1
NEKE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA
DIFERENCIJALNA JEDNAČINA KOJA RAZDVAJA PROMENLJIVE
y` = f(x) g(y)
⇔
)()( ygxf
dx
dy =
⇔
dxxf
yg
dy
)(
)( =
⇔
∫∫
+=
cdxxf
yg
dy
)(
)( opšti integral
Ako postoji b tako da je g(b)=0 onda je y=b rešenje
HOMOGENA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA
Oblika je y`=f (
x
y
) .Rešava se uvodjenjem smene
z
x
y
= odakle je y`= z+xz` . Posle smene svodi
se na d.j. koja razdvaja promenljive.
Za x=0 (y
≠
0) ako postoji z
k
iz R tako da je f(z
k
) – z
k
= 0 onda y= z
k
x (x>0) i y= z
k
x (x<0)
(0,0) je singularna tačka i izuzimamo je iz oblasti definisanosti
DIFERENCIJALNA JEDNAČINA OBLIKA y`= f (
)
111
cybxa
cbyax
++
+
+
Rešava se uvodjenjem smena x = u +
α
i y = v +
β
gde je dx=du i dy= dv i v= v(u) , tražimo
konstante
α
i
β
Zamenom u jednačini dobijamo )(
11111
cbavbua
cbabvau
f
du
dv
++++
+
+
+
+
=
βα
β
α
Odavde mora biti
0
=
+
+
cba
β
α
i
0
111
=++ cba
βα
0
11
=
ba
ba
onda a= a
1
k i b= b
1
k i ako je
0
11
≠
ba
ba
onda
( )
dv v
g
du u
= je homogena d.j.
LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA
Oblika je
y`+ p(x) y = q(x)
i rešava se preko formule
y =
))((
)()(
dxexqce
dxxpdxxp
∫
∫
+
∫
−
BERNULIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA
Oblika je
y`+ p(x) y = q(x ) y
n
rešava se smenom z = y
1-n
pa je z` = (1-n) y
-n
y`
Celu jednačinu podelimo sa y
n
i svedemo je na linearnu d. j.
