Grafička metoda rešavanja linearnog programiranja, Esej od Matematika

Preuzmite Grafička metoda rešavanja linearnog programiranja i više Esej u PDF od Matematika samo na Docsity!

PROJEKAT

GRAFIČKA METODA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Sadržaj:

• 1. Uvod.....................................................................................................................................................
• 2. Uvod u model i modeliranje......................................................................................................................
  • 2.1. Postupak modeliranja..........................................................................................................................
  • 2.2. Prednosti i mane..................................................................................................................................
  • 2.3. Optimizacija........................................................................................................................................
• 3. Linearno programiranje.............................................................................................................................
  • 3.1. Grafička metoda..................................................................................................................................
    • 3.1.1. Princip rešavanja maksimizacije grafičkom metodom................................................................
    • 3.1.2. Princip rešavanja minimizacije grafičkom metodom................................................................
• 4. Zadatak 1:................................................................................................................................................
• 5. Zadatak 2:................................................................................................................................................
• 6. Zadatak 3..................................................................................................................................................
• 7. Zadatak 4..................................................................................................................................................
• 8. Zaključak.................................................................................................................................................
• 9. Literatura..................................................................................................................................................

probleme i stvoriti mehanizme odbrane ali i unapređenja. Što je bolji model, u smislu izdvajanja bitnih osobina, to će imati više koristi od njega.

Kao što je ranije pomenuto model obuhvata širok pojam i njegova klasifikacija je raznovrsna (tabela 1).

Modeli zasnovani na iskustvu Modeli zasnovani na komunikaciji Verbalni model Zatvoren model Fizički model Relativno zatvoren model Matematički model Otvoren model Modeli zasnovani na upotrebi Modeli zasnovani na određenosti Demonstracioni modeli Deterministički model Eksperimentalni modeli Stohastički model Modeli odlučivanja Modeli zasnovani na vremenu Modeli zasnovani na mestu Statiči model Interni modeli Dinamički model Eksterni modeli

Tabela 1: klasifikacija modela

Cilj modeliranja je najčešće ili da se ustanovi struktura i ponašanje, ili, ako se radi o postojećem sistemu, da se poboljša struktura i ponašanje^2.

Klasifikacija koja se najviše primenjuje u menadžmentu jeste podela na:

1. Analitički model: primenjuje naučne zakone i teorijske analize pri čemu se rešenje odnosi na čitav spektar sličnih problema(primer je simpleks model linearnog programiranja).
2. Eksperimentalni ili empirijski model: vrlo su praktični prilikom rešavanja brojnih složenih problema iz prakse, a koji se iz nekog razloga ne mogu rešiti analitičkim.
3. Kombinovani model: model očekivanog vremena u mrežnom planiranju tipa PERT.

2.1. Postupak modeliranja

Modeliranje je postupak dobijanja matematičkog opisa neke pojave koja se odvija u realnom svetu 3. Dakle taj skup osobina treba prevesti na neki precizan jezik najčešće poput matematike.

Kako bi se stvorio model koji će svojim postojanjem pomoći, olakšati, unaprediti, pojednostaviti i omogućiti predviđanje, potrebno je prikupiti sve podatke i napraviti selekciju koje će ući u grupu onih koje treba naglasiti. Da bi model bio dobar on mora da bude što sličniji originalu odnosno između originala i modela mora da postoji odnos :

2 M.Ilić, OM320 Modeliranje i optimizacija sistema, predavanja u elektronskom obliku, Univerzitet Metropolitan, Beograd, 2011. 3 SYSTEMS MODELING Ivana Kostić Kovačević

Izomorfije(Sličnost je izomorfna kada su zadovoljeni uslovi da je svaki element sistema predstavljen odgovarajućim elementom modela i obratno, važi isto za funkcije, odnose i sl.)

Homomorfije(Sličnost je homomorfna kada je model samo delimično po karakteristikama sličan originalu, a odbacuje suvišne osobine čije promene ne utiču na original čime se dobija dobija se sistem koji se naziva uprošćeni model originala).

Ključni koraci u modeliranju bi bili 4 :

1. Razviti dobro definisan skup ciljeva koje treba ispuniti, definisati elemente i njihove veze;
2. Razvoj strukture modela, procesa modeliranja i pravljenje alternative;
3. Izbor odgovarajućeg modela;
4. Testiranje modela radi utvrđivanja njegove adekvatnosti;
5. Poređenje rezultata modela sa originalom.

U ovom postpupku neophodno je uključiti stručnjaka koji će definisati kriterijume selekcije osobina i pažljivo razmotriti da li je taj model odgovarajuć za taj original. Modeliranje se na kraju mora dokumentovati kako bi bilo pogodno za buduću upotrebu.

2.2. Prednosti i mane

Najveća prednost modeliranja jeste njegova sposobnost da posmatra stanje budućih procesa iz sadašnjeg trenutka. Takođe je moguće poređenje budućih mogućnosti i ishoda i da se vidi koja najbolje odgovara modelu. Osim toga moguće je vršiti različite eksperimente na modelu kako bi se utvrdilo moguće ponašanje originala u tim situacijama.

Neke od mana su da, model ipak nije original i on nikada ne može 100% da predstavlja i sigura da će se original baš tako ponašati. Za stvaranje modela je potrebno vreme i stručan kadar koji dovodi do visokih troškova. Ako polazni podaci nisu korektni onda on neće funkcionisati kao original. I činjenica je da model ne može u svakom trenutku da ima sve podatke o originalu, jer se original menja iz trena u tren zbog njegove okoline, društva, ekonomske situacije i sl.

2.3. Optimizacija

Optimizacija je pronalaženje maksimuma faktora koji su poželji i minimuma onih koji nisu sa ciljem postizanja veće efikasnosti procesa. Iz ovog razloga očigledna je njena važnost. Prostije rečeno optimizacija traži najbolje rešenje za različite problem koji joj se nameću. Modeliranje i optimizacija se u mnogome preklapaju što nije iznenađujuće s obzirom da su njihove definicije slične, zbog toga je važno dobro poznavanje teoretskih postavki, izbor odgovarajuće metode za problem koji se rešava, podešavanje kontrolnih parametara postupka,

4 Stohastičko modeliranje-Faculty and Institute of Actuaries

Postoje dve vrste linearnog programiranja, a to su grafička i simpleks metoda.

3.1. Grafička metoda Jedana vrsta LP jeste grafička metoda koja omogućava vizuelno rešavanje problema koji sadrži dve varijable(neredko tri, ali tada se proces rešavanja znatno komplikuje). Cilj ove metode jeste pronalaženje polja optimalnog rešenja, međutim kako koristi samo 2-3 varijable to nije najpraktičniji metod, pa nema neko preveliko značenje. Te varijable se odnose na nepoznanice problema, a kako svaki problem može da ima nebrojano nepoznanica jasno je zašto je ovaj metod toliko malo značajan. Kod ovog metoda ćemo se susresti sa dve varijante, maksimizacijom, kod koje su bitne isoprofitne(isoprofit) linije i minimizacijom kod koje se javljaju isotroškovne(isocost) linije o kojima će biti reći kasnije u tekstu.

3.1.1. Princip rešavanja maksimizacije grafičkom metodom Grafička metoda služi za ispitivanje niza vrednosti funkcije kriterijuma u ekstremnim tačkama oblasti dopustivih rešenja. Ova metoda sastoji se u formiranju grafikona sa X i Y osom na koju se nanose ograničenja funkcije, zatim se određuje oblast izvodljivosti i ekstremne tačke kako bi se dobilo rešenja. Da bi se lakše shvatio način rešavanja ovom metodom uzećemo primer za objašnjavanje.

Primer 1 8 : Kompanija Bridgeway se bavi proizvodnjom štampača i tastatura. Doprinos od štampača je 30$ a od tastatura 20$. Da bi se ovi proizvodi napravili potrebno je sprovesti dve važne procedure lemljenje i spajanje. Za štampač je potrebno 2h lemljenja i 1h spajanja, dok za tastaturu treba 1h lemljenja i 1h spajanja. Bridgeway ima 1000h lemljenja i 800h sastavljanja. Zahtev za tastaturama je neograničen dok je za štampač maksimalna prodaja na nedeljnom nivou 350 komada. Breidgeway ima želju da maksimizira prodaju na nedeljnom nivo.

Postavka zadatka:

Prvo šta je potrebno jeste tumačenje podataka iz postavke i to je najbolje uraditi u sledeća 4 koraka:

1. Definisanje odlučujućih varijabli

Koje su to varijable koje treba da utiču na poboljšanje celokupnog rešenja. U ovom slučaju to su štampači i tastature jer se treba napraviti poboljšanje da bi se dobili veći profit.

X= broj štampača po nedelji Y= broj tastatura po nedelji

2. Definisanje ciljne funkcije Predstavlja cilj koji se želi ostvariti, a u ovom slučaju to je da se maksimizira profit tj. Da se proda svaki štampač po ceno od 30$ i svaka tastatura po ceni od 20$ prema tome se postavlja ciljan funkcija.

8 http://spartan.ac.brocku.ca/~pscarbrough/scarb-alp-burch/Chapters%201-24-16.htm

(max) Z=30x+20y

3. Definisanje ograničenja

To su ograničenja pod kojima preduzeće mora da posluje. A na ovom primeru to su vrednosti koje se odnose na radne sate.