub
• punkt A leży na zewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży na zewnątrz odcinka PD. Wówczas proste AB i CD są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

PA AC

PB

BD

• Czworokąty

Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu:

P = a^ +^ b ⋅ h 2

Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku:

P = ah = a b ⋅ ⋅ sin = 1 ⋅ AC ⋅ BD ⋅sin 2

α φ

C

A (^) a B

a h a

B

A

C

P D

D

B

P C O

A

A B

D b^ C

a

h

h

a

D (^) C

A B

b (^) φ α

• Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

A C

B

O

C^ A

B

O

Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy  AOB = 2 ⋅ CAB , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB , który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB.

• Twierdzenie o odcinkach stycznych Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P , to

PA = PB

A

B

P

• Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P , to

PA ⋅ PB = PC^2

C

B

P

A

• Okrąg opisany na czworokącie

C

D

A

B

α

δ

γ β

• Okrąg wpisany w czworokąt

A

D

a

C

B

b

c

d

r

11. STEREOMETRIA

• Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

P (^) m

l

k

Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P. Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l.

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: α + γ = β + δ = 180 

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: a + c = b + d

• Walec

P rh P r r h V r h

b = = (^) ( + ) =

2

π π π

gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością walca

• Stożek

P rl P r r l

V r h

b = = (^) ( + )

=

π π (^13) π 2

gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością, l – długością tworzącej stożka

• Kula

P r

V r

2

3

π

π

gdzie r jest promieniem kuli

12. TRYGONOMETRIA

• Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

n s

s = c =

si = in =

co os

=

a c

b c b c

a c a tg (^) b tg = b a

α

α

α

β

β

β

h

r O

l

r

h

O

S

r O

A C

B

a

b

c

α

β

• Definicje funkcji trygonometrycznych

si

gdzie jest

n

cos

,

y r x r y tg (^) x gdy x

promieniem wodzącym pu

nktu M

r = x^2^ + y^2 > 0

α

α

α

• Wykresy funkcji trygonometrycznych

π 2 x

y 1

− 1

− π (^) − π 2 0 π (^32) π 2 π

x

y 1

− 1

− π (^) − π 2 0 π 2 π (^32) π 2 π

x

y

1

− 1

0 π 2 π^3 2 2 π

− π (^) − π 2 π

− 2 − 3 − 4

2

3

4

y = sin x

y = cos x y = tg x

• Związki między funkcjami tego samego kąta

sin cos sin cos ,

π (^) π

tg dla + k k −całkowite

α α

α αα α

• Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

α

π 6

π 4

π 3

π 2

sin α 0 1 2

cos α 1 3 2

tg α 0 3 3

(^1 3) istniejenie

M = ( x, y )

x (^) x

y

O

r

y

α

• Permutacje Liczba sposobów, na które n ( n 1) różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n !.
• Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać 0 elementów, jest równa n

k

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Własności prawdopodobieństwa
• Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A ⊂ Ω jest równe

P (^) ( A (^) ) = (^) Ω A

gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A , zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω.

• Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A , B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, przy czym P B ( ) > 0. Prawdopodobieństwem

warunkowym

P ( A B | )

P ( A B | ) nazywamy liczbę

P A B

P A B

P B

( | ) =^

( ∩ ) ( )

• Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli zdarzenia losowe B 1 (^) , B (^) 2 , , Bn zawarte w Ω spełniają warunki:

1. B 1 (^) , B 2 ,  , Bn są parami rozłączne, tzn. B (^) i ∩ Bj = ∅ dla
2. B 1 (^) ∪ B 2 ∪  ∪ Bn =Ω ,
3. P B ( (^) i^ ) >^0 dla^1 i^ n ,

to dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w Ω zachodzi równość

P (^) ( A (^) ) = P (^) ( A B | 1 (^) ) ⋅ P B ( 1 (^) ) + P (^) ( A B | 2 (^) ) ⋅ P B ( 2 (^) ) + + P (^) ( A B | n (^) ) ⋅ P B ( (^) n )

15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH

• Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb a 1 , a 2 , ..., an jest równa:

a a^ a^ a n

= 1 +^2 +^ ...+ n

• Średnia ważona Średnia ważona n liczb a 1 , a 2 , ..., an , którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: w 1 , w 2 , ..., wn jest równa:

w a w a w a w w w

n n n

1 1 2 2 1 2

• Średnia geometryczna Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a 1 , a 2 , ..., an jest równa:

n (^) a 1 (^) ⋅ a (^) 2 ⋅ ...⋅ a (^) n

• Mediana Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a 1 (^) a (^) 2 a (^) 3 ... an jest:
• dla n nieparzystych: an + 21 (środkowy wyraz ciągu)
• dla n parzystych: 1 2 2 2 1

(^ a^ n^ + an + )(średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu)

• Wariancja i odchylenie standardowe Wariancją n danych liczbowych a 1 , a 2 , ..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba:

σ 2 1

2 2

2 2 1

2 2

(^2 2 )

= (^^ a^ − a^ ) +^ (^ a^ − a^ ) +^ +^ (^ a^ − a )^ = +^ +^ +^ − ( )

n

a a a n

... (^) n ... n a

Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

16. GRANICA CIĄGU

• Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów

Dane są ciągi ( a n ) i ( bn ), określone dla n 1.

Jeżeli lim n →∞ an = a oraz lim n →∞ bn = b , to

lim n →∞ ( an + bn ) = a + b lim n →∞ ( an − bn ) = a − b lim n →→∞( a n ⋅ bn ) = a b ⋅

Jeżeli ponadto bn ≠ 0 dla n 1 oraz (^) b ≠ 0 , to

lim n n n

a b

a →∞ = b